一元二次方程專題能力培優(yōu)

2.1一元二次方程專題一利用一元二次方程的定義確定字母的取值1.已知是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）A.m≠3B.m≥3C.m≥-2D.m≥-2且m≠32.已知關(guān)于x的方程，問(wèn)：（1）m取何值時(shí)，它是一元二次方程并寫出這個(gè)方程；（2）m取何值時(shí)，它是一元一次方程專題二利用一元二次方程的項(xiàng)的概念求字母的取值3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值．4.若一元二次方程沒(méi)有一次項(xiàng)，則a的值為.專題三利用一元二次方程的解的概念求字母、代數(shù)式5.已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個(gè)根是-a（a≠0），則a-b值為（）A.－1B.0C.1D.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，a－b+c=0，則此方程必有一個(gè)根為.7.已知a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，求代數(shù)式值.知識(shí)要點(diǎn)：1.只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次），等號(hào)兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).2.2一元二次方程的解法專題一利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式；則k的值為（）A．-9或11B．-7或8C．-8或2.如果代數(shù)式x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m=.3.用配方法證明：無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式－2x2+4x－5的值恒小于零．專題二利用△判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍4.已知a，b，c分別是三角形的三邊，則方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（） A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5.關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）6.定義：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）滿足a＋b＋c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＝c B．a(chǎn)＝b C．b＝c D．a(chǎn)＝b＝c專題三解絕對(duì)值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，則x2+y2=.8.閱讀題例，解答下題：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）當(dāng)x－1≥0，即x≥1時(shí)，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合題設(shè)，舍去），x2=1.（2）當(dāng)x－1＜0，即x＜1時(shí)，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合題設(shè)，舍去），x2=－2.綜上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．專題四一元二次方程、二次三項(xiàng)式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奧秘，并完成填空：專題五利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的取值范圍及求代數(shù)式的值11.設(shè)x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的兩個(gè)根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，則a=．12.（2012·懷化）已知x1、x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，⑴是否存在實(shí)數(shù)a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；⑵求使（x1＋1）（x2＋1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．13.(1)教材中我們學(xué)習(xí)了：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2,x1+x2=－EQ\f(b,a),x1·x2=EQ\f(c,a).根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以求出已知方程關(guān)于x1、x2的代數(shù)式的值．例如：已知x1、x2為方程x2-2x-1=0的兩根，則：（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=____．請(qǐng)你完成以上的填空．（2）閱讀材料：已知，且．求的值．解：由可知．∴．∴.又且，即．∴是方程的兩根．∴．∴=1．（3）根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及（1）的方法完成下題的解答．已知，且．求的值．知識(shí)要點(diǎn)：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判別式△=b-4ac與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的關(guān)系：當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c之間存在著如下關(guān)系：x1+x2=﹣，x1?x2=.2.3一元二次方程的應(yīng)用專題一、利用一元二次方程解決面積問(wèn)題1.在高度為2.8m的一面墻上，準(zhǔn)備開鑿一個(gè)矩形窗戶．現(xiàn)用9.5m長(zhǎng)的鋁合金條制成如圖所示的窗框．問(wèn)：窗戶的寬和高各是多少時(shí)，其透光面積為3m22.如圖：要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長(zhǎng)30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度

專題二、利用一元二次方程解決變化率問(wèn)題4.據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長(zhǎng)率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增長(zhǎng)率．（取≈1.41）5.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)6.（2012·廣元）某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準(zhǔn)備以每平方米7000元的價(jià)格出售，由于國(guó)家出臺(tái)了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)銷售價(jià)后，決定以每平方米5670元的價(jià)格銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議：先公布下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣更有吸引力．請(qǐng)問(wèn)房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對(duì)購(gòu)房者是否更優(yōu)惠為什么專題三、利用一元二次方程解決市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題7.（2012·濟(jì)寧）一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購(gòu)買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購(gòu)買樹苗不超過(guò)60棵，每棵售價(jià)為120元；如果購(gòu)買樹苗超過(guò)60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價(jià)不得少于100元．該校最終向園林公司支付樹苗款8800元．請(qǐng)問(wèn)該校共購(gòu)買了多少棵樹苗8.（2012·南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元,每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/部；月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬(wàn)元；銷售量在10部以上，每部返利1萬(wàn)元.(1)若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為萬(wàn)元.(2)如果汽車的售價(jià)為28萬(wàn)元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，那么需要售出多少部汽車（盈利=銷售利潤(rùn)+返利）專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問(wèn)題9.(1)經(jīng)過(guò)凸邊形(＞3)其中一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有條.(2)一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線,它是幾邊形(3)是否存在有21條對(duì)角線的凸多邊形如果存在,它是幾邊形如果不存在,說(shuō)明得出結(jié)論的道理.10.如圖每個(gè)正方形是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成．

（1）觀察圖形，請(qǐng)?zhí)钆c下列表格：正方形邊長(zhǎng)1357…n（奇數(shù)）紅色小正方形個(gè)數(shù)…正方形邊長(zhǎng)2468…n（偶數(shù)）紅色小正方形個(gè)數(shù)…（2）在邊長(zhǎng)為n（n≥1）的正方形中，設(shè)紅色小正方形的個(gè)數(shù)為P1，白色小正方形的個(gè)數(shù)為P2，問(wèn)是否存在偶數(shù)n，使P2=5P1若存在，請(qǐng)寫出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交與點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA=3，AB=5，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BO-OP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；

（3）在點(diǎn)E從B向O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，完成下面問(wèn)題：

①四邊形QBED能否成為直角梯形若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)你直接寫出t的值．4.解：設(shè)我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a，合理利用量的增長(zhǎng)率是x，由題意，得30%a（1+x）2=60%a.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合題意舍去）．∴x≈0.41．答：每年的增長(zhǎng)率約為41%．5.解：設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，依題意，得1＋x＋(1＋x)x＝81.整理得(1＋x)2＝81.∴x1＝8，x2＝－10（舍去）.∴(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700．答：每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過(guò)700臺(tái)．6.解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)，則有.∴.∵1—p%>0，∴1—p%=0.9.p%=0.1=10%.答：平均每次下調(diào)10%；（2）先下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣最后單價(jià)為7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元.∴銷售經(jīng)理的方案對(duì)購(gòu)房者更優(yōu)惠一些．7.解：因?yàn)?0棵樹苗售價(jià)為120元×60＝7200元<8800元，所以該校購(gòu)買樹苗超過(guò)60棵．設(shè)該校共購(gòu)買了x棵樹苗，由題意，得.解得．當(dāng)時(shí)，，∴不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，∴.∴.答：該校共購(gòu)買了80棵樹苗．8.解：(1)27－0.3=26.7；（2）設(shè)需要銷售出x部汽車可盈利12萬(wàn)元.①當(dāng)銷售10部以內(nèi)（含10部）時(shí)，依題可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+0.5x=12.解得.當(dāng)銷售6部汽車時(shí)，當(dāng)月可盈利12萬(wàn)元.②當(dāng)銷售10部以上時(shí)，依題可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+x=12.解得，均不合題意，應(yīng)舍去.答：當(dāng)銷售6部汽車時(shí)，當(dāng)月可盈利12萬(wàn)元.9.解:（1）n－3；(2)設(shè)這個(gè)凸多邊形是邊形,由題意,