橢圓的簡單幾何性質(zhì)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)1第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)習：1.橢圓的定義:到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標準方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:a2=b2+c2當焦點在X軸上時當焦點在Y軸上時2第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五二、橢圓簡單的幾何性質(zhì)-a≤x≤a,-b≤y≤b

知oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中3第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）4第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五2、對稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點對稱。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點成中心對稱。坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，叫橢圓的中心。5第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五3、橢圓的頂點（截距）令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點？令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)6第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學有關(guān)知識畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

7第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五4、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對橢圓形狀的影響：0<e<11）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓[3]e與a,b的關(guān)系:思考：當e＝0時，曲線是什么？當e＝1時曲線又是什么？8第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關(guān)系|x|≤a,|y|≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>ba2=b2+c29第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五標準方程范圍對稱性

頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關(guān)系|x|≤a,|y|≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前10第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,

它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

。離心率等于：

。焦點坐標是：

。頂點坐標是：

。

外切矩形的面積等于：

。

106860解題的關(guān)鍵：2、確定焦點的位置和長軸的位置題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程明確a、b11第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五已知橢圓方程為6x2+y2=6它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

.離心率等于：

。焦點坐標是：

。頂點坐標是：

。

外切矩形的面積等于：

。

2練習1.12第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率。（1）x2+9y2=81(2)25x2+9y2=225(3)16x2+y2=25(4)4x2+5y2=113第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習：已知橢圓的離心率求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標。14第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例2求適合下列條件的橢圓的標準方程⑴經(jīng)過點P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點將長軸分成２:１的兩部分,且經(jīng)過點解：⑴方法一：設(shè)方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），注：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟：⑴定位；⑵定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程將點的坐標方程，求出m＝1/9,n＝1/4。15第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例2求適合下列條件的橢圓的標準方程⑴經(jīng)過點P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點將長軸分成２:１的兩部分,且經(jīng)過點解：(1)方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)

注：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟：⑴定位；⑵定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，

于是焦點在x軸上，且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，

故a＝3，b＝2，所以橢圓的標準方程為

16第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例2求適合下列條件的橢圓的標準方程⑴經(jīng)過點P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點將長軸分成２:１的兩部分,且經(jīng)過點注：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟：⑴定位；⑵定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程17第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例2求適合下列條件的橢圓的標準方程⑴經(jīng)過點P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點將長軸分成２:１的兩部分,且經(jīng)過點題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程18第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習：已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點P（3，0），求橢圓的方程。分類討論的數(shù)學思想19第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習：1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程。①長軸長和短軸長分別為8和6，焦點在x軸上②長軸和短軸分別在y軸，x軸上，經(jīng)過P(-2,0)，Q(0,-3)兩點.③一焦點坐標為（－3，0）一頂點坐標為（0，5）④兩頂點坐標為（0，±6），且經(jīng)過點（5，4）⑤焦距是12，離心率是0.6，焦點在x軸上。20第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五2.已知橢圓的一個焦點為F（6，0）點B，C是短軸的兩端點，△FBC是等邊三角形，求這個橢圓的標準方程。21第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五22第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例3：(1)橢圓的左焦點是兩個頂點，如果到F1直線AB的距離為，則橢圓的離心率e=

.題型三：橢圓的離心率問題23第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例3：(2)設(shè)M為橢圓上一點，為橢圓的焦點，如果，求橢圓的離心率。題型三：橢圓的離心率問題24第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五題型三：橢圓的離心率問題25第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習：D26第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）高二數(shù)學選修1-1

第二章圓錐曲線與方程27第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)習練習：1.橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標準方程為（）2、下列方程所表示的曲線中，關(guān)于x軸和y軸都對稱的是（）A、x2=4yB、x2+2xy+y=0C、x2-4y2=xD、9x2+y2=4CD28第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為

。2、若橢圓的兩個焦點及一個短軸端點構(gòu)成正三角形，則其離心率為

。3、若橢圓的的兩個焦點把長軸分成三等分，則其離心率為

。29第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五4、若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，

則其離心率e=__________(±a,0)a(0,±b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c6、5、以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點的圓，交橢圓于四個不同的點，順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率

。30第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例5如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上,由橢圓一個焦點F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.解：建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)所求橢圓方程為yF2F1xoBCA31第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五例1如圖,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道,是以地心(地球的中心)F2為一個焦點的橢圓,已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面439km,遠地點B距地面2384km.并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371km,求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1km).XOF1F2ABXXY解：以直線AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，AB與地球交與C,D兩點。由題意知：|AC|=439,|BD|=2384,DC∴b≈7722.32第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五2、2005年10月17日，神州六號載人飛船帶著億萬中華兒女千萬年的夢想與希望，遨游太空返回地面。其運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓，設(shè)其近地點距地面m(km)，遠地點距地面n(km)，地球半徑R(km)，則載人飛船運行軌道的短軸長為（）A.mn(km)B.2mn(km)D33第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。FlxoyMHd34第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五思考上面探究問題，并回答下列問題：探究：（1）用坐標法如何求出其軌跡方程，并說出軌跡（2）給橢圓下一個新的定義35第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五探究、點M（x,y)與定點F（c,0)的距離和它到定直線l:x=a2/c的距離的比是常數(shù)c/a（a>c>0),求點M的軌跡。yFF’lI’xoP={M|}由此得將上式兩邊平方，并化簡，得設(shè)a2-c2=b2,就可化成這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是長軸、短軸分別為2a,2b的橢圓M解：設(shè)d是M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合36第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五FF’lI’xoy

由探究可知，當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡就是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率。此為橢圓的第二定義.

對于橢圓，相應(yīng)于焦點F（c,0)準線方程是,根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點F’(-c.0)準線方程是,所以橢圓有兩條準線。37第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五歸納:橢圓的第一定義與第二定義是相呼應(yīng)的。定義1圖形定義2平面內(nèi)與38第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五由橢圓的第二定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)如下：39第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五練習

（a>b>0）左焦點為F1，右焦點為F2，P0（x0,y0）為橢圓上一點，則|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、|PF2|叫焦半徑.

（a>b>0）下焦點為F1，上焦點為F2，P0（x0,y0）為橢圓上一點，則|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、|PF2|叫焦半徑.說明：PF1F2XYO40第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期五焦半徑公式該公式的記憶方法為‘‘左加右減”，即在a與ex0之間，如果是左焦半徑則用加號“+’’連接，如果是右焦半徑用“－”號連接．①焦點在x軸上時：│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；②焦點在y軸上時：

│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。該公式的記憶方法為‘‘下加上減”，即在a與ey0之間，如