劃艇比賽成績模型

劃艇比賽的成績問題重述：賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似?，F(xiàn)在考慮八人艇分重量級組（槳手體重不超過86kg）和輕量級組（槳手體重不超過73kg）,建立模型說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%。T.A.McMathon比較了各種賽艇1964—1970年四次2000m比賽的最好成績（包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽），見表5第1至第6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當一致的差別，他認為比賽成績與槳手數(shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關系。艇種2000砒成績t(min)艇長l(m)艇寬b(m)lib艇重w0kg）槳手數(shù)n1234平均單人7.167.257.287?177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486?136.3211.750.57421.018?1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7表5各種艇的比賽成績和規(guī)格模型分析：賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。船靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進。槳手越多劃艇前進的動力越大。但是艇和槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分的動力。建模目的是尋求槳手數(shù)量與比賽成績（航行一定距離所需時間）之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設艇速在整個賽程保持不變，那么只需構造一個靜態(tài)模型，使問題簡化為建立槳手數(shù)量與艇速之間的關系。注意到在實際比賽中槳手在極短的時間內使艇加速到最大速度，然后把這個速度保持到終點，那么上述假設也是合理的。為了分析所受阻力的情況，調查了各種艇的幾何尺寸和重量如表5。觀察第7至10列給出的這些數(shù)據，可以看出，槳手數(shù)n增加時，艇的尺寸l,b及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0/n變化不大．若假定l/b是常數(shù)，即各種艇的形狀一

樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關系。若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手數(shù)之間的關系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關系等方面作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。模型假設：1.各種艇的幾何形狀相同，艇的尺寸l,b，l/b為常數(shù)；艇重w0與槳手數(shù)n成正比。這是艇的靜態(tài)特性。2.艇速v是常數(shù)，前進時受的阻力f與sv2成正比（s是艇浸沒部分面積）。這是艇的動態(tài)特性。3?槳手數(shù)為n=8不變，每個槳手體重記作w;在比賽中每個槳手的劃槳功率p保持不變，且p與w成正比。這是槳手的特征。假設的合理性說明：假設1是根據所給數(shù)據作出的必要且合理的簡化。假設2中，根據物理學的知識，運動速度中等大小的物體所受阻力f符合假設2中f與sv2成正比的情況。假設3中，w,p為常數(shù)屬于必要的簡化，而p與w成正比可解釋為：p與肌肉體積、肺的體積成正比，對于身材勻稱的運動員，肌肉、肺的體積與體重w成正比。模型構成：有n名槳手的劃艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即npgfv即npgfv有假設2,3，fgfv2，Vwgs丿代入（1）式可得(1)pgw1_3(2)由假設1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積s與艇的某特征尺寸c的平方成正比（sgC2），則艇排水量體積A必與c的立方成正比（Ag c3），于是有SgA十 （3）3又根據艇重U與槳手數(shù)目n成正比，所以艇和槳手的總重量W=U+nw（4）而由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量W成正比，即

2SXW3AxW (5)(3)，(5)，式給出(6)因為比賽成績t(時間)與V成反比，所以tX1/T (7)綜上得：V=k(U+nW),S二kV2/357模型求解：如果八人艇分為重量級組和輕量級組，規(guī)定重量級組運動員體量為86公斤，輕量級組運動員體重為73公斤。表列八人艇是重量級組的成績,請推斷說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%。設：輕量級組的運動員體重,劃艇浸沒面積,艇速和成績分別為W,S,v,T,相應的重量級組為W,S,v,T。根據前面得到的艇速的模型,，有12222v(nWS)1/3c— c rv(nWS)1/3c— c rcv(nWS)1/3v=k(nW/S)1/3111，V2=k(nW2/S2)1/3?因此v=k(nW/S)1/3111，V2=k(nW2/S2)1/3?因此根據浸沒面積與排水體積的模型S=kV2/3，和排水體積與人數(shù)模型Vk(U+nW)，5S—1S2(U+nW)2/3 1-(U+nW丿2(W)2/3>—IW'2zs1>亍>2s可得(W/W)1/9<(T/T)<(W/W)1/3,1>T>0.896498

2 1 1 2 2 1 S2由于W/W=86/73=1.178則有1.018<(T/T)<1.056。2112所以重量級組的成績比輕量級組大約好5%，成立。四、實驗步驟為了利用數(shù)據實現(xiàn)最小二乘法的擬合，需兩邊同時取對數(shù)，即logt=loga+b*logn,把它作為一次項多項式用polyfit函數(shù)進行運算，程序如下:n=[l,2,4,8];t二[7.17,6.77,6.13,5.73];tl二[7.21,6.88,6.32,5.84];p=polyfit(log(n),log(t),1);p1二polyfit(log(n),log(t1),1);a二exp(p(2))b=p(1)a1=exp(p1(2))b1=p1(1)t1二a*n.6;plot(n,t,，+，,n,t1,，_，)五、實驗結果結果求得a=7.2146,b=-0.1114,a1=7.2842,b1=-0.1035;實際數(shù)據與計算結果的圖像如下所示：六、實驗討論、結論書中給出的實驗結果是用第四列的時間來計算得到的，再利用第五列的平均時間計算可得到al和bl的值。單純的只運用比例的建模方法推導出得函數(shù)關系可能不太精細，也得不到具體的關于速度的表達式，但對于解決這個問題---人數(shù)和時間關系而言已經足夠了，由圖可知基本符合實際情況。七、參考資料艇種2000m成績t(min)艇長l(m)艇寬b(m)l/b艇重w0(kg)/槳手數(shù)n1234平均單人7.167.257