概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)1至7章課后答案

一、第六章習(xí)題詳解6.1證明(621)和(622)式.證明：(1)Y-Y-(aXib)](aXinb)ni1ni1a(-Xi)aXni1Y)2[(aXib)(aXb)]2i11n2a21(XiX)22^2-[a(XiX)]aSXni1ni16.2設(shè)X1,X2,證明與、方差為22分別為該樣本均值。,Xn是抽自均值為的總體的樣本，X與sE(X),Var(X)2/n.證：E(X)111C(XXLXn)]1E(X1X2LXn)-(n)E12Var[n(X1X214(n2Var(X)1)nLXn)]n-E(X1X2LXn)nnn6.3設(shè)XiX,222,X是抽自均值為(Xi、方差為2的總體的樣本，s2i1X),證明：(1)S22(2)E(S2)nX)nn證：(1)S2(XiX)122(Xi2XXiX)n1i11nn宀(Xi2)2XXinX2]n1i1i12X(nX)nX2]Xi2nX2)n1i12Xj12nX2)122⑵E(S)—E("i1E(Xi)nE(X)]n1i1n2n^{2i)[Var(X(EXi)]n[Var(X)(EX)]}2n^{2)n(—2)}—七山(2)n2)]n12)匕(nn16.4在例6.2.3中，設(shè)每箱裝n瓶洗凈劑.若想要n瓶灌裝量的平均阻值與標(biāo)定值相差不超過(guò)0.3毫升0.3解：因?yàn)镻(|XI0.3)P(I2(03n)1/..n/,n依題意有，2(0.3?一n)10.95，即(03一n)0.975(1.96)的概率近似為95%,請(qǐng)問(wèn)n起碼應(yīng)當(dāng)?shù)扔诙嗌?？于?3n1.96，解之得n42.7所以n應(yīng)起碼等于43.10歐姆的散布6.5假定某種種類(lèi)的電阻器的阻值聽(tīng)從均值在一個(gè)電子線(xiàn)200歐姆，標(biāo)準(zhǔn)差路中使用了25個(gè)這樣的電阻199到202歐姆之間的概率5100歐姆的概率.解：由抽樣散布定理，知近似聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布N(0,1),因此(1)P(199—202200199200X202)(10/.25)(■)10/..25(1)(0.5)(1)1(0.5)0.841310.69150.5328——5100、⑵P(nX5100)P(X)P(X204)204200、、25()(2)0.97726.6假定某種設(shè)施每日停機(jī)時(shí)間聽(tīng)從均值4小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差0.8小時(shí)的散布.(1)求一個(gè)月（30天）中，每日平均停機(jī)時(shí)間在1到5小時(shí)之間的概率；⑵求一個(gè)月（30天）中，總的停機(jī)時(shí)間不超過(guò)115小時(shí)的概率.解:⑴P(1X5)5/、n)J54(o.8/：o)加（E）(6.85)20.54)1、⑵P(30X115)P(X30)(115/304)(1.14)0.87290.12710.8/、306.7設(shè)n，證明1T~t（）0,n2,3,L.ET證：t（n）散布的概率密度為：[(n1)/2]f(x)升爲(wèi)1n1x26.6假定某種設(shè)施每日停機(jī)時(shí)間聽(tīng)從均值4小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差0.8小時(shí)的散布.0.97720[(n.9615)/2]0.28571—n(n/2)E(T)xf(x)dxn1n[(n1)/2]x2x2dxd(1(n/2)n[(n1)/2]x21n(n/2)6.8設(shè)總體X~N（150，252）,現(xiàn)在從中抽取樣本大小為25的樣本，P{140X147.5}.解：已知150，25，n25，147.5150140150P(140X147.5)(.)(25/12525/,25(0.5)(2)(2)(0.5)6.9設(shè)某大城市市民的年收入聽(tīng)從均值1.5萬(wàn)元、標(biāo)準(zhǔn)差0.5萬(wàn)元的正態(tài)散布.現(xiàn)隨機(jī)檢查了100個(gè)人，求他們的平均年收入落在下列范圍內(nèi)的概率（1）大于1.6萬(wàn)元；2小于1.3萬(wàn)元；落在區(qū)間[1.2，1.6]解:—052設(shè)X為人均年收入,N(1.5,0.52)，則X~N(1.5,)，得100(1)P(X1.6)P(X1.6)1(辟)10.97720.0228P(X1.3)。爲(wèi)）（1(4)1104)P(1.21”）（。:雹）辟）(2)(6)0.97726.10假定總體散布為N(12,22),今從中抽取樣本X1,X2,L,X5.求樣本均值X大于13的概率；樣本的最小值小于10的概率;樣本的最⑵大值大于15的概率.⑶解:因?yàn)閄~N(12,22)，所以X~N(12,—)，得5(1)P(X13)P(X13)1(鑒)1(1.12)10.86860.1314（2）?設(shè)樣本的最小值Y,則YMin(X1,X2,X)，于為P(Y10)P(Y10)1P(X110)P(X210)P(X510)55[1吟)]i1[1P(Xi10)]5i125i1[1(1)]⑴1(0.8413)50.5785（3）?設(shè)樣本的最大值Z,則ZMax(X1,X2,,X5)，于為1)S2~2

15)1P(X115)P(X215)P(Xs1512)51(0.9332)50.2923「0.5)6.11設(shè)總體X~N(,，從中抽取容量樣本X1,X2,LS2為樣本方差.計(jì)算PS22.04.因?yàn)閄~N(,2),由定理2,得3nXiX22(n1),E(n1)S22(n1),所以n1,EP(Z15)1P(Z15)于是E(S2)2,D(S2)24/(n1).當(dāng)n16時(shí)D(S2)24/15,且,222222P{S/2.04}P{15S/30.615}1P{15S2/230.615}10.010.99(0.01(15)30.578).第六章《樣本與統(tǒng)計(jì)量》定理、公式、公義小結(jié)及補(bǔ)充:（1）數(shù)理統(tǒng)總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱(chēng)為總體（或計(jì)的基本觀點(diǎn)母體）。我們老是把總體當(dāng)作一個(gè)擁有散布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單兀稱(chēng)為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1,x2,,xn稱(chēng)為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱(chēng)為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，老是把樣本1當(dāng)作是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相冋散布的隨機(jī)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，X1,X2（樣本）；在詳細(xì)的一次

變量，這樣的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn),,Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量抽取之后，x1,x2,,xn表示n個(gè)詳細(xì)的數(shù)值（樣本值）。我們稱(chēng)之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)設(shè)Xi,X2,,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)量(Xi,X2,,Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(chēng)(Xi,X2,,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常有統(tǒng)計(jì)量及其1n性質(zhì)樣本均值X—Xi.ni1樣本萬(wàn)差S21n(X)2.1(Xin1i1n(XiX)2.樣本標(biāo)準(zhǔn)差s譏1i1樣本k階原點(diǎn)矩正態(tài)總體下正態(tài)散布的四大散布

1n,k1,2,.Mk-Xikn樣本k階中心矩Mk丄(XiX)k,k2,3,nii2E(X),D(X)可,E(S2)E(S*2)丄」22,5n其中S*2n丄(XiX)2，為二階中心矩。ni1設(shè)Xi,X2,,Xr為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)defXN(0,1).Ut散布設(shè)Xi,X2,,xn為來(lái)自正態(tài)總體N(2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)defxi),t一------~t(n其中t(n-1)表示自由度為n-1s/Jn的t散布。2散布2設(shè)Xi,x2,,xn為來(lái)自正態(tài)總體N()的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def(ni)S22W2(ni),其中2(ri)表示自由度為n-i的2散布。F散布2設(shè)Xi,X2,,xn為來(lái)自正態(tài)總體N(,i)的一個(gè)樣本，而yi,y2,,yn為來(lái)自正態(tài)總體N(,2F