人教版八年級上冊《因式分解》例題與講解

14.3因式分解因式分解定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.因式分解與整式乘法的關系因式分解與整式乘法是相反方向的變形:?如(a+b)(a——b2.即多項式乘以多項式或單項式乘以多項式(整式乘法)是“積化和”，而因式分解則是b)““和化積”，故能夠用整式乘法來查驗因式分解的正確性.談重點因式分解的理解(1)因式分解專指多項式的恒等變形，等式的左邊必須是多項式，右邊每個因式必須是整式

.

(2)因式分解的結果必須要以積的形式表示

，否則不是因式分解.(3)因式分解中每個括號內(nèi)如有同類項要歸并，因式分解的結果要求必須將每個因

式分解徹底

.【例1】下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是

(

).A.a(x+y)=ax+ay2y—4y+4=y(y—4)+4210a—5a=5a(2a—1)y2—16+y=(y+4)(y—4)+y2.公因式(1)定義要對數(shù)字系數(shù)和字母分別進行考慮，確定公因式時:看系數(shù)，二看字母，三看指數(shù).解技巧多項式的各項中都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.確定公因式的方法數(shù)的最大條約數(shù)作為公因式的系數(shù).二是各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低次，即取相同字母的最低次幕.最后還要根據(jù)情況確定符確定多項式的公因式的方法確定一個多項式的公因式時，確定公因式的方法：(1)對于系數(shù)(只考慮正數(shù)),取各項系對于字母，需考慮兩條，一是取各項相同的字母；【例

2】把多項式

6a3b2—

3a2b2—

12a2b3

分解因式時，應提取的公因式是

(

).22A.3ab

B.3ab33C.3ab

D.3ab提公因式法定義一般地，如果多項式的各項有公因式，能夠把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.⑵提公因式的步驟①確定應提取的公因式；⑶—27a2b+9ab2—18ab;(4)2x(a-2b)—3y(2b—a)—4z(a—2b).②用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式；③把多項式寫成這兩個因式的積的形式.警誤區(qū)提公因式要徹底

(1)所提的公因式必須是

“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不能還有公因式；

⑵如果多項式的首項系數(shù)是負數(shù)，應先提出

“一”號

.可按下列口訣分解因式：各項有“公”先提“公”，首項有“負”先提“負”，某項提出莫漏“1”，括號里面分到“底”.【例3】用提公因式法分解因式：2

2

33

2(1)12xy

—

18xy

—

24xy

；

(2)5x

—

15x+5

；⑶—27a2b+9ab2—18ab;(4)2x(a-2b)—3y(2b—a)—4z(a—2b).用平方差公式分解因式因式分解的平方差公式兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積22=(a+b)(a—b).?a即—b這個公式就是把整式乘法的平方差公式等號左右兩邊顛倒過來.平方差公式的特點左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；右邊是兩個數(shù)(或整式)的和與這兩個數(shù)(或整式)的差的積?凡是切合平方差公式左邊特點的多項式都能夠用這個公式分解因式.【例4】把下列多項式分解因式：(1)4x2—9;(2)16m2—9n2;322(3)ab—ab;(4)(x+p)—(x+q).用完全平方公式分解因式因式分解的完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方?即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2—2ab+b2=(a—b)2.這個公式就是把整式乘法的完全平方公式等號左右兩邊顛倒過來.(2)完全平方公式的特點左邊是一個三項式，其中兩項同號且均為一個整式的平方(平方項)，另一項為哪一項平方項幕的底數(shù)的2倍(乘積項)，符號可正也可負，右邊是兩個整式的和(或差)的平方，中間的符號同左邊的乘積項的符號.【例5】把下列多項式分解因式：22(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2—6(m+n)+9;22(4)—x2—4y2+4xy.3ax+6axy+3ay;十字相乘法如果多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，也不能分組分解時，可采用此法。二次三項式：多項式ax2bxc，稱為對于x的二次三項式，其中ax2稱為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項?比如X，2-2X-3和x25x6都是，這里要確定四個常數(shù)，一般要借助“畫十字交錯對于x的二次三項式.(2)它的特點是“拆兩端，湊中間”線”的辦.法來確定2axbxc匸A虛線框部分可在底稿紙進行2分解結果：axbxc=(a1xc1)(a2xc2)22【例6】(1)分解因式：x5x6(2)分解因式：x-7x61-11X21X3=51-6I+(-1)+(-6)=-7________________________________________解：原式=(x2)(x3)解：原式=(x_1)(x_6)(3)分解因式：3x2-11x10x-5yy+6y1X-21(-6)+(-5)=-11解：原式(~3y)^(-2y/=(x2)(3x5)=-5y解匸原式=(屮即)(十3]')點撥二次項系數(shù)不等于1的二次三項式應用十字相乘法分解時，常數(shù)項的分解二次項系數(shù)的分解和隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點,習，積累經(jīng)驗，才能提高速度和正確性.要適合增加練【例7】分解因式：(1)X2+3X+2(2)x2-2x-152(3)3x■8x-3?分組分解法

1'7'-如果多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，則考慮分組分解。(1)分組后能直接提公因式【例8】分解因式：aman?bm?bn解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)?b(mn)*每組之間還有公因式！=(mn)(ab)【例9】分解因式：2axTOay'5by-bx222a-2abb-c(2)分組后能直接運用公式【例10】(1)分解因式：x2_y2axay基本方法煤車隨力因式分解的一般步驟根據(jù)多項式的特點靈活選擇分解因式的方法，其一般步驟可歸納為：先考慮可否提公因式，再考慮可否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法?以上步驟可用口訣歸納如下：

.

對于一個還能持續(xù)分解的多

項式因式仍舊用這一步驟頻頻進行“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法頻頻試，檢查是否能持續(xù)”

?9.運用公式法分解因式易出現(xiàn)的錯誤在分解因式時，多項式的項數(shù)假如兩項，且含有平方項，則考慮用平方差公式進行分解因式.若多項式是三項式，則考慮用完全平方公式或十字相乘法.在應用公式法分解因式時常出現(xiàn)的錯誤是：對公式的構造特點掌握不熟，理解不透徹，易出現(xiàn)符號、項數(shù)上的錯誤，二次項、一次項系數(shù)搞錯，把兩個公式混雜等.【例11】把下列各式分解因式：233322(1)18xy—50y；(2)axy+axy—2axy.解：【例

12】下列各式能用完全平方公式分解因式的是

(

)?21

a2①4x2—

4xy—y2;②x2+~x+

;③一1

—

a一一；④

m2n2+4

—

4mn;

⑤a2—

2ab+4b

2;⑥x2525

4—8x+9.A?1

個

B?2

個

C.3

個思維拓展創(chuàng)新應用運用分解因式解決著手操作題這類題目主要考察著手操作能力，它包括裁剪、折疊、拼圖等?不單考考察查動想手象能能力力，，還往往與面積、對稱性質(zhì)聯(lián)系在一同?此類題目就是經(jīng)過拼圖，用不同的表式示子圖形面積，以達到把多項式分解因式的目的.【例13】某同學剪出若干個長方形和正方形卡片，如圖(1)所示，選用圖(1)中相應的種類和一定數(shù)量的卡片拼成一個大長方形如圖(2)，根據(jù)拼成的圖形的面積，把多項式a2+(2)4ab+3b2分解因式.圖⑵1?用提公因式法因式分解am+an;2?用公式進行因式分解：2(1)m+2m+1;(3)(a+b)—4a3.用十字相乘法分解因式2⑴x+7X+10；4?利用分