概率論與數(shù)理統(tǒng)計條件概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計條件概率1第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五§1.4條件概率一、條件概率的定義及性質二、乘法公式三、全概率公式四、貝爾斯公式2第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五引例:確診率問題某病被醫(yī)生診斷出的概率為0.95,無該病誤診有該病的概率為0.002,如果某地區(qū)患該病的比例為0.001,現(xiàn)隨機選該地區(qū)一人,醫(yī)生診斷患有該病,求該人確實患有該病的概率.P(B|A)=0.32225<1/3.3第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定義1.4.1

條件概率設為一概率空間，且，在“已知事件B已經(jīng)發(fā)生”的條件下,“事件A發(fā)生”條件概率P(A|B)定義為：

P(A|B)=4第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五P(A)與P(A|B)的關系特別地：(1)(2)若或,則(3)若,則

5第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五性質1.4.1

條件概率的性質設為一概率空間，且P(B)>0,則對任意有P(A|B)對應,且P(A|B)是上的概率，即P(A|B)滿足：

(1)(3)若且則(2)6第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五性質1.4.1

條件概率P(A|B)是上的概率（3）證：(1)(2)7第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五性質1.4.1結論概率空間1.2.注：§1.3中概率的許多其他性質也都適用于條件概率。8第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五理解條件概率的兩種不同的觀點1.2.9第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五二、乘法公式證：由條件概率定義：10第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五性質1.4.3

乘法公式推廣到有窮多個事件設滿足則：證：右端=

11第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.3設100件產(chǎn)品中有5件是不合格品,用下列兩種方式抽取2件(1)不放回；(2)放回，求2件都是合格品的概率.解：令A={第一次抽得的是合格品}；B={第二次抽得的是合格品}.

則所求為：(1)不放回抽取時：12第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.3

設100件產(chǎn)品中有5件事不合格品(2)放回抽樣：兩事件之間有某種“獨立性”.13第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.4

配對問題某人寫了n封信，將其放入信封中,并在其中每一個信封上分別任意地寫上n個收信人中的一個地址(不重復).求：(1)沒有一個信封上所寫的地址正確的概率(2)恰有r個信封上所寫的地址正確的概率解：設表示“在第i個信封上所寫的地址正確”(1)所求事件為：14第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.4配對問題由于事件是相容的，需要用性質1.3.5(多除少補原理)和性質1.4.3(乘法公式).依題意：有15第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.4配對問題(多除少補原理)則至少有一個信封地址正確的概率：16第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五而其余的n-r個信封地址均不正確的概率為：例1.4.4配對問題恰有r個寫對

(2)在指定的"r個信封上所寫的地址正確"這一事件的概率為：由于r個信封有種選法，故所求概率為：(1)中nn-r17第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五樣本空間的劃分三、全概率公式定義1.4.2設為概率空間,如果且則稱為的一個有窮剖分.18第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4.1

全概率公式設為概率空間，為的一個有窮剖分,且則對任一事件有：稱為全概率公式.證：19第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五說明

全概率公式的主要用處在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.化整為零各個擊破20第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4.1

全概率公式設為概率空間，為的一個可列無窮剖分,且則對任一事件有全概率公式：注1：注2：注3：設為有窮或可列無窮個互不相容事件，且若則有21第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五解：令A={第一次抽到的是不合格產(chǎn)品}

B={第二次抽到的是不合格產(chǎn)品}全概率公式例1.4.5（抓鬮問題/抽獎問題）

設1000件產(chǎn)品中有200件事不合格品依次不放回抽取2件產(chǎn)品，求第二次抽到不合格品的概率.22第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4.2

貝葉斯公式設為概率空間，為的一個有窮剖分且則對任意且有：

稱為貝葉斯公式23第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4.2

貝葉斯公式證：由條件概率及全概率公式得：24第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.6

校正槍支？設8支槍中有3支未經(jīng)試射校正,5支已校正.射槍手用校正的槍射擊時,中靶概率為0.8，用未校正的槍射擊時,中靶概率為0.3.假定從8支槍中任取1支射擊,結果中靶,求所用這支槍為已校正的概率.解：設=“所取的槍是校正過的”,=“所取的槍是未校正過的”,=“射擊中靶”.所求概率為：25第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.6

校正槍支？由題意：由于，故：26第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.7

箱中取球設有編號1、2、3的三個箱子中分別裝有個白球和個黑球,今任意取出一箱，再在箱中任取一球，結果為白球，求在此事件“此球為白球”(記為B)的條件下,事件“此球屬于1箱"(記為)的條件概率.解：設=“此球屬于1箱”=“此球屬于2箱”=“此球屬于3箱”互不相容且：27第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.7

箱中取球由全概率公式得：由貝葉斯公式得：28第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五令=“發(fā)出信號為”

B=“收到信號為0”例1.4.8

數(shù)字通訊在數(shù)字通訊中,信號由數(shù)字0和1的長序列組成,由于隨機干擾,發(fā)送信號0和1各有可能錯誤接收為1和0,現(xiàn)假定發(fā)送0和1的概率均為0.5,又已知發(fā)送0時,接收0和1的概率分別為0.8和0.2,發(fā)送1時,接收1和0的概率分別為0.9和0.1;求已知收到信號是0時,發(fā)出的信號是0(即沒有錯誤接收)的概率.解：29第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由貝葉斯公式得：例1.4.8

數(shù)字通訊用性質1.4.1可得：30第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4.2

貝葉斯公式推論設為一概率空間，都是的一個剖分,對每一(或)有31第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例1.4.9數(shù)字通訊如前例1.4.8計算令=“發(fā)出信號為”

=“收到信號為”解：由貝葉斯公式和1.4.8的解得：32第32頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五條件概率全概率公式貝葉斯公式§1.4條件概率小結乘法定理33第33