面排列組合二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)筆記(精華版)

歡迎下載——精品資料精品資料精品資料考試內(nèi)容：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.排列.排列數(shù)公式.組合，組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì).考試要求：(1)掌握分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.(4)掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。一、兩個(gè)原理.1.乘法原理、加法原理.從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二.…第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·…m=m"..例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少二、排列.1.(1)對(duì)排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.如果：兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)A”表示.A=A"+A-Cm-=A"+mA"A=nA-'規(guī)定C?=C"=12.含有可重元素的排列問(wèn)題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a?,az……an其中限重復(fù)數(shù)為精品資料精品資料■■例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個(gè)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)?其排列個(gè)·1.(1)組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說(shuō)從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.(或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類(lèi)，一類(lèi)是含紅球選法有C"1C1=C■一類(lèi)是不含紅球的選法有CⅢ)②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有,如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有種，依(4)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”,后者是“并成一組”,前者有順序關(guān)系，后者無(wú)順序關(guān)系.(5)①幾個(gè)常用組合數(shù)公式②常用的證明組合等式方法例.i.裂項(xiàng)求和法.如：(利用ii.導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.v.遞推法(即用.精品資料精品資料證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式(x+1)"(l+x)"=(1+x)2其中x”的系數(shù)，左邊為四、排列、組合綜合.1.1.排列、組合問(wèn)題幾大解題方法及題型：①直接法.②排除法.又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為A2-AT1-A3②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有A=A2·③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A2-A=注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有A?種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少?AH-m-A-m(插空法),當(dāng)n-m+12m,即時(shí)有意義.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素：從位置的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有A”種，m(m<n)個(gè)元素的全排列有Am種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法?解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2).n=n!/m!;解法二：(比例分配法)⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有歡迎下載——精品資料精品資料精品資料例如：從1,2,3,4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法?有(平均分組就用不著管組與組之間的順序問(wèn)題了)又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少?注意：分組與插空綜合.例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法?有,當(dāng)n-m+1≥m,即時(shí)有意義.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問(wèn)題.在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)●x+x?+x?…+x?=A=a-l+a?-1+.?-1=A,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為⑨定位問(wèn)題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有·例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在(或不固定在)某一位置上，共有多少種排法?中取m-1,這與用插空法解決是一樣的)⑩指定元素排列組合問(wèn)題.i.從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列(或組合),規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)。ii.從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列(或組合),規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。iii從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列(或組合),規(guī)定每個(gè)排列(或組合)都只①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問(wèn)題先選后排的歡迎下載——精品資料精品資料精品資料策略(處理排列組合綜合性問(wèn)題一般是先選元素，后排列);④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問(wèn)題插空處理策略；⑥不相鄰問(wèn)題插空處理策略；⑦定序問(wèn)題除法處理策略；⑧分排問(wèn)題直排處理的策略；⑨“小2.組合問(wèn)題中分組問(wèn)題和分配問(wèn)題.CgC,C2C2C2C2/A2-A4種③均勻編號(hào)分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A/A?-A例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為3④非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考)6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為CC;C)=12600.五、二項(xiàng)式定理.(a+b)"=C?a"b?+C,CaCwa歡迎下載——精品資料精品資料精品資料最大.附：一般來(lái)說(shuō)(ax+by)”(a,b為常數(shù))在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求絕對(duì)值)的辦法來(lái)求解.(4)如何來(lái)求(a+b+c)”展開(kāi)式中含a"b'c'的系數(shù)呢?其中p,q,r∈N,且p+q+r=n把其系數(shù)2.近似計(jì)算的處理方法.當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式(1+a)"≈1+na,因?yàn)檫@時(shí)展開(kāi)式的后面部分C2a2+C?a3+…+C"a”很小，可以忽略不計(jì)。類(lèi)似na成績(jī)不論做什么事情都應(yīng)該講究方法，科學(xué)的方法能夠加速問(wèn)題解決的速度，學(xué)生學(xué)習(xí)更是如此。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程經(jīng)常會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象，有的學(xué)生盡管學(xué)習(xí)也歡迎下載——精品資料精品資料精品資料很認(rèn)真刻苦，花了大量的時(shí)間，但學(xué)習(xí)效率不高，成績(jī)并不是很理想。究其原因也許很多，學(xué)習(xí)的方法不當(dāng)應(yīng)是關(guān)鍵的因素之一。科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，往往能取得事半功倍的效果?；谶@個(gè)認(rèn)識(shí)，我在教學(xué)過(guò)程中很注重學(xué)習(xí)方法研究，也經(jīng)常有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，不少學(xué)生取得了良好的效果。現(xiàn)把其定名為二是希望對(duì)想上進(jìn)的求知學(xué)子有所幫助。具體內(nèi)容是：一預(yù)習(xí)：“學(xué)、做、練、標(biāo)”(1)學(xué)：學(xué)書(shū)本上的內(nèi)容和例題，要看清和看全，甚至連書(shū)本上的注解也要看，尤其是文科后面的注釋一定要看，對(duì)于知識(shí)要點(diǎn)要多看幾遍，多想想為什么，最好能弄清楚來(lái)龍去脈，對(duì)于書(shū)上的黑體字、定理、定律和公式要?jiǎng)邮殖瓕?xiě)，力求能先背誦和默寫(xiě)，英語(yǔ)中的單詞和短語(yǔ)尤其要如此。(2)做：做書(shū)本上的例題，要把自己的解題過(guò)程和書(shū)本上的例題對(duì)照一下，看看差異在什么地方，要找出差距。語(yǔ)文和英語(yǔ)自己結(jié)實(shí)關(guān)鍵的詞語(yǔ)和整個(gè)句子更好，自己的解釋和自己造的句子要和書(shū)本上的規(guī)范句子對(duì)照，看看有沒(méi)有錯(cuò)誤，如果有，看錯(cuò)誤的原因是什么，自己容易弄錯(cuò)的地方，也許就是上課要重點(diǎn)解決的問(wèn)(3)練：書(shū)本上的簡(jiǎn)單題目在預(yù)習(xí)時(shí)應(yīng)該完成，獨(dú)立完成后要檢查對(duì)錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)自己在什么地方還沒(méi)有弄懂。也可以找一套有標(biāo)準(zhǔn)答案的課外資料來(lái)練習(xí)，做好的作業(yè)也要對(duì)照答案檢查，看看正誤，及時(shí)了解自己預(yù)習(xí)中存在的問(wèn)題。預(yù)習(xí)時(shí)做的題目選題目要典型，不要過(guò)多。本階段的重點(diǎn)是通過(guò)聯(lián)系來(lái)發(fā)現(xiàn)自己預(yù)習(xí)中存在的問(wèn)題，如果自己看書(shū)能解決的，應(yīng)該自己再看書(shū)解決，否則要做記錄，留請(qǐng)教老師和同學(xué)，幫助自己解決。本次做錯(cuò)的題目做為一級(jí)錯(cuò)題，打一個(gè)“,可以在資料和課本上標(biāo)注，等待上課時(shí)候解決，徹底解決了，就不用上“總(4)標(biāo)：在課本上標(biāo)出學(xué)習(xí)的知識(shí)要點(diǎn)，和自己沒(méi)有弄懂的難點(diǎn)，以及自己不夠清楚的疑問(wèn)點(diǎn)，以便上課時(shí)候重點(diǎn)突破。不同類(lèi)型的最好用不同顏色的筆標(biāo)出，二上課：“看、聽(tīng)、記、想”(1)看：看書(shū)本和老師在黑板上板書(shū)的重點(diǎn)內(nèi)容，弄清出那些是自己以前沒(méi)有弄懂的和不清楚的內(nèi)容，如果是課本上的可以在上面標(biāo)出，如果是老師補(bǔ)充的就應(yīng)該認(rèn)真記錄，如果需要背誦的內(nèi)容一定要準(zhǔn)確無(wú)誤。(2)聽(tīng)：認(rèn)真聽(tīng)老師的講解，教師的講解是自己學(xué)習(xí)無(wú)法替代的，對(duì)于同學(xué)的發(fā)言也要認(rèn)真地聽(tīng)，這其中也有別人的長(zhǎng)處和智慧的火花。認(rèn)真聽(tīng)取老師的講解和同學(xué)的發(fā)言，及時(shí)篩選對(duì)自己的有用的信息，必要的要做記錄。(3)記：課堂筆記是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是將來(lái)復(fù)習(xí)的最好資料，這里有老師的汗水，也有自己的智慧，自己不理解的和老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)內(nèi)容一定要認(rèn)真記錄，尤其是教師補(bǔ)充的課外內(nèi)容更不能放過(guò)。只要自己還沒(méi)有掌握的，課本上也沒(méi)有現(xiàn)成內(nèi)容的就應(yīng)該記錄。自己熟悉的，課本上有現(xiàn)成內(nèi)容的就不要記錄，重做深刻(4)想：到下課的時(shí)候，一定要想一想，老師今天講課的重點(diǎn)內(nèi)容是什么，自己還有沒(méi)有不懂的地方，如果有就應(yīng)該及時(shí)請(qǐng)教老師和同學(xué)，把自己要學(xué)習(xí)的內(nèi)容全部搞懂，不留任何遺憾。身邊的同學(xué)是最好的老師，取長(zhǎng)不短，是學(xué)習(xí)的科學(xué)三課后：“練、測(cè)、補(bǔ)、結(jié)”歡迎下載——精品資料精品資料精品資料(1)練：認(rèn)真完成老師布置的作業(yè)，教師提供的作業(yè)應(yīng)該是最好的資料，自己購(gòu)買(mǎi)的資料如果和課本、老師布置的作業(yè)、以及做過(guò)的資料有重復(fù)的，最好不做，免得浪費(fèi)時(shí)間。做過(guò)的題目一定要對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)答案，找出錯(cuò)誤的原因，自己不能順利正確的完成的題目才是自己鞏固練習(xí)的重點(diǎn)，自己很容易正確完成的題目看看就可以了，重復(fù)的也可以不看。重點(diǎn)攻克的應(yīng)該是自己歷次做錯(cuò)的題目，這些才反復(fù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。此次做錯(cuò)的題目可以做為第二級(jí)錯(cuò)題，打上兩個(gè)(2)測(cè)：選擇適合自己水平的同步測(cè)試試卷，在學(xué)習(xí)完相應(yīng)的內(nèi)容后，自己找時(shí)好。完成后要對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行認(rèn)真的自我的批改，找出失誤的原因，采取響應(yīng)的解決辦法，需要看書(shū)的還要認(rèn)真看書(shū)，需要死記的內(nèi)容就應(yīng)該準(zhǔn)確的記憶，理解不透的要深刻理解，題目太難的做不出來(lái)的，可以在標(biāo)準(zhǔn)答案的提示下，反復(fù)做做，直到徹底弄懂為止，試卷出現(xiàn)的任何失誤，都應(yīng)該搞清楚來(lái)龍去脈。次此(3)補(bǔ)：針對(duì)自己檢查和學(xué)校作業(yè)、檢測(cè)中出現(xiàn)的失誤，屬于自己不懂和不會(huì)造成的要集中到一個(gè)本子上，并認(rèn)真訂正，還要寫(xiě)出失誤的原因，提示自己在以后的學(xué)習(xí)中不要出現(xiàn)類(lèi)似的錯(cuò)誤。善于發(fā)現(xiàn)自己的不錯(cuò)，并能夠及時(shí)彌補(bǔ)的人，才(4)結(jié)：沒(méi)有總結(jié)就沒(méi)有提高，對(duì)于自己收集好的錯(cuò)誤題目，光訂正了還不夠，還要分析原因，進(jìn)行總結(jié)和提高。對(duì)于在錯(cuò)題中暴露出來(lái)的屬于知識(shí)不清的，要分類(lèi)進(jìn)行總結(jié)，內(nèi)容不多的就可以寫(xiě)在相應(yīng)的題目后面，如果內(nèi)容太多，書(shū)本上有的就可以標(biāo)出頁(yè)碼，課外資料上的，自己沒(méi)有的可以復(fù)印。要善于總結(jié)規(guī)律性(1)看：看課本上的知識(shí)要點(diǎn)、自