人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步教材

￡第一講觀察物體

目1H1住

(1)首先跟我們今天要學(xué)習(xí)的知識(shí)有關(guān)的故事是盲人摸象。五個(gè)不知大象為何物盲人分別

觸摸了大象不同的部位，結(jié)果得出了完全不同結(jié)論。這個(gè)故事告訴我們，看一件事要全面、

整體，不能片面的從一個(gè)方面看。

(2)此外，同學(xué)們，我們應(yīng)該都學(xué)過一首古詩(shī)，蘇軾的《題西林壁》。哪個(gè)語文學(xué)霸來背

誦一下？

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。

這首詩(shī)傳達(dá)了蘇東坡對(duì)于廬山多個(gè)角度觀察后的心得。他告訴我們，從多個(gè)角度仔細(xì)觀

察，才能發(fā)現(xiàn)廬山奇妙、壯觀的美麗景色。這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容一一《從不同

方向看》。看什么呢？看生活中熟悉的物體和數(shù)學(xué)中熟悉的簡(jiǎn)單幾何體，因?yàn)槲覀冞@個(gè)畢竟

是一節(jié)數(shù)學(xué)課。

這節(jié)課就看同學(xué)們能否通過觀察和抽象思維來回答問題。

削3年

1、只從一個(gè)方向觀察物體，無法知道物體的空間形狀。

2、從三個(gè)方向觀察物體，就可以確定物體的空間形狀。

3、三個(gè)方向一般是：從正面看、從左面看、從上面看，得到的視圖分別叫做：主視圖、左

視圖、俯視圖。

從正面看到的圖形，稱為主視圖.

從左面看到的圖形，稱為左視圖.

從左面看

左視圖

從上面看到的圖形，稱為俯視圖.

俯視圖

例題蠕講

例題1：如圖（1）是從上面看一些小正方體所搭幾何體的平面圖，方格中的數(shù)字表示該位

置的小正方體的個(gè)數(shù)。請(qǐng)你在圖（2）的方格紙中分別畫出這個(gè)幾何體從正面和左面看到的

圖形。

從正面看從左面看

圖(1)圖(2)

例題2：如下圖所示，要使從上面看到的圖形不變:

(1)如果是5個(gè)小正方體，可以怎樣擺？

(2)如果有6個(gè)小正方體，可以有幾種不同的擺法?

(3)最多可以擺幾個(gè)小正方體？

例題3：左圖是一個(gè)由若干個(gè)小正方體搭建而成的兒何體從正面和左面看到的圖形，小剛用

小立方體搭建以后，認(rèn)為右圖中的三個(gè)圖形都可以是該幾何體從上面看到的圖形，你同意他

的看法嗎？

旺旺：起通T

從正面看從左面看JIlliIlli1—1

削磔《小試學(xué)7）

1、判斷：下面這三個(gè)物體，從上面看，形狀相同，從側(cè)面看，形狀也相同。（）

2、下面的圖形分別是從哪個(gè)方向看到的？

()

3、哪個(gè)幾何符合要求？在對(duì)的括號(hào)里畫“V”

(1)

從左面看

(2)

從正面看))

Z=7|

從上面看()

(3)

從正面看從上面看從左面看

jr=7i

()()()

4、下圖，把9個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼擺在一起。從正面和左面所看到圖形面積之和

是()平方厘米。

5、右邊的三個(gè)圖形分別是從什么方向看到的？填一填。

6、用一些棱長(zhǎng)為1cm的小正方體搭建成一個(gè)幾何體，從兩個(gè)角度觀察所得圖形如下，那么

最多用()塊小正方體。

En

從上面看從正面看

7、如圖，再添一個(gè)同樣大小的小正方體，小明就把圖1小麗搭的積木變成了圖2六種不同

形狀。

中②出

（1）從左面看，小明搭的積木中（）號(hào)和（）號(hào)的形狀和小麗搭的是相同的；

（2）從正面看，小明搭的積木中，形狀相同的是（）號(hào)和（）號(hào)、或者是（）號(hào)和

（）號(hào)。

8、一個(gè)用小正方體搭成的幾何體，下面是它的兩個(gè)不同方向看到

的形狀，要符合這兩個(gè)條件，最少需要擺（）塊，最多能擺（）M—U

塊，共有（）種擺法.I工

上面」

9、小剛搭建了一個(gè)幾何體，從正面、上面和左面看到的都是如圖形狀，請(qǐng)問：他

一定是用（）個(gè)小正方體搭成的。

10、一堆同樣大小的正方體拼搭圖形，從不同方向看到的圖形分別如圖，那么至少有（）

塊同樣的正方體。

田出

11、由10個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，則下列說法中正確的是（）。

A.從正面看到平面圖形面積大B.從左面看到的平面圖形面積大

C.從上面看到的平面圖形面積大D.從三個(gè)方向看到的平面圖形面積一樣大/

12、如下圖:

從正面看是圖（1）的立體圖形有（）；從左面看是圖（2）的立體圖形有（）；從

左面和上面看都是由兩個(gè)小正方形組成的立體圖形是（）。

13、有幾堆擺好的小方塊，從三個(gè)不同的方向觀察看到的形狀如下圖，這里至少有（）

個(gè)小方塊。

從正面看從右面看從上面看

A.7B.8C.9D.10

有第二講因數(shù)和倍數(shù)

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目11"住賽學(xué)就入

1.整除和除盡：什么是整除？什么是除盡？

2.3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，可以擺成長(zhǎng)方形嗎？有幾種擺法？6個(gè)呢？

且1U1住基本卻以

2-1因數(shù)和倍數(shù)

1、在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的（倍數(shù)）,M

數(shù)和商是被除數(shù)的（因數(shù)）。

2、說到因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，都指的是整數(shù),而且不包括0。

3、倍數(shù)與因數(shù)是相互依存的關(guān)系，要說清誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。

4、在1?100的自然數(shù)中，找出某個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)。

方法：運(yùn)用乘法算式，思考：哪兩個(gè)數(shù)相乘等于這個(gè)自然數(shù)。找一個(gè)數(shù)因數(shù)，就是看它可以

由哪兩個(gè)因數(shù)相乘得到。

2-22、3、5倍數(shù)特征

1.個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。

2.整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0雖然不是2的倍數(shù)，但也是偶數(shù)），其他不是2

的倍數(shù)的數(shù)叫做蜜數(shù)。

3.個(gè)位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。

4.既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0的數(shù)，也就是整十整十的數(shù)。

5.一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

且隹例題贈(zèng)課

2、3、5倍數(shù)

例題1：能同時(shí)被2和3整除的最大兩位數(shù)是o

方法一：同時(shí)被2和3整除的數(shù)一定是偶數(shù)，而最大的兩位數(shù)是99,不是偶數(shù)。小一點(diǎn)的

是98,但不是3的倍數(shù)；再小一點(diǎn)的偶數(shù)是96,正好符合。

所以答案是96.

方法二：同時(shí)是2和3的倍數(shù)的數(shù)，一定是6的倍數(shù)。6乘以多少可以得到最大的兩位數(shù)？

大家想想看。

對(duì)的，6x16=96,而6x17=102,不再是兩位數(shù)，也就是說6最多放大到96.

例題2：能同時(shí)被2、3、5整除的最大兩位數(shù)是,最小三位數(shù)是,最大三位數(shù)

是。

先想想看，能同時(shí)被2、5整除的數(shù)有什么特點(diǎn)？

對(duì)，個(gè)位數(shù)上一定是0.

那么最大的個(gè)位是0的兩位數(shù)是多少？90,對(duì)了，它正好是3的倍數(shù)。

最小的個(gè)位是0的三位數(shù)是多少？100,對(duì)的，但它并不是3的倍數(shù)，只好再加10變成110,

依然不是3的倍數(shù)，所以再加10變成120,也就是答案。

那么最大的三位數(shù)會(huì)想到999吧？使尾數(shù)變成0是多少？

990吧，那就對(duì)了，990正好是3的倍數(shù)，那么答案就是990.

如果不是990,那么就看980、970……

以上是蠢辦法。

還有什么方法呢？同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的話，一定是2x3x5=30的倍數(shù)，最小的兩位數(shù)

那就是30,最小的三位數(shù)那就30x4=120,最大的三位數(shù)那就30x33=990。

例題3：如果。的最大因數(shù)是17,b的最小倍數(shù)是1,則a+b的和的所有因數(shù)有（）個(gè);

的差的所有因數(shù)有（）個(gè)；“Xb的積的所有因數(shù)有（）個(gè)。

mini住譽(yù)身■結(jié)

一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是（D，最大的因數(shù)是（它本身）o

一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是（它本身）,（沒有）最大的倍數(shù)。

一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是（有限的）,一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（無限的）。

如果一個(gè)數(shù)a是另一個(gè)數(shù)b的倍數(shù)，那么a的倍數(shù)一定也是b的倍數(shù)（例如6是3的倍數(shù),

那么6的倍數(shù)6、12、18、24……也都是3的倍數(shù)）。

3的倍數(shù)加上3的倍數(shù)，和還是3的倍數(shù)；同樣的道理，5的倍數(shù)加上5的倍數(shù)，和還是5

的倍數(shù)。

同時(shí)是2和3的倍數(shù)，因?yàn)?x3=6,那么它一定是6的倍數(shù)。

同時(shí)是2和5的倍數(shù)，因?yàn)?x5=10,那么它一定是10的倍數(shù)，個(gè)位數(shù)一定是小

同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)，因?yàn)?x3x5=30,那么它一定是30的倍數(shù)，個(gè)位數(shù)也一定是備

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。

一、判斷

1.自然數(shù)中除了偶數(shù)就是奇數(shù)。（）

2.0.2是2的因數(shù)，2是0.2的倍數(shù)。（）

3.3X6=18,所以3是因數(shù)，18是倍數(shù)。（）

4.3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)。（）

5.任何奇數(shù)加上1后都是2的倍數(shù)。（）

6.個(gè)位上是3、6、9的數(shù)都是3的倍數(shù)。（）

7.4的倍數(shù)都是2的倍數(shù)。（）

二、選擇

下列說法正確的是（）

A.24能被6整除B.6能被24整除

C.24能整除6D.前面說法都不對(duì)

三、填空

1.因?yàn)?X3=12,（）和（）是（）的因數(shù)，（）是（）和（）的倍

數(shù)。

2.一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是（），最大的因數(shù)是（），一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是（）的。

如18的最小因數(shù)是（），最大因數(shù)是（）。

3.一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它（），（）最大的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

的。如：4的最小倍數(shù)是（

4.在4、6、8、12、16、18、20、24這八個(gè)數(shù)中，4的倍數(shù)有（），6的

倍數(shù)有（），既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)有（）。

5.在1、2、3、4、6、12、18這些數(shù)中，12的因數(shù)有（），18的因

數(shù)有（），既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)有（）。

6.一個(gè)數(shù)既是40的因數(shù)，又是5的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)可能是（）。

7.一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，差是（）。一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)除以它的最大

因數(shù)，商是（）。

8.一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是17,最小倍數(shù)是17,這個(gè)數(shù)是（）.

9.個(gè)位上是（）的數(shù)，都能被2整除；個(gè)位上是（）的數(shù)，都能被5整除。

10.在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍數(shù)有（）；

3的倍數(shù)有（）；5的倍數(shù)有（），既是2

的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有（），既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有（）。

11.要使7口這個(gè)兩位數(shù)是3的倍數(shù)，口里可以填（）；三位數(shù)口12是3的倍

數(shù)，口里可以填（）；三位數(shù)3口5是3的倍數(shù)，口里可以填（）。

12.671至少加上（）或減（），所得的自然數(shù)就是3的倍數(shù)。

13.同時(shí)是2和5倍數(shù)的數(shù)，最小兩位數(shù)是（）,最大兩位數(shù)是（）。

14.同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)，最小是（），最小的三位數(shù)是（）。

15.12口既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□可以填（）

16.一個(gè)數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是（）的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)既是2

的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是（）的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)既是3的倍數(shù)，又是5

的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是（）的倍數(shù)。

令第三講質(zhì)數(shù)和合數(shù)

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目1岫二載學(xué)就入

3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，可以擺成長(zhǎng)方形嗎？有幾種擺法？6個(gè)呢？

Mlill?*?is

3-1質(zhì)數(shù)和合數(shù)

1.質(zhì)數(shù)：只有Q）和（它本身）兩個(gè)因數(shù)的數(shù)。

2.合數(shù)：除了（1）和（它本身）之外，還有別的因數(shù)的數(shù)。

3.質(zhì)數(shù)只有（兩仝）因數(shù)，合數(shù)的因數(shù)至少有（三個(gè)）。

4.20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有8個(gè)：2、3、5、7、11、13、17,19

5.*100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個(gè)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

區(qū)間質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)

il-io內(nèi)23574個(gè)

|11-20內(nèi)111317194個(gè)

121-30內(nèi)23292個(gè)

|31-40內(nèi)31372個(gè)

內(nèi)個(gè)

i41-5041434.7......................3..

51-60內(nèi)53592個(gè)

61-70內(nèi)61672個(gè)

71-80內(nèi)7173793個(gè)

:81-90內(nèi)83892個(gè)

j91-100內(nèi)971個(gè)

6.注意幾個(gè)容易錯(cuò)的合數(shù)：91和87.

3-2質(zhì)因數(shù)

一個(gè)數(shù)。是另一個(gè)數(shù)6的因數(shù)，同時(shí)a是質(zhì)數(shù)，那么。就是6的質(zhì)因數(shù)。

3-3分解質(zhì)因數(shù)

每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，叫做這

個(gè)合數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)。只有合數(shù)才能分解。

比如：24=2x2x2x3

3-4互質(zhì)數(shù)

1.公因數(shù)只有1的兩個(gè)非零自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。也就是說，除了1以外，沒有別公

因數(shù)。比如2和9的公因數(shù)就只有1,因此它們互質(zhì)。

2.顯然，1和任意非零自然數(shù)互質(zhì)。

3.兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，它們并不一定是質(zhì)數(shù)，比如8和9互質(zhì)，但它們都是合數(shù)；兩個(gè)數(shù)都

是質(zhì)數(shù)，那么它們一定互質(zhì)。

4.相鄰的兩個(gè)自然數(shù)（0除外）一定互質(zhì)。

且睫里題蟾課

例題1：1~30這30個(gè)自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)共有個(gè)。

解答：這種題目不用思考，直接把質(zhì)數(shù)列出來。

30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17,19、23、29

只有2是偶數(shù)，其余都是奇數(shù)

所以共有9個(gè)。

例題2：判斷

任何一個(gè)非0自然數(shù)至少有兩個(gè)因數(shù)。（）

所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（）

最小的質(zhì)數(shù)是1.（）

例題3：一個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)是10以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，那么這是合數(shù)是o

解答：我們先把10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)都寫出來：2、3、5、7

那么這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)就是2、3、5、7

所以這個(gè)合數(shù)=2x3x5x7=210

例題3：在1~10這10個(gè)自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的是；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的

是；既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

既是奇數(shù)又是合數(shù)的是9,既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的是2,1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

例題4：一艘油輪的船長(zhǎng)已經(jīng)50多歲，船上有30多名工作人員，其中男性占多數(shù)。如果將

船長(zhǎng)的年齡、男工作人員的人數(shù)和女工作人員的人數(shù)相乘，則積為15606,船上共有

名工作人員，船長(zhǎng)的年齡是歲。

這道題目考察分解質(zhì)因數(shù)。從題目的意思來看有：

船長(zhǎng)年齡x男人數(shù)x女人數(shù)=15606

即：5?xl?xl?=15606

怎樣確定三個(gè)因數(shù)的大小呢？

分解質(zhì)因數(shù)：

15606=2x3x3x3x17x17

觀察這六個(gè)質(zhì)因數(shù)，3和17相乘可以得到51,這就是船長(zhǎng)的年齡；另外一個(gè)17肯定不能再

乘，最后剩下2x3x3=18。所以：

15606=18x51x17

根據(jù)題目意思，男性占多數(shù)，于是男工作人員是18人，女工作人員17人，船長(zhǎng)51歲。

也許還有人注意到：2x3x3x3=54,認(rèn)為船長(zhǎng)年齡也可以是54歲。即

15606=54x17x17

但此時(shí)男女工作人員人數(shù)就都是17,不符合題目“男性占多數(shù)”的要求，因此錯(cuò)誤。

目業(yè)唯、,結(jié)

最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的合數(shù)是4,1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

2是偶數(shù)里唯一的質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)里唯一的偶數(shù)。

且1皿住

一、填空

i.有一個(gè)八位數(shù)，最高位上的數(shù)是最小的奇數(shù)，萬位上的數(shù)是最小的偶數(shù)，百位上的數(shù)是

最小合數(shù)，其他數(shù)位上都是一個(gè)既是偶數(shù)，又是質(zhì)數(shù)的數(shù)。這個(gè)數(shù)是。

2.既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

3.最小的自然數(shù)是,最小的質(zhì)數(shù)是,最小的合數(shù)是。

4.7、15、9、20四個(gè)數(shù)中，成為互質(zhì)數(shù)的有對(duì)。

5.兩個(gè)質(zhì)數(shù)和為18,積是65,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是和。

二、判斷

6.如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)一定都是質(zhì)數(shù)。（）

7.兩個(gè)自然數(shù)的積一定是合數(shù)。（）

8.如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)一定都是質(zhì)數(shù)。（）

9.一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)一定互質(zhì)。（）

10.除2以外，任何兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和都是偶數(shù)。（）

11.兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和一定是合數(shù)。（）

12.兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)。（）

13.所有的合數(shù)都是偶數(shù)。（）

14.2,4、5都是20的質(zhì)因數(shù)。（）

三、選擇

15.在卜20的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)有（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

16.下面各組數(shù)中，既是互質(zhì)數(shù)，又都是合數(shù)的一組是（）

A.2和3B.15和11C.8和9D.1和100

17.把70分解質(zhì)因數(shù)是：70=（）

A.lx2x3x7B.2x5x7C.7xl0D.2x35

第四講長(zhǎng)方體和正方體

目inn俱基本初識(shí)

4-1長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)

?—頂點(diǎn)：棱和棱的交點(diǎn)

面T-棱：面和面相交的線段

長(zhǎng)方體由6個(gè)面組成，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況下有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）

長(zhǎng)方體相對(duì)的面相同（上下面相同、左右面相同、前后面相同）

長(zhǎng)方體有12條棱，長(zhǎng)、寬、高分別都有4條。

相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等（特殊情況下長(zhǎng)、寬、高三個(gè)里面有兩個(gè)相等）

梭

正方體是一個(gè)特殊的長(zhǎng)方體。

正方體6個(gè)面完全相同，都是正方形。

正方體12條棱都相等。

長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）X4

所以告訴你棱長(zhǎng)總和，除以4就可以算出長(zhǎng)、寬、高的和。

正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)x12

4-2表面積

長(zhǎng)方體和正方體的展開圖

長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。

長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)x高+寬x高）X2

正方體的表面積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x6

長(zhǎng)方體的展開圖一般不考，但正方體的展開圖要重點(diǎn)掌握。

一四一呈6種，一三二有3種，二二二與三三各1種，展開圖共有11種。

將相對(duì)的兩個(gè)面涂上相同的顏色，正方

體的平面展開圖共有以下11種：

月如"口口

正方體表面展開圖分析

中間四個(gè)一連串二三緊連挪一個(gè)兩兩相連各挪一

兩邊各一隨便放三一相連一隨便三個(gè)兩排一對(duì)齊

1?由

曲:舟

一線不過四，田凹都不行。就是一條線不超過四個(gè)正方形，形成了“田”字和“凹”字的不

表面積變化規(guī)律：長(zhǎng)方體或者正方體，一刀切下去，分成兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，表面積增加的就是

刀切下去時(shí)多出來的兩個(gè)面的面積。

這種方式切割長(zhǎng)方體，增加兩個(gè)長(zhǎng)x寬的面。

長(zhǎng)X高

這種方式切割長(zhǎng)方體，增加兩個(gè)長(zhǎng)X高的面。

所以在切割長(zhǎng)方體時(shí)，表面積增加的大小要看寬X高、Kx寬、長(zhǎng)X高這三個(gè)乘積的

大小。

4-3體積和體積單位

物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)義寬X高

用。表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，6表示長(zhǎng)方體的寬，人表示長(zhǎng)方體的高，V表示體積，則

V=abh

正方體的體積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)

用。表示正方體棱長(zhǎng)，丫表示體積，則

V=a3

這兩種立體圖形的體積公式都可以概括為

體積=底面積x高

用S表示底面積，/?表示高，則

V=Sh

常用體積單位有立方厘米（。機(jī)3）、立方分米（力小）和立方米（〃/）

_Im3=1OOOcbn3

換算w：

Idnr1-1000cm3

相鄰體積單位是1000進(jìn)制。

4-4容積和容積單位

容器能容納物體的體積，叫做它們的容積。

一般而言，物體的體積大于它容積。

刖瞬4

例題1：一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)6分米，寬5分米，高4分米，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積最少增

加—平方分米，最多增加平方分米。

例題2：一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和為48cm,則它的長(zhǎng)寬高之和為cm?

目Ihl叵考身■結(jié)

1.長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）x4,因?yàn)槊恳环N都有4條。

2.長(zhǎng)方體的表面積公式。

3.表面積變化規(guī)律。

4.正方體的11種展開圖。

"fife

i.下面三個(gè)圖形中（每格都是正方形），不是正方體表面展開圖的是（）

2.下面是正方體展開圖的是（）

ABCD

3.下面不能折成正方體的是（）

A.lC.3D.4

5.用一根52厘米長(zhǎng)的鉛絲，正好可以焊成長(zhǎng)6厘米，寬4厘米，高（）厘米的長(zhǎng)

方體教具。

A.2B.3C.4D.5

6.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)總和是12厘米，它的表面積是平方厘米。

7.長(zhǎng)方體有個(gè)面，條棱，個(gè)頂點(diǎn)。

8.一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和是36cm,從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的和是cm.

9.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和48dm,則它的表面積是dm2.

10.下圖的木塊分成兩塊后，木塊的表面積增加平方厘米。

8

厘

米厘米

16厘米

目住?*?i9

一、分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

在進(jìn)行測(cè)量、均勻分配物體或者計(jì)算時(shí)，往往不能恰好得到整數(shù)結(jié)果，這時(shí)

我們可以用分?jǐn)?shù)表示。

二、分?jǐn)?shù)的意義

一個(gè)物體或者很多物體都可以看作是一個(gè)整體。把這個(gè)整體平均分成若干

份，這樣的一份或者幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。

整體可以用自然數(shù)1來表示，我們通常把它叫做“單位1”。分成幾份，每

份就都是整體的幾分之一。做題目時(shí)，首次就是要搞清楚每一個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的“單

位1”是誰。

我們學(xué)過整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，個(gè)、十、百、千、萬……，那么分?jǐn)?shù)是否也有計(jì)

數(shù)單位呢？當(dāng)然有，把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)就叫做分

數(shù)單位。任何一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一。

3的分?jǐn)?shù)單位是』，3的分?jǐn)?shù)單位是1……

4488

三、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

把6個(gè)蘋果平均分給3個(gè)人，每個(gè)人可以分幾個(gè)？

這是一道四年級(jí)數(shù)學(xué)題，我們會(huì)這么算：

6+3=2

總的蘋果數(shù)是6個(gè)平均分成3份每一份是2個(gè)

如果是2個(gè)蘋果平均分給3個(gè)人呢?

同樣用除法：

總的蘋果數(shù)是2個(gè)平均分成3份每一份是二2個(gè)

3

所以說，分?jǐn)?shù)就是除法。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：

被除數(shù)十除數(shù)=半叁

被除數(shù)

也即：除法的被除數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分子,除數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分母,商就是分?jǐn)?shù)值,除

法符號(hào)二就是分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)線。

可以認(rèn)為分?jǐn)?shù)是人們用來表示不能整除的除法時(shí)偷懶發(fā)明的。

比如：

14-2=0.5

如果用分?jǐn)?shù)表示的話就是：

1+2」

2

于是我們知道了分?jǐn)?shù)和小數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化：

-=0.5

2

如果一個(gè)整數(shù)除法除不盡呢？比如：

1+3=0.333333……

這時(shí)用分?jǐn)?shù)表示最為簡(jiǎn)潔：

1+3=」

3

1?

所以-=0.3

3

這就是分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法：用分子除以分母，列豎式得到商，就化成了小數(shù)。

例1:填空，把平均分成若干份，這樣的一份或者幾份都可以用分?jǐn)?shù)表

ZJso

例2：42表示把平均分成份，表示這樣的。它的分?jǐn)?shù)單位

3

是o

例3：把8塊月餅平均分成4份，每份是整體的,3份是整體的o

例4：把全班分成6組，一組是全班人數(shù)的,兩組是全班人數(shù)的。

例5：把6個(gè)蘋果平均分成3份，每2個(gè)蘋果是其中的份，4個(gè)蘋果占總共

的o

例6：小華10天看完一本書，平均每天看完這本書的,7天看完這本書

的o

例7：把50支鉛筆平均分成5份，把看做單位“1”，每份是整體

的,每份是支。

例8：把5加長(zhǎng)的繩子平均分成9段，每段占這條繩子的（），每段長(zhǎng)（）

tn。

眈Ifll生中試牛力

1.2讀作（），是把單位“1”平均分成（）份，表示這樣（）

4

份的數(shù)。

2.2的分?jǐn)?shù)單位是（），它里面有（）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

6

3.五十四分之三十九，寫作：（），表示（）個(gè)（）。

4.把7米長(zhǎng)的木棒平均分成9段，每段占全長(zhǎng)的（），每段的長(zhǎng)度是（）

米。

5.小明看一本共60頁(yè)的書，已經(jīng)看了39頁(yè)，還剩全書的（）沒有看。

31

6.上里有（）個(gè)工，35個(gè)（）是二。

101048

7.一條公路已經(jīng)修了士，是把（）看作單位“1”。

4

8.被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的（），除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的（），除號(hào)相當(dāng)于

（）,商相當(dāng)于（)O

134

9.-=()4-())4-27=2^

,、()()

10.54-()=]323+49=()

3-

11.豆kg表示把（）kg平均分成（）份，取其中的（）份，每

份是（）千克。

12.小芳每天睡眠9小時(shí)，她一天的睡眠時(shí)間占全天的一一會(huì)

13.小林看一本85頁(yè)的故事書，已經(jīng)看了48頁(yè)，看了全書的———1

14.桌子上有3杯牛奶，3個(gè)人分，平均每人分X杯，也就是（）杯。

2個(gè)人分，平均每人分（）杯。

15.把6米長(zhǎng)的繩子平均分成7段，每段占全長(zhǎng)幾分之幾？每段長(zhǎng)多少米?

16.現(xiàn)在有6千克糖果，均勻地裝在4個(gè)袋子里，平均分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小

朋友分到多少千克糖果？每個(gè)小朋友分到多少袋糖果？

17.百貨商店今天賣出15臺(tái)電視機(jī)，7臺(tái)洗衣機(jī)。賣出的電視機(jī)的臺(tái)數(shù)是洗衣機(jī)

幾分之幾？

分?jǐn)?shù)

日1M蚱基本卻設(shè)

一、分?jǐn)?shù)意義

i.一個(gè)物體或是幾個(gè)物體組成的一個(gè)整體都可以用自然數(shù)1來表示，我們通常

把它叫做單位“1”。

2.把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。例如士

----7

表示把單位“1”平均分成7份，取其中的3份。

3.9米按分?jǐn)?shù)的意義，表示：把1米平均分成8份，取其中的5份。按分?jǐn)?shù)與

8

除法的關(guān)系，表示：把5米平均分成8份，取其中的1份。

4.把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。

5.分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系是：分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)線相

當(dāng)于除法中的除號(hào)，分?jǐn)?shù)的分母相當(dāng)于除法中的除數(shù)，分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于除法

中的商。

6.把一個(gè)整體平均分成若干份，求每份是多少，用除法?？倲?shù)?份數(shù)=每份數(shù)。

7.求一個(gè)數(shù)量是另一個(gè)數(shù)量的幾分之幾，用除法。

一個(gè)數(shù)量+另一個(gè)數(shù)量=幾分之幾（幾倍）。

二、真假分?jǐn)?shù)

8.分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

9.分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于1或等于E

10.帶分?jǐn)?shù)包括整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分,分?jǐn)?shù)部分應(yīng)當(dāng)是真分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)大于1。

11.把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)的方法是用分子除以分母，商是整數(shù)部分，余數(shù)是分子,

分母不變。

把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)的方法是用整數(shù)部分乘分母的積加原來的分子作分子，分母

不變。

12.整數(shù)可以看成分母是1的假分?jǐn)?shù)。例如5可以看成是:。

三、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)

13.分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)大小不變。這叫

做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

四、公因數(shù)和約分

14.幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做它們的公因數(shù)，其中最大的公因數(shù)叫作它們的最大公

因數(shù)。最小公因數(shù)一定是1。

15.幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù),其中最小的公倍數(shù)叫作它們的最小公

倍數(shù)。沒有最大的公倍數(shù)。

16.求最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)可以用列舉法，也可以用短除法分解質(zhì)因數(shù)。

17.公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)教。

分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。（分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)

叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。）最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)不一定是真分?jǐn)?shù)。

18.除法計(jì)算的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示，比較方便。如果計(jì)算結(jié)果可以約分的話，

要化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

19.如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是

較大的數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)關(guān)系，那么它們的最大公因數(shù)是1,最小公倍數(shù)是它們的積。

20.數(shù)/X數(shù)6=它們的最大公因數(shù)X它們的最小公倍數(shù)。

21.兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)的幾種特殊情況有：①1和任何數(shù)都是互質(zhì)數(shù)；②兩個(gè)相

鄰的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)；③兩個(gè)相鄰的奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)；④兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)一

定是互質(zhì)數(shù)；⑤一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)不是它倍數(shù)的合數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。

22.把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小分?jǐn)?shù)，叫做約分。

約分的方選就是分子和分母同時(shí)除以它們的公因數(shù)。

目隹

一、填空。

17

1、亍是一個(gè)（）分?jǐn)?shù)，它的分?jǐn)?shù)單位是（），它有（）個(gè)這樣的

分?jǐn)?shù)單位，把它化成帶分?jǐn)?shù)是（）。

2

2、'的分子增加4,要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)增加（）。

3、在括號(hào)里填上合適的分?jǐn)?shù)。

800千克=（）噸25厘米=（）米

1400米=（）千米45分=（）小時(shí)

7平方米50平方分米=（）平方米

4、把2、11、±、3按照從大到小的順序排列起來。

1015155

5

5、在工這個(gè)分?jǐn)?shù)中，當(dāng)。是（）時(shí)，分?jǐn)?shù)值是1；當(dāng)”是（）時(shí)，

分?jǐn)?shù)值是5,當(dāng)a是（）時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是7。

aa

6、要使不是假分?jǐn)?shù)，至是真分?jǐn)?shù)，。應(yīng)是（）o

7、把3米平均分成4份，每份占1米的（），是（）米。

8、2的分母加上40,要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分子應(yīng)加上（）。

8

9.40平方分米=（）平方米75厘米=（）米350千克=（）噸

10、分?jǐn)?shù)不等于0）,當(dāng)（）時(shí)，它是假分?jǐn)?shù)；當(dāng)（）時(shí)它

b

是真分?jǐn)?shù)；當(dāng)（）時(shí)，它是這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位；當(dāng)（）時(shí)它是最簡(jiǎn)

分?jǐn)?shù)。

11、修一條4千米長(zhǎng)的水渠，5天修完，平均每天修（）千米，相當(dāng)于1

千米的（）。

12、竺的分?jǐn)?shù)單位是（），再加上（）個(gè)這樣的單位是1。

20

13、“一塊菜地的工種了黃瓜，，中，把（）看作單位“1”，平均分成（）

6

份，種黃瓜的是這樣的（）份。

14、“紅氣球是氣球總數(shù)的中，把（）看作單位“1”，平均分成（）份,

6

紅氣球是這樣的（）份。

15、把8公頃地平均分成15份，每份是這塊地的（）,每份是（）公頃。

二、選擇。（把正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里）

1、18的倍數(shù)有（）個(gè)。

A.48.6C.無數(shù)

2、已知A、B、C是大于0的自然數(shù)，A<B<C,那么&（）-o

CC

A.<B.>C.=

33

3、把一根繩子剪成兩段，第一段長(zhǎng)5米，，第二段占全長(zhǎng)的5,兩段相比較

（）O

A、第一段長(zhǎng)B、第二段長(zhǎng)C.一樣長(zhǎng)D.無法比較

三、實(shí)際應(yīng)用。

1、五（2）班有學(xué)生45人，其中男生21人，男生占全班人數(shù)的幾分之幾？女

生占全班人數(shù)的幾分之幾？男生人數(shù)是女生人數(shù)的幾分之幾？女生人數(shù)是男生

人數(shù)的幾分之幾？

2、一批貨物共有600噸，已經(jīng)運(yùn)走了250噸。

（1）運(yùn)走的貨物占這批貨物的幾分之幾？

（2）剩下的貨物占這批貨物的幾分之幾?

目inn俱基本初識(shí)

一、約分

[1.最大公因數(shù)]

指定兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)，如果有一個(gè)整數(shù)是它們共同的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就叫做它

們的公因數(shù)，也可以說成“公約數(shù)”。公因數(shù)中最大一個(gè)的稱為最大公因數(shù)，又稱作最大公

約數(shù)。

譬如，4是8和12的最大公因數(shù)。

求最大公因數(shù)的方法：短除法。

將左邊的所有公因數(shù)乘起來，就得到了最大公因數(shù)。

[2.約分]

把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分

約分的依據(jù)是：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（分子分母同時(shí)除以不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變）

一般而言，約分要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),即分子和分母只有公因數(shù)1,或者說分子分母為互質(zhì)數(shù)

約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的方法：可以逐步約分,也可以把分子分母同時(shí)除以最大公因數(shù)。

五、通分

[1.最小公倍數(shù)]

指定兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)，如果有一個(gè)整數(shù)是它們共同的倍數(shù),那么這個(gè)數(shù)就叫做它

們的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小一個(gè)的稱為最小公倍數(shù)。

譬如，24是8和12的最小公倍數(shù)。

求最小公倍數(shù)的方法：①倍數(shù)關(guān)系：最小公倍數(shù)就是較大數(shù)。②互質(zhì)關(guān)系：最小公倍

數(shù)就是它們的乘積。③一般關(guān)系：大數(shù)翻倍（從小到大看較大數(shù)的倍數(shù)是否是較小數(shù)的倍

數(shù)）。

求最小公倍數(shù)的方法：短除法。

左邊的公因數(shù)全部乘起來，再乘以余下的兩個(gè)互質(zhì)數(shù)，就得到最小公倍數(shù)。

[2.通分]

把兩個(gè)或者多個(gè)異分母分?jǐn)?shù)，在大小不變的情況下，化成分母相同的分?jǐn)?shù)，叫做通分。

約分的依據(jù)是：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（分子分母同時(shí)乘以不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變）

通分可以用于比較異分母分?jǐn)?shù)的大小。

分?jǐn)?shù)的大小比較：①同分母分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)就大，分子小的分?jǐn)?shù)就??；②同分子

分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)反而小，分母小的分?jǐn)?shù)反而大。③異分母分?jǐn)?shù)，先化成同分母分?jǐn)?shù)（分

數(shù)單位相同），再進(jìn)行比較。

六、分?jǐn)?shù)化小數(shù)

分?jǐn)?shù)化小數(shù)很簡(jiǎn)單，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)就是除法，用分子除以分母，把商用小數(shù)表示，就可以順

利化成小數(shù)。

比如：——=31-100=0.31

100

2

有的分?jǐn)?shù)除不盡：一=2+3=0.666666.這時(shí)應(yīng)當(dāng)“四舍五入”保留相應(yīng)的位數(shù)。

3

七、小數(shù)化分?jǐn)?shù)

小數(shù)表示的就是十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數(shù)，所以可以先化成分母是10、

100,1000……的分?jǐn)?shù)，再化簡(jiǎn)就可以。

目[h隹m題贈(zèng)課

例1把下面的分?jǐn)?shù)約分后，再按照從小到大的順序排列起來。

1220_[6U)

16252816

例2甲、乙兩工人做同樣的機(jī)器零件，甲2小時(shí)做3個(gè)，乙5小時(shí)做7個(gè),

他們做一個(gè)零件需多少時(shí)間？誰做得快？

分析：誰做得快一些，實(shí)質(zhì)是比大小。比大小需根據(jù)題意理解，此題所求的

是時(shí)間，做得快慢是指效率。因此，時(shí)間用得少的工作效率應(yīng)該快。

例3約分時(shí)，遇到一些不常出現(xiàn)的較大數(shù)，往往沒有約盡，就認(rèn)為是最簡(jiǎn)

分?jǐn)?shù)，而不再約分是錯(cuò)誤的。如：

341711457

(1)102=51(2)152=76

68068142

(3)850=85(4)35=7

例4熟記下列分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化

3]_2

2=0.54=0.254=0.755=0.25=0.4

34_1_35

5=0.6二=0.88=0.1258=0.3758=0.625

7J_11

8=0.87520=0.0525=0.0450=0.02

例5在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）。

100分=（）小時(shí)240千克=（）噸

75平方分米=（）平方米800克=（）千克

45厘米=（）米45分=（）小時(shí)

例6判斷。（對(duì)的打“，錯(cuò)的打“X”）

（1）分子、分母都是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)，一定不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。（）

（2）分子、分母都是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)，一定是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。（）

（3）約分時(shí)，每個(gè)分?jǐn)?shù)越約越小；通分時(shí)，每個(gè)分?jǐn)?shù)的值越來越大。（