一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式

第四章行波法一一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式1達(dá)郎貝爾公式在常微分方程的定解問題中，通常是先求方程的通解，然后利用定解條件確定通解所含的任意常數(shù)，從而得到定解問題的解。考慮無限長弦的自由振動(dòng)問題=1\*GB3①作自變量的代換利用復(fù)合函數(shù)的微分法有：同理有：將=1\*GB3①化為：并將它兩端對進(jìn)行積分得：其中是的任意函數(shù)，再將此式對積分=2\*GB3②其中是任意兩次連線可微函數(shù)，式=2\*GB3②即為方程=1\*GB3①的含有兩個(gè)任意函數(shù)的通解。由初始條件可得：通過積分可得：稱此式為一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式。2解的物理意義由于波動(dòng)方程的通解是兩部分與。表示了以速度向軸正方向傳播的行波，稱為右行波。同理，表示了以速度向軸負(fù)方向傳播的行波，稱為左行波。由達(dá)郎貝爾公式，解在點(diǎn)的值由初始條件在區(qū)間內(nèi)的值決定，稱區(qū)間為點(diǎn)的依賴區(qū)域，在平面上，它可看作是過點(diǎn)，斜率分別為的兩條直線在軸上截得的區(qū)間。這里要掌握半無限長弦的自由振動(dòng)問題和一維非齊次波動(dòng)方程的柯西問題的解。3半限長弦的自由振動(dòng)問題定解問題用延拓法求解，注意邊界條件（4.9），采用奇延拓。令考慮定解問題它的解可由達(dá)郎貝爾公式得：。一維非齊次波動(dòng)方程的柯西問題定解問題令，可將此定解分解成下面兩個(gè)定解問題：(I)(II)其中問題(I)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出：。對于問題(II)，有下面重要的定理。定理（齊次化原理）設(shè)是柯西問題的解，則是問題(II)的解。二三維波動(dòng)方程的柯西問題1三維波動(dòng)方程的泊松公式考慮三維波動(dòng)方程的柯西問題(1)三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解如果將三維波動(dòng)方程的空間坐標(biāo)用球坐標(biāo)表示，則波動(dòng)方程化為：=如果波函數(shù)與，變量無關(guān)，而只與變量有關(guān)，即是所謂球?qū)ΨQ的，這時(shí)式可簡化為：=即有：。這是關(guān)于的一維波動(dòng)方程，其通解為：從而即得到三維波動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的解。(2)三維波動(dòng)方程的泊松公式的解為：＋，稱它為三維波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式。這里要求掌握三維波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式的推導(dǎo)過程。2降維法利用三維波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式來導(dǎo)出二維波動(dòng)方程柯西問題的解。這種利用高維問題的解推導(dǎo)低維問題的方法稱之為降維法。二維波動(dòng)方程的柯西的問題：令，將上式的解視為特殊的三維問題，最后得到