因式分解、分式、數(shù)的開方

中國教育出版網(wǎng)二、因式分解、分式、數(shù)的開方郭福林【近四年江蘇省十三大市中考因式分解、分式、數(shù)的開方的分值與比率】(僅供參考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市108．33108．3354．17蘇州市32．40129．60118．46無錫市107．69118．461511．54常州市65．0054．1775．83鎮(zhèn)江市65．0097．501210．00揚州市85．3342．671510．00泰州市96．0096．0096．00南通市21．5464．0085．33鹽城市64．0096．00117．33淮安市129．231711．3385．33宿遷市128．00128．001610．67徐州市42．6721．3353．33連云港市53．3374．671510．00合計93113137平均7．755．719．426．8411．428．17【09年江蘇省中考數(shù)學(xué)為全省統(tǒng)一命題，分值為8分，比率約為5．33%】【課標(biāo)要求】(1)會用提公因式法、公式法(直接用公式不超過二次)、十字相乘法進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))．(2)了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除運算．(3)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根．(4)了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根．(5)了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，要求掌握分母為一項或兩項的無理式的分母有理化，會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算．【課時分布】因式分解、分式、數(shù)的開方本單元在第一輪復(fù)習(xí)時大約需要4課時，其中包括單元測試．下表為復(fù)習(xí)內(nèi)容及課時安排(供參考)．課時數(shù)內(nèi)容1因式分解1分式1數(shù)的開方1因式分解、分式、數(shù)的開方單元測試與評析【知識回顧】提公因式法1．知識脈絡(luò)(教材相應(yīng)章節(jié)重要內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系)提公因式法公式法因式分解公式法因式分解分組分解法分組分解法十字相乘法十字相乘法通分分式的基本性質(zhì)通分分式的基本性質(zhì)約分約分實際問題實際問題分式的乘除分式分式的乘除分式分式運算分式運算分式的加減分式的加減平方根二次根式平方根二次根式化簡計算化簡計算立方根數(shù)的開方立方根數(shù)的開方2．基礎(chǔ)知識(教材相應(yīng)章節(jié)重要內(nèi)容整理)(1)因式分解的概念把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解，也叫多項式的分解因式．(2)因式分解的常用方法及用法說明①提公因式法：．說明：提公因式法的關(guān)鍵是確定公因式，即ⅰ取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；ⅱ字母取各項的相同的字母；ⅲ各字母的指數(shù)取最低的指數(shù)．②公式法：；；﹡；﹡．說明：運用公式法時要注意判斷所給多項式是否符合公式結(jié)構(gòu)特征，并牢記公式結(jié)構(gòu)特征．③十字相乘法：；()．說明：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項系數(shù)．④分組分解法：分組的目的是為了創(chuàng)造條件實現(xiàn)分解．通常情況有：分組后能提公因式、分組后能用公式、分組后能十字相乘．說明：分組分解的關(guān)鍵是適當(dāng)分組，先使分組后各組內(nèi)能分解因式，再使因式分解能在各組間進(jìn)行．分解因式時應(yīng)當(dāng)先考慮提公因式，然后判斷是否可以用公式，最后考慮分組分解．(3)分式的概念①形如(、是整式，且中含有字母，)的式子叫做分式．其中叫做分式的分子，叫做分式的分母．整式和分式統(tǒng)稱有理式；②分式有意義：分母不為零；分式無意義：分母為零；③分式值為零：分子為零，且分母不為零．(4)分式的基本性質(zhì)：，(其中M是不為零的整式)．(5)分式的運算：分式的運算與分?jǐn)?shù)的情形類似．(6)平方根與算術(shù)平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根，記作．正數(shù)的正的平方根，叫做的算術(shù)平方根，的算術(shù)平方根是．非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根記作eq\r(a)．(7)立方根：如果一個數(shù)的立方等于那么這個數(shù)叫做的立方根，記作．(8)二次根式的幾個概念：①形如的式子叫二次根式；②如果一個二次根式滿足下列條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．這樣的二次根式叫做最簡二次根式．③當(dāng)幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．④把分母中的根號化去，叫做分母有理化．(9)二次根式的性質(zhì)：；；；；．(10)二次根式的運算：①二次根式的加減運算類似于整式的加減運算，關(guān)鍵是合并同類二次根式．通常應(yīng)先將二次根式化簡，再把同類二次根式合并．②二次根式的乘除法是二次根式性質(zhì)的逆向應(yīng)用．③二次根式運算結(jié)果中的每一項都應(yīng)是最簡二次根式．3、能力要求例1把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【分析】結(jié)合項數(shù)、項間結(jié)構(gòu)觀察(1)(2)(3)題，發(fā)現(xiàn)把(1)中的“”化為“”，(2)中的“”化為“”，(3)中的“”化為“”以及“”化為“”后，(1)(2)(3)題分別具有因式分解的平方差公式，完全平方公式，立方差公式特征．(4)對于二次三項式的因式分解，常?？紤]用完全平方公式或十字相乘法來分解．(5)(6)兩題分別有公因式，故應(yīng)先分別提取公因式，然后結(jié)合多項式所具有的結(jié)構(gòu)特征選用公式或用十字相乘法．(7)所給習(xí)題有四項，應(yīng)考慮分組分解．分組時可以考慮兩項兩項分組或一項三項分組．【解】(1)原式；(2)原式；﹡(3)原式；(4)原式；(5)原式；(6)原式；(7)原式．【說明】華師版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書中的因式分解要求偏低．事實上，學(xué)生能靈活運用分解因式方法，將利于學(xué)生靈活解答其它章節(jié)的習(xí)題，如：分式混合運算、求解一元二次方程等；另外，分組分解的關(guān)鍵在于分組的合理性，值得注意的是分組的方法沒有固定的形式，要依據(jù)其特征，適當(dāng)?shù)胤纸M使其組間具有公因式或可運用公式；對于立方和(差)公式，在中考總復(fù)習(xí)時要適當(dāng)補充，讓學(xué)生會運用立方和(差)公式進(jìn)行簡單地因式分解．例2下列各組二次根式(，，)中，是同類二次根式的一組是()．A．和；B．和；C．和；D．和．【分析】解答本題的關(guān)鍵是正確化簡選項中的二次根式．【解】選項A：和；選項B：和；選項C：和；選項D：和．∴故答案選項Ｄ．【說明】最簡二次根式、同類二次根式是二次根式一章中的兩個重要概念．熟練運用這兩個概念，有利于熟練地進(jìn)行二次根式運算，因此在總復(fù)習(xí)時，應(yīng)加強二次根式的化簡訓(xùn)練．例3先化簡，再求值：，其中．【分析】本題是一道分式的混合運算，考查了分式混合運算順序，因式分解、通分、約分等運算能力以及多項式分子分母的變形要求以及整式在分式加減運算時的處理辦法．【解】原式．當(dāng)時，原式．【說明】本題型在以往的中考卷中經(jīng)常出現(xiàn)，是值得教師重視的題目類型．在解答本題的時候，學(xué)生易于漏掉第一個分式前的負(fù)號，這也是教師最為頭疼的地方．復(fù)習(xí)時，建議進(jìn)行適量的強化訓(xùn)練．本題中的的取值可以變?yōu)椤白匀〉闹怠保@就要關(guān)注分式有意義的涵義．例4若、為實數(shù)，且，試求的值．【分析】本題借助計算題的形式考查了二次根式的概念中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的這一隱含條件．【解】∵，∴即∴．∴．∴．∴原式．【說明】在復(fù)習(xí)時，要注意培養(yǎng)注重基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)態(tài)度，拋棄選偏題、挑難題、做怪題的投機心理；同時，教師要在注重基礎(chǔ)的前提下精選題、善變式，讓學(xué)生的解題思維精細(xì)靈活．例5化簡并求值：，其中，．【分析】通常情況下，利用有理化因式把該題的分母有理化，但它帶來了繁瑣的運算．仔細(xì)觀察易發(fā)現(xiàn)：由于，若運用，則可在分子分母上分別提取、，然后再約分化簡．這樣能簡化運算步驟和減少計算量．【解】∵，，∴原式．∵，，∴，．∴原式．【說明】本題是二次根式計算問題．復(fù)習(xí)時，要讓學(xué)生先觀察分析題目信息特征，再有效地選擇計算方法；要讓學(xué)生拋棄盲目地程序性地解答計算題的潛在意識．【復(fù)習(xí)建議】1．概念的復(fù)習(xí)，要結(jié)合概念中的關(guān)鍵性詞語，進(jìn)行比