分形理論基礎(chǔ)

嚴(yán)格滿足自相似條件的圖形，我們稱之為數(shù)字分形，也叫做有規(guī)分形。在地球科學(xué)和物理學(xué)中存在的分形，它們的自相似是近似的或統(tǒng)計(jì)意義上的，我們稱之為統(tǒng)計(jì)分形，或無(wú)規(guī)分形。如果我們將一個(gè)自相似圖形縮小倍，原來(lái)的圖形包括了a個(gè)縮小的圖形，從自相似角度定義的分維D可以由下式得出，1a=-SD數(shù)盒子法(Box-Countingmethod)這是一種常用的分形圖形分維的實(shí)用方法。取邊長(zhǎng)為r的小盒子(可以理解為拓?fù)渚Sd的小盒子)，把分形覆蓋起來(lái)。由于分形內(nèi)部有各種層次的空洞和縫隙，所以有些盒子是空的，有些小盒子覆蓋了分形的一部分。數(shù)數(shù)多少小盒子不是空的，所得的非空盒子數(shù)記為N(r)。然后縮小盒子的尺寸r，所得N(r)自然要增大。當(dāng)rT0時(shí)，得到數(shù)盒子法定義的維數(shù)：-lim-limrtOlgN(r)

lgr在實(shí)際應(yīng)用中只能取有限的r。通常做法是求一系列的r和n(r)，然后由雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中l(wèi)gN~lgr的直線的斜率求D0，這里要強(qiáng)調(diào)的是，式()必須要求存在標(biāo)度關(guān)系N(r)~r-D如果不存在這種標(biāo)度關(guān)系，就根本不能使用分維的概念。這樣求得的D0叫做容量維。信息維數(shù)盒子方法式()的主要缺點(diǎn)是沒(méi)有反映幾何對(duì)象的不均勻性，含有一個(gè)點(diǎn)和許多點(diǎn)的盒子在式()中具有同樣的權(quán)重。因此，我們將修改分維的定義，并相應(yīng)修改數(shù)盒子的方法。具體做法是把小盒子編號(hào)，如果第i個(gè)盒子落入Ni(r)個(gè)點(diǎn)，我們就知道分形中的點(diǎn)落入第i個(gè)盒子的概率

P(r)二N(r)/N(r)ii這里N(r)是總的點(diǎn)數(shù)。然后利用信息量的公式I(r)=-嗆P(r)logP(r)i 2ii=1定義信息維D=-lim1 rTOlog2r不難看出，當(dāng)各個(gè)盒子具有同等權(quán)重，即Pi(r)=1/N(r)時(shí)，信息量/(r)=log2N(r),這時(shí)信息維D1等于容量維D0。 1關(guān)聯(lián)維若在空間中某一集合由N個(gè)點(diǎn)組成,每個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)是Xj=(i=1,2,…，N)。凡空間距離小于r的點(diǎn)對(duì)，稱為有關(guān)聯(lián)的點(diǎn)對(duì)。數(shù)一下有多少對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)對(duì)，它在一切可能的N2配對(duì)中所占的比例稱為關(guān)聯(lián)積分：-yI)-yI)iiC(r)= °(r-1xN2i豐j式中臺(tái)階函數(shù)°(r)”0當(dāng)r太大時(shí)，任何兩點(diǎn)都發(fā)生關(guān)聯(lián)，C(r)=l，取對(duì)數(shù)后為0。如果取得合適，而原始數(shù)據(jù)客觀地反映出C(r)~rD的標(biāo)度性質(zhì)，那么可以定義關(guān)聯(lián)維D2D=hm也)2 rT0lgr分形大體上可以分成兩類：一類是嚴(yán)格滿足自相似條件的分形，如Cantor集合，Koch曲線等，分形的自相似性所要求的整體和局部完全(從形狀、數(shù)量等所有的角度來(lái)看都是)相似的條件得到嚴(yán)格的滿足；另一類是自然界中遇到的大多數(shù)圖形，如連綿起伏的山脈輪廓線曲折蜿蜒的江河川流，頻繁演變的海岸線，變幻無(wú)常的布朗微粒運(yùn)動(dòng)軌跡，以及材料斷裂后展示的奇妙的斷口圖