離散型隨機變量的方差課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七章隨機變量及其分布7.3.2離散型隨機變量的方差李思目錄CONTENT03040102典型例題課堂總結(jié)知識回顧離散型隨機變量的方差知識回顧PART.01知識回顧1.離散型隨機變量的均值是什么？2.兩點分布的均值是什么？E(X)=0×(1-p)+1×p=pX,Y均為隨機變量，若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)，則E(aX＋b)＝aE(X)+b．3.離散型隨機變量的期望的性質(zhì)是什么？問題引入問題：要從甲、乙兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽．根據(jù)以往的成績記錄，應(yīng)派哪位同學(xué)參賽？

X15678910P0.030.090.200.310.270.10乙同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789P0.010.050.200.410.33甲同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為問題引入解：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因為兩個均值相等，所以只根據(jù)均值無法判斷這兩名同學(xué)的射擊水平．隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.所以評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.思考：怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度離散型隨機變量的方差PART.02離散型隨機變量的方差隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度,反映了隨機變量取值的離散程度

方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散.現(xiàn)在，可以用兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性.

因為D(X2)<D(X1),所以隨機變量X2的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定.離散型隨機變量的方差的性質(zhì)離散型隨機變量的方差的性質(zhì)：1．D(aX＋b)＝a2D(X).2．D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，其均值也相應(yīng)加上常數(shù)b，故不改變與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=D(X).而離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a，其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)＝a2D(X).典例：已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)等于(

)A．6 B．8C．18 D．20C典型例題PART.03離散型隨機變量的方差例1：有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求D(ξ).離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差的性質(zhì)例2：已知X的分布列如表所示：(1)求X2的分布列；(2)計算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．離散型隨機變量的方差的性質(zhì)離散型隨機變量的方差的實際應(yīng)用例3：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示：股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大?因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大.解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.離散型隨機變量的方差的實際應(yīng)用例3：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示：股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(2)投資哪種股票的風(fēng)險較高?因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險高.解:(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29,D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.離散型隨機變量的方差的實際應(yīng)用例4：甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護區(qū)：ξ0123P0.30.30.20.2乙保護區(qū)：η012P0.10.50.4試評定兩個保護區(qū)的管理水平．離散型隨機變量的方差的實際應(yīng)用解：甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的均值和方差分別為：E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)η的均值和方差分別為：E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，故乙保護區(qū)的管理水平較高．離散型隨機變量的方差的實際應(yīng)用均值、方差在決策中的作用1．均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．2．方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定．3．在決策中常結(jié)合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷．在不同的實際問題背景中,方差可以有不同的解釋.例如,如果隨機變量是某項技能的測試成績,那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性;