定積分與微積分基本定理學(xué)案

§定積分與微積分基本定理一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1．可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，（1）中的稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作或.函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時(shí)（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點(diǎn)都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.2．微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個(gè)原函數(shù).由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個(gè)步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對(duì)定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.1）一般情況下，對(duì)于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長(zhǎng)度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長(zhǎng)度才能都趨近于0，但有的時(shí)候?yàn)榱私忸}的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對(duì)每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點(diǎn)或是右端點(diǎn).3）求極限的時(shí)候，不是，而是.2．在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個(gè)就可以了，一般情況下選那個(gè)不帶常數(shù)的。因?yàn)?3．利用定積分來求面積時(shí)，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計(jì)算，分兩部分進(jìn)行計(jì)算，然后求兩部分的代數(shù)和.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯(cuò)解：分兩部分，在，在，因此所求面積為2+（-2）=0。分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。正解：[例2]用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進(jìn)行運(yùn)算。解；設(shè)，則==由微積分基本定理的逆運(yùn)用可知：上式所以原式成立，即證。注：該式可用來求分布在軸兩側(cè)的圖形的積分。[例3]根據(jù)等式求常數(shù)的值。1）2）分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解解：1）2）[例4]某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的邊際收入（１）

求生產(chǎn)了50個(gè)單位時(shí)的總收入。（２）

如果已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)，求再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入。分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的定積分。由收入函數(shù)和邊際收入的關(guān)系可得（1）生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的總收入為==99875（2）已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)后，再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入為答：生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的總收入為99875；生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)后，再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入為19850.[例5]一個(gè)帶電量為的電荷放在軸上原點(diǎn)處，形成電場(chǎng)，求單位正電荷在電場(chǎng)力作用下沿軸方向從處移動(dòng)到處時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所作的功。分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應(yīng)用。解：?jiǎn)挝徽姾煞旁陔妶?chǎng)中，距原點(diǎn)處，電荷對(duì)它的作用力為在單位電荷移動(dòng)的過程中，電場(chǎng)對(duì)它的作用力為變力。則根據(jù)課本對(duì)變力做功的分析可知答：電場(chǎng)力對(duì)它做的功為。[例6]一質(zhì)點(diǎn)以速度沿直線運(yùn)動(dòng)。求在時(shí)間間隔上的位移。分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。解：答：位移為。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.()A.B.C.D.2．（）A．0.2C3．，則