數(shù)學(xué)史中國數(shù)學(xué)歷史發(fā)展概況

數(shù)學(xué)史中國數(shù)學(xué)歷史發(fā)展概況第1頁/共36頁2.1《周易》與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)《周易》是我國古代專講卜筮的書，約成書于殷商時期

,在古代中國眾多的儒、道典籍中，《周易》是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作。

“卜”是使用一定的工具弄出來、以決定事情吉兇的兆象。中國人常用龜甲和獸骨為占卜工具?！绑摺笔前匆欢ㄒ?guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來預(yù)測事情的吉兇

,“筮”字由“竹”字和“巫”字構(gòu)成。后來改用蓍草,“天子之蓍九尺，諸侯七尺，大夫五尺，士三尺?！?/p>

《周易》由《易經(jīng)》和《易傳》兩部分組成。自漢代開始，許多算學(xué)家都熱衷于將算法與《周易》相聯(lián)系。劉徽在《九章算術(shù)注》的序中就寫道：“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之術(shù)，以合六爻之變?！?/p>

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《易經(jīng)》中利用爻卦的變化預(yù)測吉兇，分別用“—”與“－－”表示陽爻和陰爻。構(gòu)成八卦、六十四別卦研究認(rèn)為，《周易》中爻的符號“—”、“－－”是由數(shù)字或數(shù)表演進(jìn)而來的。理由是：其一，卦辭中，當(dāng)對卦畫進(jìn)行解釋時，總是用數(shù)“九”和“六”分別表示陽爻和陰爻。其二，考古發(fā)現(xiàn)商代甲骨文或陶器上有不少由六組數(shù)（每組三個數(shù)字）組成的數(shù)表，所用的數(shù)字逐漸增加一、六的使用頻率，別的數(shù)字似乎有不用的趨勢。大約在周初（約公元前1066），就只有一和六這兩個數(shù)字了。

學(xué)者認(rèn)為：用數(shù)字表示占卜的結(jié)果，數(shù)“一”表示奇數(shù)，讀數(shù)九的音；數(shù)“六”仍讀六，表示偶數(shù)。由于古代六字的符號是“∧”，這樣數(shù)“一”與“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐漸變平，最后一分為二，成為陰爻“－－”的表示形式。

2.1.1從數(shù)(表)演進(jìn)為爻第3頁/共36頁四盤磨卜骨上的字符

太極八卦圖第4頁/共36頁2.1.2《周易》揲法——大衍演算

《周易》中占筮確定取爻的方法稱為“揲法”，所謂“一十八變得一卦”。朱熹（1130~1200）對揲法的解說如下：

（1）蓍策總數(shù)是50根，去其一（象征太一，即太極），實際用于占算的是49根；（2）把它們?nèi)我夥殖蓛刹糠郑ㄏ笳魈斓亍皟蓛x”），從第一部分里取出一根不參與計算，（叫“掛一”，配上“兩儀”，象征天地人“三才”）；（3）對于第一部分的蓍策，每4根一組數(shù)出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四時）；（4）將所余的“奇數(shù)”（為1，2，3，4四數(shù)之一）根蓍策，夾在左手指間，（叫“歸奇于扐”，象征閏年）；（5）將第二部分蓍策也照（3）、（4）辦理。于是兩部分“歸奇”的蓍數(shù)非4即8，加上“掛一”的一根，共5或9根，完成了“第一變”。

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將“歸奇”的蓍數(shù)（5或9根）不用，用余下44或40蓍參與第二變的計算，操作方法仿上述（2）~（5），此時“歸奇”的蓍數(shù)仍然是非4即8。第三變揲法仿第二變，用蓍32或36，或40根，三變后余下蓍策的根數(shù)或36，或32，或28，或24根，均為4的倍數(shù)。最后，將第三變的余蓍除以4則得九、八、七、六。并稱九為老陽，六為老陰，七為少陽，八為少陰。揲蓍的目的，就是為了取到這四個數(shù)中的一個。讓陽數(shù)對應(yīng)陰卦，陰數(shù)對應(yīng)陰卦，于是數(shù)字變成了爻象。第6頁/共36頁從中國古代的占筮工具和方法中，不難發(fā)現(xiàn)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史淵源

“數(shù)學(xué)”一詞相當(dāng)于我國古代的“算術(shù)”

數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)在12世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。

算籌中國古人稱數(shù)學(xué)為算學(xué)

第7頁/共36頁2.1.3組合數(shù)學(xué)的思想——洛書與河圖宋代的九宮格明代的洛書第8頁/共36頁

河圖的解釋，在歷史上有多種說法。其中《尚書》中解釋說：“河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖?！?/p>

圖中每個陽、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同

“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”

第9頁/共36頁明代邵雍的易圖數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)第10頁/共36頁

儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托；墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學(xué)為其論說的工具?？鬃樱ㄇ?51~前479）的“六藝”中的“周官九數(shù)”（方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要）是《九章算術(shù)》的雛形墨子（前468~前376）的抽象概念和邏輯知識：三個邏輯方法:“以名舉實，以辭抒意，以說出故。以類取，以類予”，具有比較明確的邏輯思維形式，非常類似演繹數(shù)學(xué)中的定義、定理和證明。對幾何中的幾何形狀、幾何性質(zhì)、空間關(guān)系提出了明確的定義。論述了推理（說）的各種形式。惠施（約前370~前318）對無窮性質(zhì)的認(rèn)識：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；“鏇矢之疾有不行不止之時”。

2.2先秦顯學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

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公元1世紀(jì)至8世紀(jì)初，改變了先前只追求算法、不研究算理的學(xué)風(fēng)，開始給出概念的定義，進(jìn)行推理論證，取得了許多世界領(lǐng)先的成果，同時涌現(xiàn)出一批杰出數(shù)學(xué)家

2.3.1劉徽與《九章算術(shù)注》西漢年間，中國有了專門的數(shù)學(xué)著作：《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》、《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》，其中前兩部著作早已失傳。

《算數(shù)書》，1984年從湖北張家山古墓中發(fā)掘出土的。據(jù)考證，算數(shù)書》是公元前206年－前179年的一部數(shù)學(xué)著作，它以實際應(yīng)用問題的形式編纂。2.3中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的研究

第12頁/共36頁《九章算術(shù)》是中國古代的一本傳世數(shù)學(xué)名著，一直作為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在傳世的是三國時代劉徽于263年完成的注釋本。劉徽布衣出身，生平不詳。從他的《九章算術(shù)注》自序中可以知道：他早年系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過《九章算術(shù)》，并以“注”的形式將其研究成果記載下來，完成了《九章算術(shù)注》。

《九章算術(shù)》成書的確切起始年代無法確定，只知在漢代就曾經(jīng)過北漢平侯張蒼（約前200年）和大司農(nóng)中丞耿壽昌（約前50年）的整理。第13頁/共36頁第一章方田（分?jǐn)?shù)四則運算和平面圖形求面積）第二章粟米（糧食交易的計算方法）第三章衰分（比例分配）第四章少廣（開平方與開立方）第五章商功（體積計算）第六章均輸（運輸中的均勻負(fù)擔(dān)）第七章盈不足（盈虧類問題計算）第八章方程（一次方程組解法與正負(fù)數(shù)）第九章勾股（勾股定理的應(yīng)用）全書的編排方法是：先舉出問題，再給出答案，通過對一類問題解法的考察，最后給出“術(shù)”。全書共有202個“術(shù)”。術(shù)，是一類問題的一般算法描述，它是研究中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果的主要依據(jù)

《九章算術(shù)》是以應(yīng)用問題集的形式表述，一共收入246個問題。《九章算術(shù)》把246個問題分為九章：

第14頁/共36頁明代刊印的《九章算術(shù)注》

《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識體系已初步形成。代表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點：注重實際問題的數(shù)值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計算方法《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。

第15頁/共36頁《九章算術(shù)注》對數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)開始了其獨特的推理論證的嘗試?！拔隼硪赞o，解體用圖。”創(chuàng)立了“出入相補”的方法，提出了“割圓術(shù)”，上首次將極限概念用于近似計算；引入十進(jìn)制小數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識；他試圖建立球體積公式，雖然沒有成功，但為后人提供了科學(xué)的方法；他對勾股測量問題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個原理出發(fā)，運用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法。提出“審辨名分”，不但對自己提出的每一個新概念都給出界定《九章算術(shù)注》豐富了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。諸如，割圓術(shù)與徽率“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！?/p>

第16頁/共36頁

設(shè)圓面積為S0、半徑為r、圓內(nèi)接正n邊形邊長為ln、周長為Ln、面積為Sn。將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形，其邊長、周長、面積分別記為l2n,L2n,S2n。劉徽首先指出，由ln及勾股定理可求出l2n

其次知道了圓內(nèi)接正n邊形的周長Ln，又可求得正2n邊形的面積，如果在圓內(nèi)接n邊形的每邊上作一高為CD的矩形，就可以證明劉徽不等式：S2n<S0<S2n

+(S2n－Sn).割圓術(shù)的基本原理第17頁/共36頁

從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑r為1尺，一直計算到192邊形，得出圓周率的近似值π≈3.14，化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的“徽率”第18頁/共36頁2.3.2祖率與祖暅原理

祖沖之（429~500）與祖率據(jù)《隨書·律歷志》記載，祖沖之求得的π值的取值范圍為3.141592<π<3.1415927.（并稱為朒、盈數(shù)）如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)，至24576邊形

第19頁/共36頁用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即

V球=（π/4）V牟。祖暅原理（冪勢既同，則積不容異）與球體積公式劉徽原理與“牟合方蓋”第20頁/共36頁

“小方蓋差”與球體積公式

左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為a，UQ是球半徑r，UP是高h(yuǎn)。根據(jù)勾股定理得a2=r2

–h2;這正是截平面PQRS的面積

中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于r2－a2

=h2，

右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2

根據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。第21頁/共36頁

內(nèi)插法：已知f(x)在xi∈[a,b]（i=1,2,…,n）的值為，那么通過及適當(dāng)公式，計算y=f(x)在[a,b]內(nèi)其他一些點的函數(shù)值。如果xi+1－xi為定數(shù)，這時的內(nèi)插法稱為等間距內(nèi)插法；反之，稱為不等間距內(nèi)插法。

歷法編制中的內(nèi)插法最早求影長的一次內(nèi)插公式（約公元前2世紀(jì)）：

f(n)=f(a)+n△，其中，

f(n)是夏至之后的第ｎ個節(jié)氣的影長，f(a)=160分，f(b)=1350分分別是夏至、冬至的中午八尺桿子的影長，2.3.3內(nèi)插法與天文歷法第22頁/共36頁《乾象歷》（206年），已發(fā)現(xiàn)了月亮不均勻運動及其規(guī)律。公元570年，北齊朝的天文學(xué)家張子信發(fā)現(xiàn)：自春分到秋分所需的時間要比秋分到春分的時間長，進(jìn)而證明了太陽“視運動”的速度是不均勻的隋朝劉焯（544~610）的《皇極歷》提出了等間距二次內(nèi)插法公式：f(nl+s)=f(nl)++(△1－△2)－(△1－△2)張遂(683~727)的《大衍歷》創(chuàng)造了不等間距二次內(nèi)插法公式：

f(t+s)=f(t)+s+s－其中，l1、l2分別為不同節(jié)氣的時間長度，張遂假定它們不相等

第23頁/共36頁“算經(jīng)十書”記載的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就《周髀算經(jīng)》（約公元前240年至公元前156年）與商高（陳子）定理

“周髀”是測量日影的工具—八尺長竿全書由三部分組成：第一部分共264個字，記述了周公與大夫商高的問答記錄。提到：“勾廣三，股修四，徑隅五”。說明，周代初期人們已經(jīng)知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。第二部分是榮方與陳子的對話。對話中包含了勾股定理的一般陳述形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”

第三部分是講計算問題的，有“術(shù)”13條，書寫形式和內(nèi)容與《九章算術(shù)》基本一致。2.3.4明算學(xué)與“算經(jīng)十書”

隋唐時期的數(shù)學(xué)教育制度

—明算學(xué)

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“孫子問題”：“今物不知其數(shù)，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，問物幾何？”孫子問題相當(dāng)于求解一次同余式組

N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）這個問題源于歷法編算中的求上元積年問題其解法寫作“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。.

計算過程為：N=70×2+21×3+15×2－2×105.顯然，這里的70、21、15是求解的關(guān)鍵。其求法：

70=2×5×7≡1(mod3)≡0(mod5)≡0(mod7),21=3×7≡0(mod3)≡1(mod5)≡0(mod7),15=3×5≡0(mod3)≡0(mod5)≡1(mod7).由題設(shè)，用3、5、7分別除以N所得的余數(shù)為2、3、2，故用2、3、2分別去乘70、21和15，再相加即得

233≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）求出這個同余組的最小整數(shù)解N=23，

《孫子算經(jīng)》（約公元4世紀(jì)）與“孫子問題”

第25頁/共36頁《張邱建算經(jīng)》（約公元五世紀(jì)）與“百雞問題”

“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何?！?/p>

給出三組答案：

（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）

《張邱建算經(jīng)》的應(yīng)用領(lǐng)域較《九章算術(shù)》有了新的發(fā)展，其主要數(shù)學(xué)成果包括求最小公倍數(shù)，等差數(shù)列及不定方程等內(nèi)容

《緝古算經(jīng)》（公元600多年）與“帶從開方法”

對當(dāng)時的土木工程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題的研究和總結(jié)，在一些體積計算中隱含了求解三次方程的“帶從開方法”。雖然由于解法過程空缺，因而沒能清楚地呈現(xiàn)這一方法的具體操作過程和原理。該書在理論上的貢獻(xiàn)是陳述了籌算的運算方法，這在中國數(shù)學(xué)史上尚屬首次。第26頁/共36頁2.4.1楊輝三角與增乘開方法

楊輝（約13世紀(jì)后期）在《詳解九章算法》中記載了北宋人賈憲的一張“開方作法本源圖”（1050）現(xiàn)今稱為楊輝三角的“賈憲三角”。在西方它被又稱為帕斯卡三角（1655年）2.4中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰（900年到1368年）

創(chuàng)造出許多具有世界

歷史意義的成就

數(shù)學(xué)家輩出

數(shù)學(xué)著作涌現(xiàn)

第27頁/共36頁

若A開平方的首商、次商分別為a,b,則有A=a2+B=a2+2ab+b2

則B=A－a2=2ab+b2=(2a+b)b

繼而用2a+b試除B,且若B－(2ab+b2)=0,則開方完成；否則再繼續(xù)試第三位商，……。這個方法用于籌算，就形成了增乘開方法，其過程簡述如下:

借助賈憲三角，給出一種開高次方的方法：增乘開方法

第28頁/共36頁a

*

a

aab*bb商實法AAB=A－a2*

BBBB－b(2a+b)*a*a*2a*2a2a+b*2a+b

借算

1111111①②③④⑤⑥⑦

將上圖轉(zhuǎn)換適當(dāng)角度，就變?yōu)橘Z憲三角：左邊斜行由1組成，稱為“積數(shù)”，它們是借算；右斜行也都是1，稱為偶算，它們是a的各次冪的系數(shù)。賈憲利用賈憲三角得到了開高次方的一般方法

增乘開方法，是一個和高度機械化的和非常有效的算法，與現(xiàn)代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。增乘開方法，可適用于開任意高次方。但賈憲本人沒有認(rèn)識到這一點。另外直到賈憲時，中國數(shù)學(xué)家們所處理的方程系數(shù)都是正數(shù)。12世紀(jì)北宋學(xué)者劉益首先突破了系數(shù)必須為正的限制，并且也不再像以往那樣要求首項系數(shù)為1。第29頁/共36頁“大衍求一術(shù)”

為求得滿足條件的乘率ki，秦九韶把奇數(shù)gi與定數(shù)ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼得商數(shù)qi和余數(shù)ri，即

ai=q1gi+r1,并可得到：c1=q1

gi=q2r1+r2,c2=q2c1+1

r1=q3r2+r3,c3=q3c2+c1

……

……

rn-2=qnrn-1+rn

秦九韶指出：當(dāng)rn=1且n為偶數(shù)時，則最后所得cn

就是乘率ki；當(dāng)rn=1，且n為奇數(shù)時，可將rn-1與rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余數(shù)rn+1仍為1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，這時n+1為偶數(shù)，則cn+1就是所求ki，總之，當(dāng)輾轉(zhuǎn)相除得到余數(shù)1時，整個計算結(jié)束

2.4.2秦九韶與中國剩余定理

秦九韶（1202~1261）與《數(shù)書九章》

高次方程數(shù)值解法—“正負(fù)開方術(shù)”（開10次方的問題）

一次同余組解法—“大衍總數(shù)術(shù)”（“衍”同“演”）第30頁/共36頁

元代初期，開始用文字表示方程中的未知量，并形成了相應(yīng)的算法——天元術(shù)（李冶）與四元術(shù)（朱世杰）高階等差級數(shù)和公式沈括（約1031~1095）“隙積術(shù)”與二階等差數(shù)列求和公式

數(shù)列：22，32，42，52，62，（1）該數(shù)列相鄰項之差依次為

5，7，9，11，……

（2）顯然（2）是一個公差為2的等差數(shù)列。今天（1）式被稱為一個二階等差數(shù)列

楊輝的“垛積術(shù)”與“三角垛公式”：1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n）

=n（n＋1）（n＋2）/62.4.3方程與級數(shù)的研究

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廉?dāng)?shù)是斜行上數(shù)的和上一斜行各數(shù)之和，等于下行短線所指的一個數(shù)

左邊第二斜行為1，2，3，4，5，6，7，8，是公差為1一階等差數(shù)列，它的前n項和（“茭草垛”公式）左邊第三斜行為1，3，6，10，15，21，28，是二階等差數(shù)列，它的前n項和為（“三角垛”公式）

左邊第四斜行為1，4，10，20，34，56，是三階等差數(shù)列，它的前n項和為（“撤星形垛”公式）

朱世杰得到了p階等差數(shù)列求和的一般公式，

=朱世杰的一般高階等差級數(shù)公式及其應(yīng)用

賈憲三角與等差級數(shù)公式

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