圓錐曲線(xiàn)求圓錐曲線(xiàn)方程

-.-.可修編-.-.-.可修編-.求曲線(xiàn)（或直線(xiàn)）的方程一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、求曲線(xiàn)（或直線(xiàn)）方程的思考方向大體有兩種，一個(gè)方向是題目中含幾何意義的條件較多（例如斜率，焦距，半軸長(zhǎng)，半徑等），那么可以考慮利用幾何意義求出曲線(xiàn)方程中的要素的值，從而按定義確定方程；另一個(gè)方向是若題目中沒(méi)有明顯的幾何條件，主要依靠代數(shù)運(yùn)算，那么就考慮先用待定系數(shù)法設(shè)出方程（未知的部分用字母代替），從而該方程便可參與題目中的運(yùn)算，再利用題目條件求出參數(shù)的值，即可確定方程?？梢哉f(shuō)兩個(gè)方向各有側(cè)重，一個(gè)傾向于幾何意義，另一個(gè)傾向于代數(shù)運(yùn)算，下面將對(duì)兩個(gè)方向涉及到的知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)梳理2、所學(xué)方程中字母的幾何意義（1）直線(xiàn)：k：斜率；Q,y）：直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)00（2）圓：（a,b）:圓心的坐標(biāo)；廠：圓的半徑（3）橢圓：2a:長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦半徑的和；2b:短軸長(zhǎng)；2c：焦距（4）雙曲線(xiàn)：2a：實(shí)軸長(zhǎng)，焦半徑差的絕對(duì)值；2b:虛軸長(zhǎng)；2c：焦距注：在橢圓和雙曲線(xiàn)中，很多幾何性質(zhì)也圍繞著a，b，c展開(kāi)，通過(guò)這些條件也可以求出a，b，c的值，從而確定曲線(xiàn)方程。例如（橢圓與雙曲線(xiàn)共有的）：c 2b2離心率：e=a；通徑（焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值）：--等（5）拋物線(xiàn)：P：焦準(zhǔn)距3、待定系數(shù)法中方程的形式：（1）直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程通式：①直線(xiàn)：y=kx+m,x=my+1②圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0③橢圓：標(biāo)準(zhǔn)方程：—+ —1（a>b>。）（或—+——1（a>b>0）,視焦點(diǎn)所在軸來(lái)決定）a2b2 a2b2橢圓方程通式：mx2+ny2=1\m>0,n>

④雙曲線(xiàn):標(biāo)準(zhǔn)方程：—一y—=1(。>0,b>。)(或——--=1(a>0,b>0)，視焦點(diǎn)所在軸決定)a2b2 a2b2雙曲線(xiàn)方程通式:mx2雙曲線(xiàn)方程通式:mx2—ny21(mn>⑤拋物線(xiàn)：標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px(p>0)等拋物線(xiàn)方程通式：y2=mx,x2=my(2)曲線(xiàn)系方程：具有一類(lèi)特征的曲線(xiàn)的集合，通常曲線(xiàn)方程中含有參數(shù)。曲線(xiàn)系方程的一大好處在于若根據(jù)題目條件設(shè)出合適的曲線(xiàn)系方程，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用條件求解參數(shù),讓解題目標(biāo)更為明確，曲線(xiàn)系方程也是待定系數(shù)法求方程的一種方法。常見(jiàn)的曲線(xiàn)系方程如下：fl:Ax+By+C=0①過(guò)相交直線(xiàn)《1 1 1 1八的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為：l:Ax+By+C=0l2 2 2 2l+九l=0即Ax+By+C+x(Ax+By+C)=0(其中九為參數(shù))1 2 1 1 1 2 2 2②與直線(xiàn)Ax+By+C=0平行的直線(xiàn)系方程為：Ax+By+九=0(其中九為參數(shù))③與直線(xiàn)Ax+By+C=0垂直的直線(xiàn)系方程為：Bx—Ay+九=0(其中九為參數(shù))C:x2+y2+Dx+Ey+F=0④過(guò)相交兩圓: 1y1 1y1交點(diǎn)的圓系方程為：C:x2+y2+Dx+Ey+F=02Q2 2 2 2C+%C=0(X(g一1)即x2+y2+Dx+Ey+F+九Q2+y2+Dx+Ey+F=)01 2 1 1 1 222⑤若直線(xiàn)l:Ax+By+C=0與圓q:x2+y2+Dx+Ey+F=0有公共點(diǎn)，則過(guò)公共點(diǎn)的圓系方程為：C+浦二0即x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0⑥相同漸進(jìn)線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程：與雙曲線(xiàn)x2—二=1漸近線(xiàn)相同的雙曲線(xiàn)系方程為:a2b2上—22=3豐0)a2b2

二、典型例題：，且kk2=-4，例1：已知橢圓C:上+y2=1(〃>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,，且kk2=-4，原點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)PM,PN的斜率分別為k,k12則橢圓的方程為()A.x2y2A.x2y2——+——=116 4B.x2y2——+——=14 2y2C. X2+—=14TOC\o"1-5"\h\z思路：由已知可得a=2,所以只需利用條件kk=--求出b的值即可，設(shè)P(x,y),12 4 0 0M(x,y),則N(-x，-y)。則k=y^4,k=y±yo,從而11 11 1x-X2X+X10 10kk=y二?y±yo=yt^yl=-1,由分子分母平方差的特點(diǎn)及M,P在橢圓上聯(lián)想12X-XX+XX2-X2 41010 1 0X2+y2_1b2到點(diǎn)差法，得：［4b2 n1(X2-X2)+1(y2-y2)_0，所以ytzyb2X2y2 410b210 X2-X2—0-+—0-_1 10I4b2即b2_1，所以橢圓方程為—+y2_1答案：D例2:橢圓C:上+；_1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為AB，且a2b2ABB\_-yIBFI(1)求橢圓C的離心率(2)若斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，OP1OQ，求直線(xiàn)l的方程及橢圓C的方程解：(1)由橢圓方程可得：A(a,0),B(0.b),F(c,0)/.|AB|_Ja2+b2,|BF_bb2+c2_a-.-.可修編-.-.-.可修編-.-.-.可修編-.2+b2=立ana2+b2=5a2「.a2=4b2na-2b:.a:b:c-2:1:<3「.e----a2(2)由(1)可得橢圓方程為：三+￡-1nx2+4y2=4b24b2b2TOC\o"1-5"\h\zP(x,y),QG,y),OP1OQ11 22:.OP?OQ-xx+yy-012 1,2由已知可得，直線(xiàn)1的方程為y-2x+2[y-2x+2 (x聯(lián)立方程：1 ，消去y可得：x2+4(2x+2為-4b2=0,即：x2+4y2=4b217x2+32x+16-4b2-016-4b2 32??xx ,x+x—- 12 17 1 2 17,yy-(2x+2)(2x+2)-4xx+4(x+x)+4-4--~12 1 2 12 1 2 1716-4b2 1-4b2,xx+yy- +4? -0，解得：b-112 12 17 17經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)b-1，滿(mǎn)足直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以符合條件x2,橢圓方程為—+y2-1例3：已知直線(xiàn)l:y-kx+1,橢圓E:上+ =1(m>0),m2(1)若無(wú)論k為何值，直線(xiàn)l與橢圓E均有公共點(diǎn)，試求m的取值圍及橢圓離心率e關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式— — — 一（2）當(dāng)k-工1時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M,若AM-2MB,求橢圓E的方程解：（1）由l：y-kx+1可知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（0,1）l與E恒有公共點(diǎn)，（0，1）在橢圓上或橢圓「.m的圍為me[1,3)(3,+8)若m2<9n1<m<3，則a2-9,b2-m2/.c-Ja2-b2=<9-m2若m2>9nm>3，則a2=m2,b2-9/.c-Ja2-b2-q'm2-9m2—9~3-綜上所述：e=《<9—m2 ,1<m<33（2）由已知可得：y-j0x+1，.二M（0,1）^3AM=(-x,1—y),MB-(x,y—1)1 1 22-.可修編-.可修編-.A-.可修編-.可修編-.AA-A-同修編-.-x=2x1-V=2(v-1)L1 2聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得:而1V=〒x+13，消去-x=2x1-V=2(v-1)L1 2聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得:而1V=〒x+13，消去V可得：m2x2+9?x2工V2 1——+——=1、9m2(m2+10)x2+6<10x+9(1-m2)=06<109(1-m2)= ,xx= m2+1012 m2+106X：10x+x=-x= 2 2m2+109(1-m2)xx=-2x2= 12 2m2+102=9m2，整理后可得:6V1012嚴(yán)In9(m2-1)=旦2 9(1-m2m2+10m2+10...(m2-1)。2+10)二80，即m4+9m2-90=0，解得:m2=6或m2=-15(舍)..一. .x2 V2 ..橢圓方程為T(mén)+T=1例4：過(guò)點(diǎn)A(-4,0),向橢圓x2+VI=1(a>b>0)引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分刖為B,C,且a2b2ABC為正三角形,則ab最大時(shí)橢圓的方程為(B.-—+---=1 C.—-+---=18 3 4 4x2 3v2D.――+——=18 8a，b的取值，那么需要得思路：由題意可知本題確定a，b值的關(guān)鍵在于ab達(dá)到最大值時(shí),到關(guān)于a,b的關(guān)系(等式或不等式)，作出圖形可知，若ABC為正三角形，則AB,AC的

斜率為土(3，進(jìn)而能夠得到AB，AC的方程。以AB為例：)=(3G+4),與橢圓方程聯(lián)立并消元可得到：C2+3b2)x2+8ax2 3v2D.――+——=18 8a，b的取值，那么需要得A=0na2+3b2=16,則考慮利用均值不等式得到0<ab<?,等號(hào)成立條件為a2=3b2，再結(jié)合a2+3b2=16即可求出a,b的值，從而確定橢圓方程解：依圖可知：ZOAB=-,.?"=亙6AB3y=整理后可得：+"，消去y：b2x2+J-a2(y=整理后可得：+"，消去y：b2x2+J-a2(x+4)2=a2b2,

3b2x2+a2y2=a2b2(a2+3b2)x2+8a2x+16a2-3a2b2=0AB與橢圓相切...A=(8a2)-4。2+3b2)(6a2-3a2b2)=0/.64a4-(64a4-12a4b2+192a2b2-36a2b4)=0即12a4b2-192a2b2+36a2b4=0a2+3b2=16由均值不等式可得：a2+3b2>2；3a2b2=2<3ab2v3ab<16nab<卓(等號(hào)成立條件為：a2=3b2)二.ab的最大值為—3—二.ab的最大值為—3—，此時(shí)Va2=3b2n,a2+3b2=16a2=88b2=-I3x23y2?二橢圓方程為：—+—Z—=188答案：D例5：已知點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，A,B是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且ABF是正三角形-.-.可修編-.-.-.可修編-.(1)求橢圓C的離心率(2)直線(xiàn)l與以AB為直徑的圓O相切，并且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為2尸，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為上+￡=1(a>b>0)，焦距為2。，由ABF是正三角形a2b2可得：a=2b，因?yàn)閍2=b2+c2/.解得：a:b:c=2:1:v13(2)由(1)可得橢圓的方程為：X2+4y2=4b2,設(shè)l與橢圓C的交點(diǎn)為M(x,y),N(x,y)1 1 2 2若l斜率不存在，可得弦長(zhǎng)|MN|=v3b若l斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，聯(lián)立方程:y=kx+mx2+4y2=4b2二.x+x128km ,xx1+4k2124Cy=kx+mx2+4y2=4b2二.x+x128km ,xx1+4k2124Cm2―b2)/.|MNI2=(1+k2)(x—x)2=G+k2 +x)2一4xx11 12 12 12.16G+k2)b2-m2+4k2b2)整理可得:l與圓x2+y2=b2相切一m, ，(一、:,d= =bnm2=b2V1+k2七1+k2),代人到上式可得:|MN|2()f3k2+1+k2f3k2(1+k2) 2=16b2 <16 H+4k2? H+4k2?(等號(hào)成立條件：3k2=1+k2nk=±立)2.?.5=2b.，.2b=2<3nb.?.5max=2<3橢圓方程為：苒+y2-二1例6：設(shè)橢圓E的方程為x2+y2=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),a2b2點(diǎn)B的坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b)，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，滿(mǎn)足伊〃尸2|MA|,直線(xiàn)OM的斜率為立10(1)求E的離心率e(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐7 「標(biāo)為2，求E的方程解(1)解(1)由M在線(xiàn)段AB上和BM尸2|M4|W得：BM=2MAA(a,0),B(0,b).k 3b b.k 3b b后.. TT om2 2a 10a

3二:OM=1OB+2OA=

3 32a,1b33「.a=<5b(2)由(1)中a:b:c=45:1:2，■可設(shè)AB:-x-+y=1nx+5yy=0J5bb，設(shè)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'<5由A(a,0),C(0,-b，設(shè)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'<5依題意可得：TOC\o"1-5"\h\z包+x -1b+7-2__0+J5.2 22 271-1b)_耶x-——b0 2-?-?可修編-.-?-?可修編-.可解得：b=3:.a=3J5橢圓方程為—+卷"=1例7：已知橢圓從上+占=1（〃>8>0）的半焦距為J原點(diǎn)。到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（。，。），（。*）。2 /?2的直線(xiàn)的距離為1c2（1）求橢圓的離心率（2）如圖，是圓M：（%+2）2+（y—1%若橢圓石經(jīng)1IA5兩點(diǎn)，求橢圓石的方程解：（1）過(guò)（c,0）,若橢圓石經(jīng)1IA5兩點(diǎn)，求橢圓石的方程解：（1）過(guò)（c,0）,（0方）的直線(xiàn)/的方程為:/.do-i\~bc\_be1—c2由“2=〃2+由“2=〃2+c2m得:+c2n—=—“2 4cV3（2）由（1）可得：a:b:c=2:l:ypY2y2F圓方程為：石+五"1="4『也由圓方程Q+21+（y—I）2=

g可得：M（—2,1）/=平“1+%=-22 =>AB\=2r=y/TO〔設(shè)AB:y=左（工+2）+1,|ab|=VTo聯(lián)立方程:y=k（^x+2）+1消去）可得：X2+4x2+4y2=4Z?2

k^x+2）+1J=4Z?2,整理后可得:-.-.可修編-.-.-.可修編-.(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k>一4b2=08k(1+2k) ,xx1+4k2 128k(1+2k) 1 =—4nk=—??.|AB??.|AB|=)2-4xx1210(b2-2)|AB|=<10,\b2-2=1nb2=3, x2 y2一::：橢圓方程為：—十--=1JL乙J例8：已>0例8：已>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為FF2y=bx(beN*),P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且滿(mǎn)足|。尸|<5,若|PF,其中一條漸近線(xiàn)方程為F口明成等比數(shù)列則雙曲線(xiàn)C的方程為解：PF,FF,PF成等比數(shù)列12??.FF2=1?「2PF?PFn4c2=PF1由漸近線(xiàn)方程y=bx(beN*)可知:

^2??人PF1Hpf2?PF2a=2，不妨設(shè)P在右支上=\PFI2+IPF|2—21PF|.|PF1=161 1 2 1 21即|PFJ2+[PF?,-8c2=16由中線(xiàn)定理可知：PF2+PF.?.16+8c2=212+|OP|2)2=2(OF2+OP22即|0P|2=8+3c2=8+3(a2+b2)=20+3b2|0P|<5/.20+3b2<25nb2<-??? 3x2由beN可知b:y=-2x(1)求雙曲線(xiàn)E的離心率(2)如圖，:y=-2x(1)求雙曲線(xiàn)E的離心率(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l分別交直線(xiàn)l,l于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、四象12限)，且OAB的面積恒為8,試探究：是否存在總與直線(xiàn)l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E?若存在，求出雙曲線(xiàn)E的方程；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由b解：(1)由雙曲線(xiàn)方程可知，漸近線(xiàn)方程為y=±bxa小煉有話(huà)說(shuō):|AB|2+AC2二2(AD|AB|2+AC2二2(AD|2+bdJ證明如下：在ADB中,由余弦定理可知：|AB|2二|AD|2+|BD|2—2|AD\?|BD|-cosADB①同理，在ADC中，有：|AC|2=|AD|2+1CD|2-2|AD|?|CD|-cosADC②AZAZADB+ZADC二兀且由D是BC中點(diǎn)可知：|BD|=|CD|.??.??①+②可得：??|AB|2+|AC|2=2|AD|2+|BD|2+|CD|2即|AB|2+|AC|2=2(AD|2+|BD|2)例9：(2014,)已知雙曲線(xiàn)E:=-y2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線(xiàn)分別為l:y=2x,a2b2 1

b—=2nb=2a:.c2=a2+b2=5a2ae=—=\.;5a(2)若直線(xiàn)l不與％軸垂直，設(shè)l:y=mx+1,A(x,y),B(x,y)11 22聯(lián)立方程:tx=聯(lián)立方程:tx= x=my+1 11—2mn<y=2x 21y= [1 1-2mIx=my+1同理可得icnIy=-2xx1y1-t1+2m-211+2m設(shè)直線(xiàn)l與x軸交于C(t,0)???SOABTOC\o"1-5"\h\z???SOAB=2°)C\-Iy1-y2I即22 1 2 2△, .. .,n, 1 1 1由直線(xiàn)l與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)A,B分別在第一、四象限可知：上>2n-1<m<1m 2 2「.1-4m2>0,\12=4(1-4m2)由(1)可得雙曲線(xiàn)方程為：x2-二=1a24a2聯(lián)立l與雙曲線(xiàn)方程:x=my+1 ( ) ( )n\4m2-17y2+8mty+4v2-a2)=04x2-y2=4a2因?yàn)閘與雙曲線(xiàn)相切.?.A=(8mt)2-16(t2-a2)(4m2-1)=0整理可得：4m2a2+4G-4m2)-a2=0nG-4m2)(-a2)=0x2y2所以a2=4 雙曲線(xiàn)方程為：—---=1TOC\o