剪力圖彎矩圖例題

第6章典型習(xí)題解析1.簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支座反力m0和m0分別求得由平衡方程BARql，R81ql38AB利用平衡方程y0對所求反力進行校核。（2）建立剪力方程和彎矩方程以梁的左端為坐標(biāo)原點，建立x坐標(biāo)，如圖a所示。因在C處分布載荷的集度發(fā)生變化，故分二段建立剪力方程和彎矩方程。AC段：CB段：3Q(x)qlqx(0xl)821M(x)qlx12qx23(0xl)8211Qx2()ql(lxl)28M(x)18ql(lx)Q、M圖(lxl)223．求控制截面內(nèi)力，繪Q(x)是x的一次函數(shù)，剪力圖為Q圖：AC段內(nèi)，剪力方程斜直線，故求出兩個端截1381Qql，Qql，分別以a、c標(biāo)在坐標(biāo)Qx中，連接a、c的直面的剪力值，A右8C左線即為該段的剪力圖。CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值，例如1Qql，連一水平線即為該段剪力圖。梁AB的剪力圖如圖b所示。8B左M圖：AC段內(nèi)，彎矩方程M(x)是x的二次函數(shù)，表明彎矩圖為二次曲線，求出兩個端截11面的彎矩，M0，Mqla、c標(biāo)在Mx坐標(biāo)，分別以中。由剪力圖知在d點216AC處Q0，該處彎矩Q(x)0，解得xl，求得M(83l)39ql取得極值。令剪力方程12，81281CB段內(nèi)，彎矩方程M(x)繪出該段的彎矩圖。c、b標(biāo)在Mx坐標(biāo)中的彎矩，以2，并連成直線。AB由平衡條件m0和m0分別求出BAR10KN，R5KNABdQdxq、dMQ和d2Mq，CA和AD段內(nèi)，q0，剪力圖為水dx2根據(jù)微分關(guān)系dx平線，彎矩圖為斜直線；DB段內(nèi)，q常數(shù)，且為負值，剪力為斜直線，M圖為向上凸的拋物線。（3）求控制截面的內(nèi)力值，繪Q、M圖Q圖：Q3KN，Q7KN，據(jù)此可作出CA和AD兩段Q圖的水平線。C右A右Q7KN，Q5KN，據(jù)此作出DB段Q圖的斜直線。D右B左M圖：M0，M1.8KNm，據(jù)此可以作出CA段彎矩圖的斜直線。A支座CA左的約束反力R只會使截面A左右兩側(cè)剪力發(fā)生突變，不改變兩側(cè)的彎矩值，故AMMM1.8KNm，M2.4KNm，據(jù)此可作出AD段彎矩圖的斜直A左A右AD左D處的集中力偶會使D截面左右兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變，故需求出M1.2KNm，線。D右M0；由DB段的剪力圖知在BE處Q0，該處彎矩為極值。因R5KN，根據(jù)BEBy0，知BE段的長度為0.5m，于是求得M1.25KNm。根據(jù)上述段的平衡條件E三個截面的彎矩值可作出DB段的M圖。對作出的Q、M圖要利用微分關(guān)系和突變規(guī)、律端點規(guī)作律進一步的校核。DB段內(nèi)的如Q圖的斜率應(yīng)為負；Q為負值，該段M圖的斜率應(yīng)為負；CA段的A處剪力圖應(yīng)發(fā)生突變，突變值應(yīng)為10KN；D截面左右兩側(cè)的彎矩應(yīng)發(fā)生突變，而且突變值應(yīng)為3.6KNm；支座B和AD段的自由端C去掉，以簡支梁作為靜定基（圖b）。在靜定基上Cc點的撓度應(yīng)為零，即v0。根據(jù)此變形條件可寫出求解靜不定梁（2）相當(dāng)系統(tǒng)在c5ql4Rlc求得R85qlC（3）利用靜力平衡條件求得其他支座反力（圖d）RR163qlAB畫出靜不定梁的e、f所示。靜不定梁的Q、M圖，如圖M321qlmax，而簡支梁的M18ql2，前者僅為后者2max1的。43.圖所示簡支梁用其56a號工字鋼制成，試求此梁的最大切應(yīng)力和同一截面腹板部在分與翼板交界處的切應(yīng)力。解：作剪力圖如圖(c).由圖可知，梁的最大剪力出現(xiàn)在AC段，其值為Q75kN75000NmaxSI47.73102m,最大切應(yīng)力在中性軸上。利用型鋼表查得，56a號工字鋼*zz由此得75000QS*Qmaxmax12.6MP47.7310212.510312600000126.MPmaxzmaxIdIadazzS*zmax以下求該橫截面上腹板與翼板交界處C的切應(yīng)力。此時是翼板面積對中性軸的面積S*z矩，由橫截面尺寸可計算得56021S*16621()939500mm39.40104m322zI65866cm4,腹板與翼板交界處的切應(yīng)力為由型鋼表查得z750009.401046586610812.51038.6MPafcLL4.長為的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點的正應(yīng)力。Fh6abAhBCh2L/2L2cbM12FL0.51.621.6kN.mBa點的正應(yīng)力1hFLMyBIa231.65MPaabh3Z120,其正應(yīng)力.bB點在中性軸上c點的正應(yīng)力為12FLh22.47MPa（壓）MyBIccbh3Z125.圖示為一工字形鋼梁，受力如圖示，鋼的容許彎曲應(yīng)力為152MP，容許切應(yīng)力為a95MP。試選擇工字鋼的型號。a112.537.5kN37.5112.5（b）281375kN.m（c）解：首先將梁簡化為簡支梁,作出剪力和彎矩圖如(b)(c)，先按正應(yīng)力強度條件選擇截面,因梁的最大彎矩為M375000NmmaxM[],可計算梁截面的截面模量根據(jù)maxWW，應(yīng)為zmaxzM375000Wzmax2460106m3152106max由型鋼表查得最接近這一要求的是56b號工字鋼，其截面模量為W2447106m3z由于在規(guī)定材料的容許應(yīng)力時，為材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容許應(yīng)力不是很大(一般5%在之內(nèi)),選用小一號的截面是充許的，這里56b號工字鋼截面模量比所需要的相差不到1%，相應(yīng)地，最大正應(yīng)力也將不會超出容許應(yīng)力1%，因此可以采用。進行切應(yīng)力強度校核:梁的最大剪力為Q112500NmmaxIS47.17102m,最大切應(yīng)力為利用型鋼表查得，56b號工字鋼的*zzQS*Q1550000012.51047.1710225.41066P25.4MPaa25.410maxzmaxIdzmaxI3maxdazS*zmax顯然，這個最大切應(yīng)力小于容許切應(yīng)力，切應(yīng)力強度條件滿足。實際上，前面已經(jīng)講到，梁的強度多由正應(yīng)力控制，故在按正應(yīng)力強度條件選好截面后，在一般情況下不需要再按切應(yīng)力進行強度校核。分別為l6.T字形截面鑄鐵梁受力如圖所示，已知材料的拉、壓容許應(yīng)力30MP，a90MP。已經(jīng)給出了截面的部分尺，寸試按合理截面的要求確定尺寸，并按所確定aa的截面尺計寸算梁的容許荷載。解：為了達到合理截面要求，必須使同一橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力之比容許應(yīng)力之比，這樣當(dāng)荷載增大等于相應(yīng)的拉、壓時，截面上的最大lmaxamaxla拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力將同時達到容許應(yīng)力，受拉區(qū)和受壓區(qū)的材料可以同樣程度地發(fā)揮潛力。根據(jù)給定條件可知:30:901:3，所以同一截面上應(yīng)有al:1:3lmaxamax由圖(c).由于正應(yīng)力在橫截面上按直線分布，由幾何關(guān)系可確定中性軸的位置y為0y210mm0根據(jù)形心計算公式，可建立y與截面由于中性軸是通過形心的，幾何尺寸關(guān)系式為02806060)60220(280)2(28060)(y02(28060)60220式可解得24mm。將y210mm代入上0下面確定梁的容許荷載：首先計算截面慣性矩,由于T形截面可劃分為兩個矩形，由幾何關(guān)系可求得兩矩形形心相對于中性軸位置如圖(c),利用平行移軸定理可解出I(24220324220100)(22060322060402)99.18106mm499.18106m421212z最大彎矩M出現(xiàn)在跨中，即maxMPLP20.5Pmax44最大拉應(yīng)力為maxlmax0.5P70103352.9PMMylmaxmax99.18106mamaxxIIzz根據(jù)強度條件故有maxl352.9P30106可解得P85103N85kN故按拉應(yīng)力強度條件可確定梁的容許荷載為85kN，由于梁的截面尺寸是按最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達到相應(yīng)容許應(yīng)力的條件確定的，所以按壓應(yīng)力強度條件也會求得同樣的容許荷載。由于與上題同樣的考慮，對于所確定的容許荷載，不需要再進行切應(yīng)力強度校核。7.長度為250mm，截面尺寸為h×b=O.8mm×25mm的薄鋼尺，由于兩端外力偶的作用而彎成中60心角為的圓弧,已知彈性模量E=2.1×105MPa。試求鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力。解：h22.110110.8103EyE3.14352MPa22501033lmax38.厚度為h=1.5mm的鋼帶,卷成直徑為D=3m的圓環(huán),求此時鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力。已知鋼的彈性模量E=2.1×l05MPa。解：因為Dl2R2212MDEIzM2EDIzMy2Ey105MPa所以IDz9.直徑為d的鋼絲，其名義流動極限為?，F(xiàn)在其兩端施加外力偶使彎成直徑為D的圓0.2弧。試求當(dāng)鋼絲橫截面上的最大正應(yīng)力等于時D與d的關(guān)系式。并據(jù)此分析為何鋼絲繩0.2要用許多高強度的細鋼絲組成。解：Dl2R2212MDEIzM2EIDzMy2EDE0.2,所以IDdz0.2由上可見,細鋼絲強度越大,E越大,D越大10.圖示一由16號工字鋼制成的簡支梁，其上作用著集中荷載上,用標(biāo)距s=20mm的應(yīng)變計量