立體幾何好題及答案

.高三數(shù)學(xué)·單元測(cè)(九試)卷第九單元[簡(jiǎn)單幾何體]，交角與距離(時(shí)量:120分鐘150分)一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合題目要求的．1．過(guò)三棱柱隨意兩個(gè)極點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有A．18對(duì)B．24對(duì)C．30對(duì)D．36對(duì)2．．一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為A．82B．8C．42D．43．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA＝QC1，則四棱錐B－APQC的體積為VVVVA．6B．4C．3D．24．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為A．2B．33343C．3D．25．設(shè)α、β、γ為平面，m、n、l為直線，則m的一個(gè)充分條件是A．,l,mlB．m,,C．,,mD．n,n,m6．如圖，正方體ABCD－A1BCD1的棱長(zhǎng)為1，O是底面ABCD的中心，則O到平面111111ABCD的距離為D111C1O12A1A．2B．4B1C．2D．3DC227．不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有ABA．3個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)8．正方體ABCD－ABCD中，E、F分別為棱AB、CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與平面A1ECF111111所成角的正弦為6362A．3B．3C．6D．29．在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中，有一個(gè)平面多邊形，它在xOy平面的正射影的面積為8，..在yOz平面和zOx平面的正射影的面積都為6，則這個(gè)多邊形的面積為A．246B．46C．234D．3410．將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為A．326B．2＋26C．4＋26D．43263333答題卡題號(hào)12345678910答案二、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分．把答案填在橫線上．11．正三棱錐P－ABC的四個(gè)極點(diǎn)同在一個(gè)半徑為2的球面上，若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為23，則正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是_____________．12．如圖，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°且PA＝AB＝BC＝a，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于________．13．已知球面上A、B兩點(diǎn)間的球面距離是1，過(guò)這兩點(diǎn)的球面半徑的夾角為60°，則這個(gè)球的表面積與球的體積之比是．14．下面是對(duì)于三棱錐的四個(gè)命題：①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．④側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．其中，真命題的編號(hào)是______________（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）．15．在正方體ABCD－ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，11111則①四邊形BFD1E一定是平行四邊形②四邊形BFD1E有可能是正方形③四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形④四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D以上結(jié)論正確的為（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．(此題滿分l2分)在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大?。?/p>

VDCAB..17．（此題滿分12分）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別是2和6，高為3的等腰梯形．將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2．O1CDO1CDOBAOBA（Ⅰ）證明AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大?。?8．（此題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2．（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；（2）若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；（3）在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為1，若存在，求出BG的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．PEADBC..19．（此題滿分14分）如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F．⑴求證：平面A1EF⊥平面B1BCC1；⑵求直線AA1到平面B1BCC1的距離；⑶當(dāng)AA1多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等．A

A1A與AB、ACA1C1B1FECB20．(此題滿分14分)如圖直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，2SO=1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸成立直角坐標(biāo)系O-xyz.uuuruuurz⑴求SC與OB的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；S⑵設(shè)n(1,p,q),知足n平面SBC,求:rn的坐標(biāo);O②OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）；AyB③O到平面SBC的距離.C⑶設(shè)k(1,r,s)知足kSC且kOB.填寫(xiě):x①k的坐標(biāo)為.②異面直線SC、OB的距離為.（注：⑶只需求寫(xiě)出答案）..21．(此題滿分14分)直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝a，∠BCA＝90°，AA1＝2a，M、N分別是A1B1、AA1的中點(diǎn)．I）求BN的長(zhǎng)；II）求cos〈BA1,CB1〉；III）求證：A1B⊥C1M．..[]12345678910CDCAABDACC11312313π141516ADOVOABCD112A100B110C110D100V00322222uuuruuuruuur(1,0,3)AB(0,1,0),AD(1,0,0),AV322uuuruuur(0,1,0)(1,0,0)0uuuruuur4ABADABADuuuruuur(0,1,0)(1,0,3)0uuuruuur5ABAVABAV22AB∩AVAABVAD6uuur(0,1,0)VAD7ABrn(1,y,z)VDBruur13x1rnVB0(1,y,z)(,1,)0(1,1,3)9ruuur0223n3nBD(1,y,z)(1,1,0)0z3uuurr(0,1,0)(1,1,3)21cos311AB,n21713VADVDBarccos217

1217IOAOO1OBOO1.AOBOAOB.OOAOBOO1xyz..如圖3，則有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，3）O（0，0，3）.圖31進(jìn)而AC(3,1,3),BO1(0,3,3),ACBO13330.所以AC⊥BO.1（II）解：因?yàn)锽O1OC3330,所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，BO1是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)n(x,y,z)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由nAC03xy3z0,取z3,得n(1,0,3).nO1C0y0.設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由n、BO1的方向可知n，BO1>，所以coscosn，BO1>=nBO13.|n||BO1|4即二面角O—AC—O13的大小是arccos.4解法二（I）證明由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，O1C即OA⊥OB.進(jìn)而AO⊥平面OBCO1，F(xiàn)DOC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.E因?yàn)閠anOO1BOB3tanO1OCO1C3，OBOO1OO13所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，進(jìn)而OC⊥BO1由三垂線定理得AC⊥BO1.II）解由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.設(shè)OC∩O1B=E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連接O1F（如圖內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.

A圖44），則EF是O1F在平面AOC由題設(shè)知OA=3，OO1=3，O1C=1，所以O(shè)1AOA2OO1223,ACO1A2O1C213，進(jìn)而O1FO1AO1C23，又O1E=OO1·sin30°=3，AC132..sinO1FEO1E13.O—AC—O1arcsin3.O1F4418AABxADyAPz1A(000)B(100)C(120)D(020)E(012)P(001)uuuruuuruuuruuur1uuurCD(100)AD(020)AP(001)AE(01)PC(121)uuuruuur2QCDAD0CDADCD平面PAD(1)uuuruuur0CDPDCPAD5CDgAPAP平面PDCAPIADCDAuuuruuur(2)cosAE,PC

uuuruuurAEgPCuuuruuur|AE|g|PC|

12230101+4·630910(3)BCGBGxG(1x0)DQAGuuuruuuruuuruuurDQPAGDQ12S△ADGS矩形ABCD|AG|g|DQ||AB|g|AD|2uuur|AG|2AGx2+1x3<2GBG3DPAG11419CC1BB1BB1A1ECC1A1ECC1A1FCC1A1EFA1EFB1BCC14A1HEFHA1HB1BCC1A1HA1B1BCC1A1EFA1EA1F2EF2A1EFRtEFA1H19A1HEF12A1GABCGAGA1GA1ABCAGBACA1G112cosA1AGcos45°6sinA1AG3A1A1114cos30°333320C200S001O000B110SC(2,0,1),OB(1,1,0)cosSC,OB210,arccos1052554SB(1,1,1),CB(1,1,0)nSBC..ruurruuurruur1pq0nSB,nCB,nSBruuur1p0,解得:p1,q2,r(1,1,2)nCBn7過(guò)O作OEBC于E,則BC面SOESOESAB又兩面交于SE,過(guò)O作OHSE于H,則OHSBC,延伸OA與CB交于F,則OF2連FH,則OFH為所求又OE2,SE3SOOE12666,sin3OH3326SEarcsin6LLLLLLLLLLLLLLLLL10分6k的坐標(biāo)為1,1,2OH614321CIB(0a0)N(a0a)|BN|(