專練12（幾何證明大題）（30題）2022中考數(shù)學(xué)考點必殺500題（通用版）【有答案】

2022中考考點必殺500題專練12（幾何證明大題）（30道）三角形1．（2022·上海徐匯·二模）如圖，四邊形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于點F，點D為BF上一點，且∠BAD＝∠CAE．(1)求證：AD＝AE；(2)設(shè)BF交AC于點G，若，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明．【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形ADFE是正方形，證明見解析．【解析】(1)證明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，，，，，在和中，≌，；(2)四邊形ADFE是正方形．證明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，，，即，，，∠BAC＝90°，，，，，四邊形ADFE是矩形，由（1）知，四邊形ADFE是正方形．【點睛】本題為幾何證明綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定和正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點，并能根據(jù)題中條件與所證結(jié)準確尋找到思路是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北宜昌·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，EA是∠BEF的角平分線，求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：∵EA是∠BEF的角平分線，，在和中，，(AAS)(2)∵平行四邊形ABCD，∴，，，，，由（1）得：，，，又，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的補角相等，角平分線定義等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·四川廣元·一模）如圖，在中，，D是上一點，且，于點F，于點E，交于點G．(1)求證：；(2)若，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：∵，∴，∵∠ACB=75°，∴．∵，∴．∴，∠FCD=90°-∠ADC=30°．∴．∴．∵，∠ADC=60°，∴∠FAG=90°-∠ADC=30°．∴∠FAG=∠FCD．∴．(2)解：∵，，∴，．∴．∵∠FCD=30°，AE⊥BC，∴．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，直角三角形兩個銳角互余，同角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，30°所對的直角邊是斜邊的一半，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．4．（2022·上海嘉定·二模）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是邊CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，連接AC．(1)求證：AD＝CF；(2)若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．【答案】(1)見解析；(2)【解析】(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠D=∠DCF，∠DAF=∠F，∵E是CD的中點，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD=CF；(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，CD=AB=8，AD=BC=5，∵AB⊥AF，∴CD⊥AF，在Rt△ADE中，DE=4，AD=5，∴AE=3，在Rt△ACE中，CE=4，AE=3，∴AC=5，∴sin∠ACE=．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，熟記各知識點并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇鹽城·一模）在四邊形ABCD中，，對角線AC平分∠BAD．(1)推理證明：如圖1，若，且，求證：；(2)問題探究：如圖2，若，試探究AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系；(3)遷移應(yīng)用：如圖3，若，AD=2，AB=4，求線段AC的長度．【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】(1)證明：∵平分，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，，∴．(2)解：；過點C作于點E，過點C作的延長線于點F，∵平分，∴，，∵，而，∴，在與中，∴，∴，∴，由（1）知，∴．(3)過點C作于點M，過點C作的延長線于點N，由（2）知：，∴，∴，而，平分，∴，∴，∴，又，，∴．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022·山東泰安·一模）在中，，，于點．(1)如圖1，點，分別在，上，且，求證：；(2)如圖2，點在的延長線上，點在上，且，求證：．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【解析】(1)，，，在和中，，，，；(2)過點作交的延長線于P，，則，，，，，，在和中，，，，，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△BDE≌△ADF是解（1）的關(guān)鍵，構(gòu)造出全等三角形是解（2）的關(guān)鍵．7．（2022·山東·棗莊市臺兒莊區(qū)教育局教研室一模）已知AOB和MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．(1)如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；(2)將MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)（1）證明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，在△AOM和△BON中，，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；(2)證明：連接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，在△AOM和△BON中，，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝∠ABO+∠OBN=45°+45°=90°，∴BM2+BN2＝MN2，∵△MON都是等腰直角三角形，∴MN2＝ON2+OM2=2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2．【點睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．8．（2022·湖南·株洲縣教學(xué)研究室一模）如圖，點E，F(xiàn)分別在菱形的邊，上，且，連接，交對角線于點G．求證：(1)(2)【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)∵四邊形是菱形，∴，．在和中，∴∴；(2)∵菱形∴∠BAC=∠DAC∵∴∠BAC－∠BAE=∠DAC－∠DAF，即∠EAC=∠FAC∵∴AE=AF在和中，∴∴∵∴∴AC⊥EF．【點睛】本題考查了全等三角形、菱形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，從而完成求解．9．（2022·廣東·塘廈初中一模）如圖，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高．(1)求證：AD垂直平分EF；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高，，在和中，，，，∵AD是的角平分線，，即AD垂直平分EF；(2)∵AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高，，，．【點睛】本題主要考查了角平分線性質(zhì)，等腰三角形三線合一，全等三角形的判定與性質(zhì)，割補法求面積，熟練掌握角平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD、BE相交于點H，AE=BE．(1)求證：△AEH≌△BEC．(2)若AH=4，求BD的長．【答案】(1)見解析(2)BD=2【解析】(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°，∴∠DAC=∠EBC，在△AEH與△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；(2)解：∵△AEH≌△BEC，∴AH=BC=4，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2BD，∴AH=2BD=4，∴BD=2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．四邊形11．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知在梯形中，，對角線、交于，平分，點在底邊上，連結(jié)交對角線于，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【解析】(1)證明：∵，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；(2)證明：由（1）可知，∵DE=DE，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2022·廣西南寧·一模）如圖，在中，連接對角線，過點分別作，垂足為．(1)求證：；(2)如圖2，延長至點G，使得，連接，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：∵，∴AB=CD，ABCD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF；(2)證明：由（1）知AE=CF，又∵AE=GE，∴GE=CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴GECF，∠CFB=90°，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∴邊形EGCF是矩形．【點睛】本題詞考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022·山東聊城·一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，△BOC≌△CEB．(1)求證：四邊形OBEC是矩形；(2)若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵△BOC≌△CEB，∴OB=EC，OC=EB，∴四邊形OBEC是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴平行四邊形OBEC是矩形；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴矩形OBEC的周長．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2022·江蘇揚州·一模）如圖，在中，，D是的中點，E是的中點，過點A作AF//BC交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形的面積為【解析】(1)證明：，，是的中點，，在和中，，；(2)證明：由（1）知，，，為邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，是的中點，，平行四邊形是菱形；是的中點，．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的判定方法，證明是解題的關(guān)鍵．15．（2022·福建三明·二模）已知：如圖，在ABCD中，E為BC的中點，DF⊥AE于點F，CG⊥DF于點G．求證：(1)∠DAE=∠BCG；(2)G為DF的中點．【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】(1)證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．(2)證明：延長交于點M，∵四邊形為平行四邊形，∴．∵，，∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∴．∵E為的中點，∴．∴．∴．∴．∴，即G為的中點．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、中位線的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例．16．（2021·四川德陽·二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于M、N．(1)判斷四邊形BNDM的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若BD＝24，MN＝10，求四邊形BNDM的周長．【答案】(1)菱形，見解析；(2)52【解析】(1)四邊形BNDM是菱形，證明如下：∵MN⊥BD，OB=OD，∴MB=MD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠NBO，∵∠BOD=∠NOB，∴△MDO≌△NBO，∴MD=NB，∵MD∥NB，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∵MB=MD，∴四邊形BNDM是菱形.(2)∵四邊形BNDM是菱形，∴，，MB=MD=ND=NB，∴在Rt△BOM中，由勾股定理得：，∴四邊形BNDM的周長為：4×13=52.【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，證明兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵．17．（2022·新疆烏魯木齊·一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)在對角線AC上，且．(1)求證：；(2)求證：四邊形DEBF是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∴，在和中，∴；(2)證明：由（1）得，∴，，∵，，∴，∴，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形DEBF是菱形．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022·四川綿陽·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．(1)求證：CF⊥FB；(2)求證：以AD為直徑的圓與BC相切；(3)若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【解析】(1)證明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC，∴∠DFE＝2∠EFC，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠ABF，∴∠EFB＝∠AFB，∴∠AFE＝2∠BFE，∵∠AFE＋∠DFE＝180°，∴2∠BFE＋2∠EFC＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF；(2)證明：如圖1，取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，連接CO并延長交BA的延長線于G，∴∠OHC＝90°＝∠ABC，∴OH∥AB，∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，∵CD∥AB∴∠G＝∠DCO，∵∠AOG＝∠DOC，OA＝OD，∴△AOG≌△DOC（AAS），∴AG＝CD，OC＝OG，∵，∴△CHO∽△CBG，∴∴OH＝BG＝（AB＋AG）＝（AF＋DF）＝AD，∵OH⊥BC，∴以AD為直徑的圓與BC相切；(3)解：如圖2，由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，∵∠DFE＝120°，∴∠CFE＝60°，在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∴CF＝2EF＝4，∴CE＝＝2，∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ECD＝∠CEF＝90°，過點D作DM⊥EF，交EF的延長線于M，∴∠M＝90°，∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，∴四邊形CEMD是矩形，∴DM＝CE＝2，過點A作AN⊥EF于N，∴四邊形ABEN是矩形，∴AN＝BE，由（1）知，∠CFB＝90°，∵∠CFE＝60°，∴∠BFE＝30°，在Rt△BEF中，EF＝2，∴BE＝EF?tan30°＝，∴AN＝，∴S△ADE＝S△AEF＋S△DEF＝EF?AN＋EF?DM＝EF（AN＋DM）＝×2×（）＝．【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2022·寧夏·銀川市第十中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD邊上的點，且AE＝CF．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形嗎？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形AECF是菱形，理由見解析【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；(2)解：當AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定；掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，過點D作交的延長線于點E．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵四邊形是菱形∴，．∵∴∴∴∴四邊形是平行四邊形．(2)解：∵四邊形是平行四邊形∴∵∴∵∴∴∵，，∴∴∴【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．圓21．（2022·浙江紹興·一模）如圖，為的直徑，點B是上方半圓上的一點，作平分交于點D，過點D作//交的延長線于點E．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)連結(jié)OD，∵AC使⊙O的直徑，∴∠ABC=90°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE=45°，∴∠AOD=2∠ABD=90°．∵AC∥DE，∴∠ODE=∠AOD=90°，即OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線．(2)∵AC∥DE，∴∠E=∠BCA=∠ADB．∵∠ABD=∠DBE=45°，∴△ABD△DBE，∴．∵AB=2，BE=3，∴．【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵,連接圓心和圓上的點，再證明垂直是圓的切線的判定的常用方法．22．（2022·陜西·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，且CA=BA．連接BC，OC．過點A作AD⊥OC于點D，延長AD交BC于點E，交⊙O于點F，連接BF．(1)求證：∠FAB=∠ACD；(2)若BF=4，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)DE的長為．【解析】(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，AD⊥OC，∴∠OAC=∠ADO=∠AFB=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠ACO+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ACO，即∠FAB=∠ACD；(2)解：在△ABF和△CAD中，∴△ABF≌△CAD（AAS），∴BF=AD，AF=CD，∵BF=4，∴AD=BF=4，∵AD⊥OC于點D，∴AF=2AD=8=CD，DF=4，在Rt△ABF中，AB=4，在Rt△ABC中，BC=AB=4，∵∠ADC=∠EDC=∠EFB=90°，∠DEC=∠FEB，∴△DEC∽△FEB，∴2，∵DE+EF=DF=4，∴DE的長為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了三角形全等判定和性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)的應(yīng)用．23．（2022·陜西西安·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，△ABC的外角平分線BD交⊙O于點D，DE與⊙O相切，交CB的延長線于點E，連接AD．(1)求證：∥DE；(2)若BD＝2，BE＝2，求CB的長．【答案】(1)見解析(2)6【解析】(1)證明：連接ODDE與⊙O相切平分是⊙O的直徑(2)解：如圖：過點O作于點F，四邊形是矩形，【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對等角，平行線的判定，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．24．（2022·新疆烏魯木齊·一模）如圖，已知AC是的直徑，點P是外一點，PC與交于點B，．(1)求證：PA是的切線；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)或【解析】(1)解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，∴，∵，∴∠OAB+∠PAB=90°，即∠OAP=90°，∴AP是圓O的切線；(2)解：如圖所示，過點O作OH⊥BC于H，∴CH=BH，∠OHB=∠OHC=90°，∴，∴PH=3OH，設(shè)OH=x，BH=CH=y，OC=OA=OB=r，則PC=3x+y，由（1）得∠CAP=∠CHO=90°，又∵∠C=∠C，∴△CHO∽△CAP，∴，∴，∴，在直角△OCH中，，∴，∴，∴，∴或，當時，，，∴；當時，，，∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，垂徑定理，勾股定理相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25．（2022·山東濟南·二模）如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．(1)若，求∠C的度數(shù)；(2)若，，求⊙O半徑的長．【答案】(1)32°(2)1【解析】(1)連接OA，∠ADE=29°，則∠AOE=2∠ADE=58°，∵AC是圓的切線，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°-∠AOE=90°-58°=32°．(2)連接AE，OA，∵AC是圓的切線，∴∠OAC=90°，∴∠EAC=90°-∠OAE，∵BE是圓的直徑，∴∠BAE=90°，∴∠BAO=90°-∠OAE，∴∠EAC=∠BAO，∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠OBA=∠EAC，∴△CAE∽△CBA，∴，∴，解得BE=2，故圓的半徑為1．【點睛】本題考查了圓的切線，直徑所對的圓周角是直角，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，靈活運用三角形相似是解題的關(guān)鍵．26．（2022·山東聊城·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，AD⊥l，垂足為D，AD交⊙O于點E，連接CE．(1)求證：∠CAD＝∠CAB；(2)若EC＝4，sin∠CAD，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)6【解析】(1)證明：連接OC，連接BC，如圖，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴，∴∠CAD＝∠ACO．又∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC；(2)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，∵∠CED＝∠B，∠CED+∠ECD＝90°，∴∠DCE＝∠CAD，∵sin∠CAD＝sin∠DCE=，∴DE，∴CD=，∴AC＝8，∵∠BAC＝∠CAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAC=，∴設(shè)AB＝3x，BC＝x，∴AC＝=2x＝8，∴x＝4，∴AB＝3x＝12，∴⊙O的半徑為6．方法二：∵∠CAD＝∠BAC，∴EC＝CB＝4，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴sin∠CAB，∴AB＝12，∴半徑為6【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2022·河南商丘·二模）如圖，以為直徑的中，為弦，點P為上一點，過點A的切線交延長線于點D，交于點Q，連接，(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)∵為的切線，為的直徑∴，∴，∵，∴，∴．(2)連接∵為的直徑，∴，∴,∵，∴∵，，∴，∴．∵，，∴，∴∵，，∴，∴，即．∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解答本