粒子運動狀態(tài)的量子描述

粒子運動狀態(tài)的量子描述在什么情況下使用經(jīng)典描述，什么情況下使用量子描述？如何來判別呢？20世紀當不少物理學(xué)家為光的波粒二象性感到困惑時，德國物理學(xué)家德布羅意于1924年提出一個假說，認為一切微觀粒子都具有波粒二象性，并把標志波動性質(zhì)的量3和k通過一個普適常數(shù)用標志粒子性質(zhì)的8和p聯(lián)系起來?！?h3 p=hk h=h/2n普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是［時間］?［能量］=［長度］?［動量］=［角動量］這樣一個物理量通常成為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個作用量子成為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。當一個物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)相比擬的數(shù)值時，這個物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之，如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時，這個系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于離子的自由度數(shù)。微觀粒子的運動不是軌道運動，這一點我們可以作如下解釋：繼德布羅意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波動的二象性時，得到一個重要的結(jié)果：微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標。即用Aq表示粒子坐標的不確定值和Ap表示粒子動量不確定值，在量子力學(xué)所容許的最精確的描述，Aq與Ap的乘積滿足 AqApgh 稱為測不準關(guān)系或?qū)懗葾tAE^h它揭示：量子在客觀上不能同時具有確定的坐標位置及相應(yīng)的動量，因此這生動地說明微觀粒子的運動不是軌道運動，是微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。值得指出的是：在經(jīng)典力學(xué)的理論中，粒子可以同時具有確定的坐標和動量，這并不是在實際上我們可以任意的精確度做到這一點，而是說在經(jīng)典的理論中，原則上不允許對這種精確度有任何限制。特別地在經(jīng)典范圍內(nèi)，波動量很小，以致于探測不到。因此認為物質(zhì)有確定的坐標和動量，這并不與測不準關(guān)系發(fā)生矛盾。具體事例空間中一個自由運動的粒子，假設(shè)此粒子限制在一個邊長為L的方盒子中運動。在量子力學(xué)中粒子的運動滿足薛定諤方程：一&V24)=瞪6)其中根據(jù)周期性邊界條件，在點A（l/2y,z根據(jù)周期性邊界條件，在點A（l/2y,z)和A‘ (-1/2,y,z)（「）的自己應(yīng)相同。即:cexpl-—p+p+pz=cex=cexpP?r上式可變成為：--2-V2￥（=cexpP?r??.exp(LplTOC\o"1-5"\h\z2-兀 2-兀同理可得：p n和p= nyLyzLz以上的式子表示，動量只能取分立的值。p2 2-2兀2n2量：8-x- x量：\o"CurrentDocument"nx 2m m L2總能量：8-22兀2L2土n2±n2）ml2xyz以上的式子表示，能量是分立的。這里nx,ny,nz即為量子數(shù)，量子態(tài)即由這些量子數(shù)來描述，對于一確定的能量E,nx,ny,nz可取不同的值，因此，對于一確定的能量來說，系統(tǒng)有許多量子態(tài)。經(jīng)典粒子的動量和能量是連續(xù)的，而在量子情形中，動量和能量是分立的，這是局域在有理空間范圍的量子粒子的特性。一維的情況:2-2兀2一維的情況:8-n2mLx相鄰兩個能級的間距為：A8-8-8-L加兀2（2n+1）nx+1nxmLx顯然，若L-8時，△&f0,即能量此時是連續(xù)的。粒子的狀態(tài)與從空間體積元的對應(yīng)關(guān)系

在統(tǒng)計物理學(xué)所討論的某些問題中，普朗克常數(shù)與有關(guān)的物理量相比是一個較小的量，這時，可以利用半經(jīng)典近似認為粒子是沿著滿足量子化條件的那些軌道做軌道運動的。這些量子化軌道與量子描述中的量子狀態(tài)相對應(yīng)。由測不準關(guān)系可知，坐標和動量不能同時取確定的值，所以量子態(tài)不能用H空間的一點來描述，而應(yīng)用一個體積元，稱為相格。相格的大小為h，自由度為r的粒子，相格大小為：Aq…、qAp???Ap=hr1 r1 r如果將H空間劃分為若干個體積元431（l=1,2…），則在體積元△31中粒子可能的狀態(tài)數(shù)為431/h 。Vdpdpdp ^ ^ zh3例如：三維自由粒子的一個狀態(tài)對應(yīng)于H空間中體積為h的一個體積元，Vdpdpdp ^ ^ zh3一般常用動量空間中的球極坐標p，e，邛，來描寫自由粒子的動量p，0，9與p、p、p的關(guān)系為：p=psin0cosp；p=psin0sin①；p=pcos。xyz x y z用球極坐標，動量空間的體積元為：p用球極坐標，動量空間的體積元為：p2sin0dpd0dp在體積V在體積V內(nèi)動量在p到p+dp,e到e+de,9到9+d9,自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：吶狀態(tài)數(shù)為：吶2sin0即dd①h3在體積V內(nèi)動量絕對值在p到在體積V內(nèi)4兀Vp2dp

h3Vp2dpf2兀4兀Vp2dp

h30 0h3以能量形式表示，即&=p/2m，因此在V內(nèi)，在