二次函數(shù)根的判別式、韋達定理

./一元二次方的應(yīng)用及根的判別式、韋達定理一、根的判別式1.一元二次方程根的判別式的定義：運用配方法解一元二次方程過程中得到,顯然只有當(dāng)時,才能直接開平方得：．也就是說,一元二次方程只有當(dāng)系數(shù)、、滿足條件時才有實數(shù)根．這里叫做一元二次方程根的判別式．2.判別式與根的關(guān)系：在實數(shù)范圍內(nèi),一元二次方程的根由其系數(shù)、、確定,它的根的情況<是否有實數(shù)根>由確定．判別式：設(shè)一元二次方程為,其根的判別式為：則①方程有兩個不相等的實數(shù)根．②方程有兩個相等的實數(shù)根．③方程沒有實數(shù)根．若,,為有理數(shù),且為完全平方式,則方程的解為有理根；若為完全平方式,同時是的整數(shù)倍,則方程的根為整數(shù)根．說明:<1>用判別式去判定方程的根時,要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用,當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時,;有兩個相等的實數(shù)根時,;沒有實數(shù)根時,．<2>在解一元二次方程時,一般情況下,首先要運用根的判別式判定方程的根的情況<有兩個不相等的實數(shù)根,有兩個相等的實數(shù)根,無實數(shù)根>．當(dāng)時,方程有兩個相等的實數(shù)根<二重根>,不能說方程只有一個根．①當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點．3.一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用：一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：〔1運用判別式,判定方程實數(shù)根的個數(shù)；〔2利用判別式建立等式、不等式,求方程中參數(shù)值或取值范圍；〔3通過判別式,證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；〔4借助判別式,運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型,解幾何存在性問題,最值問題．二、韋達定理如果一元二次方程〔的兩根為那么,就有比較等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù),得①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理,即根與系數(shù)的關(guān)系．因此,給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過來,如果有兩數(shù)滿足①與②,那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根．利用這一基本知識?？梢院喗莸靥幚韱栴}．利用根與系數(shù)的關(guān)系,我們可以不求方程的根,而知其根的正、負性．在的條件下,我們有如下結(jié)論：當(dāng)時,方程的兩根必一正一負．若,則此方程的正根不小于負根的絕對值；若,則此方程的正根小于負根的絕對值．當(dāng)時,方程的兩根同正或同負．若,則此方程的兩根均為正根；若,則此方程的兩根均為負根．⑴韋達定理：如果的兩根是,,則,．<隱含的條件：>⑵若,是的兩根<其中>,且為實數(shù),當(dāng)時,一般地：①,②且,③且,特殊地：當(dāng)時,上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負根的條件．⑶以兩個數(shù)為根的一元二次方程<二次項系數(shù)為1>是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根,則必有一根<,為有理數(shù)>．若,則方程必有實數(shù)根．若,方程不一定有實數(shù)根．若,則必有一根．若,則必有一根．⑸韋達定理主要應(yīng)用于以下幾個方面：已知方程的一個根,求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程,求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根,求作方程；結(jié)合根的判別式,討論根的符號特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時,就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根,以便利用韋達定理；⑤利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后,一定要驗證方程的．一些考試中,往往利用這一點設(shè)置陷阱．例題一、判斷方程根的情況不解方程,判別下列方程的根的情況：〔1；〔2；〔3。不解方程,判別方程的根的情況。解關(guān)于的方程已知關(guān)于的方程①有兩個相等的實數(shù)根．求證：關(guān)于的一元二次方程②必有兩個相等的實數(shù)根．[鞏固]已知,,判斷關(guān)于的方程的根的情況,并給出必要的說明.[鞏固]<1998年XX省競賽>設(shè)、、為互不相等的非零實數(shù),求證：三個方程,,,不可能都有2個相等的實數(shù)根．二、應(yīng)用題〔2006·XX市近年來,我市開展以"四通五改六進村"為載體,以生態(tài)文明為主要特色的新農(nóng)村建設(shè)活動取得了明顯成效．下面是市委領(lǐng)導(dǎo)和市民的一段對話,請你根據(jù)對話內(nèi)容,替市領(lǐng)導(dǎo)回答市民提出的問題〔結(jié)果精確到0.1%．全市一共有13233個自然村,2005年已建成生態(tài)文明村2315個,計劃到2007年全市生態(tài)文明村數(shù)要達到自然村總數(shù)的24.4%全市一共有13233個自然村,2005年已建成生態(tài)文明村2315個,計劃到2007年全市生態(tài)文明村數(shù)要達到自然村總數(shù)的24.4%領(lǐng)導(dǎo),按這個計劃,從2005年到2007年,平均每年生態(tài)文明村增長率約是多少？領(lǐng)導(dǎo),按這個計劃,從2005年到2007年,平均每年生態(tài)文明村增長率約是多少？領(lǐng)導(dǎo)市民〔2006·新疆2004年,自治區(qū)黨委、人民政府決定在烏魯木齊、庫爾勒等八個城市開辦區(qū)內(nèi)初中班,重點招收農(nóng)牧民子女及其他家庭貧困的學(xué)生．某市2004年9月招收區(qū)內(nèi)初中班學(xué)生50名,并計劃在2006年9月招生結(jié)束后,使區(qū)內(nèi)初中班三年招生總?cè)藬?shù)達到450名．若該市區(qū)內(nèi)初中班招生人數(shù)平均每年比上年的增長率相同,求這個增長率．〔2006·XX市機械加工需要擁有進行潤滑以減少摩擦,某企業(yè)加工一臺大型機械設(shè)備潤滑用油90千克,用油的重復(fù)利用率為60%,按此計算,加工一臺大型機械設(shè)備的實際耗油量為36千克.為了建設(shè)節(jié)約型社會,減少油耗,該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關(guān).〔1甲車間通過技術(shù)革新后,加工一臺大型機械設(shè)備潤滑用油量下降到70千克,用油的重復(fù)利用率仍然為60%.問甲車間技術(shù)革新后,加工一臺大型機械設(shè)備的實際耗油量是多少千克？〔2乙車間通過技術(shù)革新后,不僅降低了潤滑用油量,同時也提高了用油的重復(fù)利用率,并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新的基礎(chǔ)上,潤滑用油量每減少1千克,用油量的重復(fù)利用率將增加1.6%.這樣乙車間加工一臺大型機械設(shè)備的實際耗油量下降到12千克.問乙車間技術(shù)革新后,加工一臺大型機械設(shè)備潤滑用油量是多少千克?用油的重復(fù)利用率是多少？〔2006·南安某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售,一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元,其銷量可增加10件．〔1求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元？〔2設(shè)后來該商品每件降價元,,商場一天可獲利潤y元．①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元,則每件商品應(yīng)降價多少元？②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并通過畫該函數(shù)圖像的草圖,觀察其圖像的變化趨勢,結(jié)合題意寫出當(dāng)x取何值時,商場獲利潤不少于2160元？〔2006·諸暨市有一根竹竿,不知道它有多長.把竹竿橫放在一扇門前,竹竿長比門寬多4尺;把竹竿豎放在這扇門前,竹竿長比門的高度多2尺;把竹竿斜放,竹竿長正好和門的對角線等長.問竹竿長幾尺?〔2006·XX省將一條長為的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．<1>要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?<2>兩個正方形的面積之和可能等于嗎?若能,求出兩段鐵絲的長度；若不能,請說明理由．三、韋達定理<2006·XX市>已知:的兩邊、的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5.試問:取何值時,是以為斜邊的直角三角形?已知關(guān)于的一元二次方程.<1>若方程有兩個相等的實數(shù)根,求的值；<2>若方程的兩實數(shù)根之積等于,求的值．已知關(guān)于的方程〔1當(dāng)取何值時,方程有兩個不相等的實數(shù)根？〔2設(shè)、是方程的兩根,且,求的值。〔2006·XX市已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根,且滿足,求的值．已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根,問：與能否同號？若能同號請求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號,請說明理由。證明：方程無整數(shù)根。已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根。〔1是否存在實數(shù),使成立？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由?！?求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值。已知關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3,關(guān)于的方程有實根,且為正整數(shù),求代數(shù)式的值。作業(yè)題已知關(guān)于的方程只有整數(shù)根,且關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為、?！?當(dāng)為整數(shù)時,確定的值。〔2在〔1的條件下,若＝2,求的值。已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個非零實根,問：、能否同號？若能同號,請求出相應(yīng)的取值范圍；若不能同號,請說明理由。設(shè)、是方程的兩根,則①＝；②＝；③＝。以方程的兩根的倒數(shù)為根的一元二次方程是。已知方程的兩實根差的平方為144,則＝。已知方程的一個根是1,則它的另一個根是,的值是。反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點〔、,其中、是一元二次方程的兩根,那么點的坐標是。已知、是方程的兩根,則的值為。不解方程,判別下列方程的情況：〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6練習(xí)：不解方程,判別下列方程的根的情況?！?；〔2；〔3〔XX市據(jù)2005年5月8日《XX日報》報道：今年"五一"黃金周期間,我市實現(xiàn)旅游收入再創(chuàng)歷史新高,旅游消費呈現(xiàn)多樣化,各項消費所占的比例如圖所示,其中住宿消費為3438.24萬元?！?求我市今年"五一"黃金周期間旅游消費共多少億元？旅游消費中各項消費的中位數(shù)是多少萬元？〔2對于"五一"黃金周期間的旅游消費,如果我市2007年要達到3.42億元的目標,那么2005年到2007年的平均增長率是多少？200