概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章第1頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五內(nèi)容與學(xué)時(shí)第一章隨機(jī)事件及其概率第二章隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律與中心極限定理第六章樣本及抽樣分布第七章參數(shù)估計(jì)(8學(xué)時(shí))數(shù)理統(tǒng)計(jì)(32學(xué)時(shí))概率論第八章假設(shè)檢驗(yàn)第2頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五二、教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》華中科技大學(xué)出版社出版劉次華主編以班級(jí)為單位到出版社發(fā)行部二樓購買（72折，18元/冊(cè)）本周三下午2:30~5:30晚上6:30~9:00以班級(jí)為單位到科技樓南樓715房間購買練習(xí)冊(cè),每本5元.答疑時(shí)間:每周四下午6—7節(jié)（第十周開始）地點(diǎn):科技樓南樓715房間第3頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五自然界和社會(huì)中有兩類現(xiàn)象：①確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生（或不發(fā)生）的現(xiàn)象例拋一石子必然落下；（結(jié)果可以事先預(yù)言的）②隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，其結(jié)果可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象。（結(jié)果不可事先預(yù)言）例拋一枚硬幣，落下時(shí)正面朝上或反面朝上；在每次觀察中具有偶然性，而在大量的重復(fù)緒言同性電荷必不互相吸引；第4頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

觀察中具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。研究對(duì)象：概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)分支。第5頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)在工業(yè)上的應(yīng)用（一）StatisticalQualityControl(Online)TaguchiMethods(Off-line)6SigmaMethodsBeginner,Blackbelt,Masterblackbelt,Greenbelt,Champion,ExecutiveReliability第6頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)在農(nóng)林牧漁業(yè)上的應(yīng)用DesignofExperiment(DOE)氣象漁業(yè)生態(tài)農(nóng)業(yè)環(huán)境保護(hù)動(dòng)物保護(hù)(capturerecapture)……第7頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)在商業(yè)中的應(yīng)用市場(chǎng)調(diào)查與咨詢物流（倉庫的設(shè)計(jì)與儲(chǔ)量分析）交通運(yùn)輸業(yè)的統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)挖掘第8頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)是什么？Data=￥￥第9頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五WhatAreTheseNumbersTryingtoTellUs?第10頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五DataMining（一）

９９：８１７９，７９５４, ７６２６９，８４０６，９４０５, ７９１８９３４，１.９１８１７.舅舅：不要吃酒，吃酒誤事， 吃了二兩酒，不是動(dòng)怒，就是動(dòng)武， 吃酒要被酒殺死，一點(diǎn)酒也不要吃。第11頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五DataMining（二）7÷22≦x≦340÷6二四六八1×1=110002=100×100×1007/86873x不三不四接二連三陸續(xù)不斷無獨(dú)有偶一成不變千方百計(jì)七上八下了不起thanks第12頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五DataMining（三）第13頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五FinancialandActurialStatisticsNobelPrizes

期權(quán)定價(jià)模型、投資組合模型…Insurance

保費(fèi)的計(jì)算、產(chǎn)品的設(shè)計(jì)…第14頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五在軍事及航空航天中的應(yīng)用第15頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五SPRT檢驗(yàn)(一)SamuelS.Wilks(1906-1964)AbrahamWald(1902-1950)第16頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五SPRT檢驗(yàn)(二)

20世紀(jì)40年代，Wilks在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，并任華盛頓海軍研究局顧問，成立了普林斯頓統(tǒng)計(jì)研究小組(SRG-P)。當(dāng)TheodoreW.Anderson還是此小組的研究生時(shí)研究了如下課題：由于日本人以隨機(jī)形態(tài)在海岸線上布滿地雷，而進(jìn)攻日本本土日子越來越近，故美國需要找出一種毀壞地雷的有效方法。在此之前，歐洲曾嘗試過從飛機(jī)上丟炸彈來引爆地雷，但效果不好。于是，Anderson等人設(shè)計(jì)一種新方法，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明這種方法并不有效。這樣就導(dǎo)致美國在日本投下原子彈的原因之一。第17頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五SPRT檢驗(yàn)(三)Wilks又在哥倫比亞大學(xué)組建了第二個(gè)統(tǒng)計(jì)研究小組(SRG-Pjr)，這個(gè)小組的成果之一即是提出了與此與此序貫分析（序貫分析當(dāng)時(shí)被列為最高機(jī)密，直至戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束多年后，參加這項(xiàng)研究的專家都不能對(duì)外發(fā)表論文）。后來，AbrahamWald通過高度抽象的理論歸納，提出了決策理論。第18頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInSocialSciences法律心理學(xué)（測(cè)慌）經(jīng)濟(jì)學(xué)社會(huì)學(xué)人口學(xué)管理科學(xué)文學(xué)考古……第19頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInSocialSciences

（法律之一）被告死刑合計(jì)是否白人19141160黑人17149166合計(jì)36290326數(shù)據(jù)：美國佛羅里達(dá)，1976--1977年兇殺案結(jié)論：白人被判死刑的比例為：19/160=11.9%黑人被判死刑的比例為：17/166=10.2%第20頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInSocialSciences

(法律之二）被告被害死刑死刑比例是否白人白人191320.126黑人090.000黑人白人11520.175黑人6970.058ContingencyTable（列聯(lián)表）第21頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五在IT業(yè)中的應(yīng)用分類、搜索圖像或模式識(shí)別網(wǎng)絡(luò)完全（數(shù)字簽名）第22頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)在醫(yī)藥衛(wèi)生中的應(yīng)用Biostatistics

制藥業(yè)（比對(duì)試驗(yàn)）疾病的診斷（Bayes方法，圖模型等）病理分析疾病的控制第23頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInBioinformation第24頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第25頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInOtherFields地質(zhì)勘探公安（指紋識(shí)別、腳印識(shí)別、圖像恢復(fù))服務(wù)行業(yè)體育第26頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五DataMining（四）統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算機(jī)的應(yīng)用計(jì)算方法It’shot!第27頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第一章第一節(jié)隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)二、隨機(jī)事件與樣本空間三、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算第28頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五一、隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察的試驗(yàn)，具有以下特點(diǎn)：1、可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2、試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且在試驗(yàn)前能預(yù)先知道全部可能結(jié)果；3、在每次試驗(yàn)前不能預(yù)先知道哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。E1

:拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面情況。例：E2

:將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況。E4:在一批燈泡中任取一只,測(cè)試它的壽命。

E3

:記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。第29頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、隨機(jī)事件與樣本空間定義1隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為Ω

,樣本空間的元素,即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn),記為e。例如上頁引例中：={H,T}={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}有限個(gè)樣本點(diǎn)可列無窮個(gè)={0,1,2,3……}={t|t≥0}連續(xù)、不可列Ⅰ.樣本空間Ω1

Ω2

Ω3

Ω4

第30頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例：將一枚硬幣連拋三次1)觀察正反面出現(xiàn)的情況,2)觀察正面出現(xiàn)的次數(shù),Ⅱ.隨機(jī)事件定義2樣本空間中的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，一般記為A,B,C等。A—點(diǎn)數(shù)之和為7,例：拋兩個(gè)骰子，骰子可分辨，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，注意：樣本空間的元素是由試驗(yàn)?zāi)康乃鶝Q定的。={HHH,HHT……}Ω1

={0,1,2,3}Ω2

Ω={11,12,13,……,61,……,66}A={16,25,34,43,52,61}第31頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特殊隨機(jī)事件：3.基本事件：一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集(試驗(yàn)E的每個(gè)可能結(jié)果）例：有兩個(gè)基本事件{H}和{T}1.必然事件：每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件,記為Ω。2.不可能事件：每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件,記事件A發(fā)生A中的某一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)第32頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①包含、相等關(guān)系A(chǔ)發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生1.事件的關(guān)系三、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算事件B包含事件AA與B相等，記為A=B。第33頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束②事件的和A和B的和事件表示A與B中至少有一個(gè)發(fā)生，即：A與B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，發(fā)生。第34頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束③事件的積表示事件A和B同時(shí)發(fā)生，即：且A與B的積事件當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，通常簡(jiǎn)記為AB。發(fā)生。第35頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束④事件的差A(yù)-B表示事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生但⑤互斥事件(互不相容)，則稱A,B為互不相容事件即：AB不能同時(shí)發(fā)生。⑥對(duì)立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A與B的差事件且，則稱事件A與B互為逆事件或互為對(duì)立事件。A的對(duì)立事件記為,=Ω-A。第36頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.事件的運(yùn)算法則①交換律；②結(jié)合律③分配律④德·摩根律：；推廣：;第37頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①，，，則，設(shè)②③注：事件的一些關(guān)系式

第38頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)A,B,C表示三個(gè)事件,試表示下列事件(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生(3)A,B與C都發(fā)生(4)A,B與C至少有一個(gè)發(fā)生(5)A,B與C全不發(fā)生(6)A,B與C至少有兩個(gè)發(fā)生第39頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五若F滿足：事件域當(dāng)樣本空間是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間時(shí)，可以構(gòu)造出無法測(cè)量其長(zhǎng)度的子集，這樣的子集稱為不可測(cè)集，我們只能將可測(cè)集看成是事件.否則稱為可測(cè)集.直觀上講，事件域就是一個(gè)樣本空間中某些子集構(gòu)成的集合類，記為F.對(duì)于F

的基本要求

——

包括

和?，且關(guān)于集合的運(yùn)算封閉.注意到：交的運(yùn)算可以通過并與對(duì)立來實(shí)現(xiàn)(德摩根公式)

—差的運(yùn)算可以通過對(duì)立與交來實(shí)現(xiàn)(

A-B=AB

)定義1

設(shè)是樣本空間，F(xiàn)為的某些子集構(gòu)成的集合類，(1)F

；

—(2)若

AF

；則對(duì)立事件

AF；

(3)若

AnF

；則可列并

F；

則稱F為一個(gè)事件域，又稱F為一個(gè)

代數(shù).第40頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五二、概率的統(tǒng)計(jì)定義一、頻率第二節(jié)頻率與概率三、概率的公理化定義第41頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一個(gè)事件在某次試驗(yàn)中的出現(xiàn)具有偶然性，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件的出現(xiàn)呈現(xiàn)一定的數(shù)量規(guī)律，頻率這一概念近似反映了這個(gè)數(shù)量規(guī)律。1.定義1設(shè)E,Ω,A為E中某一事件，在相同條件進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)記為稱為A的頻率。(frequency)2.性質(zhì)：0≤≤1一、頻率則比值第42頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若兩兩互不相容結(jié)論：當(dāng)n較小時(shí)，頻率呈偶然性，波動(dòng)性很大；隨著n的增加，波動(dòng)幅度減小，最后集中在某一個(gè)數(shù)附近。歷史上著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家蒲豐和皮爾遜曾進(jìn)行過大量擲硬幣的試驗(yàn)，所得結(jié)果如下：試驗(yàn)者蒲豐皮爾遜皮爾遜次數(shù)正面的次數(shù)正面的頻率404020480.50691200060190.501624000120120.5005第43頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束這種稱為頻率穩(wěn)定性，也就是通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，頻率穩(wěn)定值注：試驗(yàn)次數(shù)越多，并不說明越精確，只能說明波動(dòng)范圍越小。即概率的統(tǒng)計(jì)定義。第44頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五頻率穩(wěn)定性的應(yīng)用

著作抽樣字?jǐn)?shù)不同的字Markingtime(Kryukov)1000589ThewayandtheRoad(肖洛霍夫)1000656靜靜的頓河1000646靜靜的頓河有爭(zhēng)議作者第45頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、概率（概率的公理化定義）1.定義設(shè)E,Ω

,對(duì)于E的每一事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率,如果P(·)滿足以下三個(gè)公理：⑴非負(fù)性：⑵規(guī)范性：⑶可列可加性：第46頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.性質(zhì)：故由可列可加性又因?yàn)椤?，有限可加性其中兩兩互不相容。，則證明取所以第47頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果則①≤②證明且A和B－A互不相容得①式成立；，0≤≤1第48頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明推廣：(加法公式)BA第49頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束提示：可用歸納法證明例1.已知證明:例2、解：第50頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五【例3】設(shè)事件A,B,C滿足條件:

P（AB）＝P（AC）＝P（BC）P（ABC）＝則事件A,B,C中至多一個(gè)發(fā)生的概率為

.第51頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例6設(shè)2010年8月11日武漢,重慶兩市溫度分別為(1)下列結(jié)論成立的是()

第52頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五(2)已知,求.解

表示兩市的溫度至少有一個(gè)是36度

第53頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五兩式相減得

第54頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例7若.證明

證明

于是

故

第55頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8，求解從定義出發(fā)求概率是不切實(shí)際的，下節(jié)將針對(duì)特殊類型的概率求事件的概率。﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏ΩAB第56頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第一章第三節(jié)等可能概型一、等可能概型的定義二、計(jì)算公式三、計(jì)算方法第57頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.定義：具有以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型，有限性試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有限個(gè)；等可能性每個(gè)基本事件的發(fā)生的可能性相同。例：E1—拋硬幣,觀察哪面朝上2.計(jì)算公式：①等可能概型也稱為古典概型。E2—投一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)={H,T}Ω1

={1,2,3,4,5,6}Ω2

第58頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束②若事件A包含k個(gè)基本事件，即其中(表示中的k個(gè)不同的數(shù))則有第59頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.方法：構(gòu)造A和Ω的樣本點(diǎn)(當(dāng)樣本空間Ω的元素較少時(shí)，先一一列出Ω和A中的元素，直接利用求解)用排列組合方法求A和Ω的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)預(yù)備知識(shí)Ⅰ.加法原理：完成一項(xiàng)工作m類方法，第i類方法有種，(i=1,2,m)，則完成這項(xiàng)工作共有：種方法。Ⅱ.乘法原理：完成一項(xiàng)工作有m個(gè)步驟，第i步有，則完成該項(xiàng)工作一共有：種方法。種方法（i=1,2,…,m)第60頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束Ⅲ.排列：從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素，按一定順序排成一列，稱為從n個(gè)元素里取出r個(gè)元素的排列。(n，r均為整數(shù))進(jìn)行排列，共有①(無放回選取)從n個(gè)不同元素中無放回的取出m個(gè)(m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏種方法。②(有放回選取)從n個(gè)不同元素中有放回地抽取r個(gè)，依﹏﹏﹏﹏﹏次排成一列，稱為可重復(fù)排列，一共有第61頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束Ⅳ.組合從n個(gè)元素中無放回取出r個(gè)元素，不考慮其順序，組合數(shù)為或,第62頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五解

設(shè)A表示事件“n次取到的數(shù)字的乘積能被10整除”設(shè)A1表示事件“n次取到的數(shù)字中有偶數(shù)”

A2表示事件“n次取到的數(shù)字中有5”A=A1A2,例1

在1,2,3,,9中重復(fù)地任取n()個(gè)數(shù),求n個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除的概率.例1第63頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例2盒中有5個(gè)紅球，6個(gè)白球，7個(gè)蘭球，從中人任取5個(gè)出來，求每種顏色的球至少有一個(gè)的概率.解:用A,B,C分別表示無紅球,白球,籃球三個(gè)事件.

則所求為

第64頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4(分房問題)將r個(gè)球隨機(jī)地放入n(n>r)個(gè)盒子中，設(shè)各個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，解求：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球的概率。將r個(gè)球放入n個(gè)盒子，每一種方法是一個(gè)基本事件例3袋中有a只黑球和b只白球，k個(gè)人把球隨機(jī)的一只只摸出來，求第i個(gè)人摸出的是黑球的概率。解

將k個(gè)人取球的每一種取法看成一個(gè)樣本點(diǎn)第65頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5(生日問題)設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機(jī)選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？解(1)設(shè)A=“n個(gè)人的生日各不相同”(2)設(shè)B=“n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同”當(dāng)n等于64時(shí)，在64人的班級(jí)中，B發(fā)生的概率接近于1，即B幾乎

總是會(huì)出現(xiàn)。第66頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例1.8某會(huì)議室中有10把椅子一字排開，10位代表，

隨機(jī)就座，用表示甲乙兩位代表間隔m個(gè)坐位，

求

解:10個(gè)位置，甲乙兩人的座法有，

甲乙兩人之間有m個(gè)人,首先考慮甲在乙

的右側(cè)情形，

此時(shí)甲只能在從右往左數(shù)的第1到第10-(m+1)個(gè)位置上選一個(gè)選定后，讓乙坐在甲左側(cè)的第m+1個(gè)位置上，

因此有種座法,類似，乙在甲的右側(cè)，也有種座法，因此有利于發(fā)生的基本事件數(shù)為

2(9-m)

于是

第67頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例(接草成環(huán))春天來了,校園的草坪上有一對(duì)情侶,女孩希望男孩送給她一個(gè)花環(huán),于是扯了6根花草,握在手中上下兩端分別露出6個(gè)頭和尾,讓男孩將將上下兩端的6個(gè)頭任意兩兩相接,6個(gè)尾任意兩兩相接,若剛好接成一個(gè)花環(huán),就答應(yīng)嫁給他.否則拜拜.求概率解:6個(gè)頭兩兩相接(無論如何接)將構(gòu)成3根草然后連接6個(gè)尾:實(shí)際上相當(dāng)于6個(gè)元素分成3組每組2個(gè)但沒有組號(hào)區(qū)別共有現(xiàn)在要成為一個(gè)花環(huán),三根草的每根草對(duì)應(yīng)的兩個(gè)尾不能相接,先取一個(gè)尾它可與4個(gè)尾中任意一個(gè)相接,接好后,變成兩根草,這兩根草有兩種接法成為環(huán),故共有4×2種,因此所求概率為第68頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān))，

(即樣本點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)可能性的大小且可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來表示；

確定概率的幾何方法...定義若隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下兩個(gè)特征：(1)E的樣本空間有無窮多個(gè)樣本點(diǎn)，(2)試驗(yàn)中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同則稱

E

為幾何概型.有度量的區(qū)域事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域仍以A表示長(zhǎng)度面積體積僅與該區(qū)域的度量成比例,第69頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例1.10從區(qū)間(0,1)中任取兩個(gè)數(shù),則兩數(shù)之積小于的概率________第70頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)某吸毒人員強(qiáng)制戒毒期滿后在家接受監(jiān)控，監(jiān)控期為L(zhǎng)單位時(shí)間，該期間內(nèi)隨時(shí)可提取尿樣化驗(yàn).問該人員復(fù)吸且被檢驗(yàn)出的概率是多少？例設(shè)該人員隨時(shí)可能復(fù)吸，且復(fù)吸后S單位時(shí)間內(nèi)尿樣呈陽性反應(yīng)，解

x——復(fù)吸時(shí)刻;y——提取尿樣的時(shí)刻,(x,y)——樣本點(diǎn),樣本空間={(x,y

)|0≤x≤L

,0≤y

≤L

}，則

的度量=L

2.LLSy=x0xy

A={

該人員復(fù)吸且被檢驗(yàn)出

}

A={

(x,y

)|0

≤y

-x≤S},則

A

的度量=

A第71頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)條件概率一條件概率二乘法公式三全概率公式,貝葉斯公式第一章第72頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五引例:取一副牌,隨機(jī)的抽取一張,問:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是紅桃,問抽中的是k的概率。解：A

——抽中的是紅桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性嗎?在古典概型中,一條件概率第73頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1、定義：設(shè)A，B為兩事件，且則稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。3.設(shè)是兩兩互不相容的事件則條件概率滿足概率公理化定義中的三個(gè)公理:2.性質(zhì)：條件概率類似滿足概率的6條性質(zhì)。第74頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例(1996)已知0<p(B)<1,且，則下列結(jié)論成立的是（A）

（B）（C）（D）第75頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例設(shè)A,B兩個(gè)事件滿足:則第76頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五(1)在縮減樣本空間中求事件概率（實(shí)際意義法）(2)定義法例1、設(shè)一批產(chǎn)品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,現(xiàn)從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取得是一等品的概率。解則由已知得如引例2、條件概率的求法第77頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五定理設(shè)，則有推廣

其中，則有或二、乘法公式第78頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五推廣到n個(gè)事件，如果則有一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個(gè)零件，取后不放回。試求：2)如果取到一個(gè)合格品就不再取下去，求在3次內(nèi)取到合格品的概率。

1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率；“第次抽到合格品”解:

設(shè)例2.第79頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1)2)設(shè)“三次內(nèi)取到合格品”則且互不相容第80頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)一個(gè)班中30名學(xué)生采用抓鬮的辦法分一張電影票,問各人獲得此票的機(jī)會(huì)是否均等？解設(shè)“第名學(xué)生抓到電影票”i=1,2,…,30例3、同理,第i個(gè)人要抓到此票,他前面的i-1個(gè)人都沒抓到此票第81頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五思考：如果是兩張電影票呢？第82頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五三、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式定義(1)(2)則稱注:對(duì)每次試驗(yàn)，例如設(shè)試驗(yàn)E為“擲骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。樣本空間為，，，，而不是劃分。第83頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1、全概率公式定理設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為A為E的事件，則有全概率公式證:兩兩互不相容第84頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五注：應(yīng)用此公式時(shí),不妨將A看成結(jié)果,再去找出導(dǎo)致A發(fā)生的所有的不同的因素(前提,背景)第85頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例4、

假設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中有3個(gè)白球2個(gè)紅球，乙再從乙中任取一球，問取到白球的概率為多少？解設(shè)A—從乙中取到白球，B

—從甲中取到白球袋中有2個(gè)紅球3個(gè)白球，今從甲中任意取一只放入乙中，=第86頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2、貝葉斯公式定理設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,A為E的任意一個(gè)事件,為Ω的一個(gè)劃分,且則，稱此式為貝葉斯公式。第87頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)某工廠甲,乙,丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45％,35％,20％,且各車間的合格品率為0.96,0.98,0.95,現(xiàn)在從待出廠的產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品,問該產(chǎn)品是由哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大？解分別表示該產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，設(shè)A表示“任取一件產(chǎn)品為次品”由題意得由貝葉斯公式第88頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以該產(chǎn)品是甲車間生產(chǎn)的可能性最大。用全概率公式求得第89頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例6、某炮臺(tái)有3門炮，第1、2、3門炮的命中率分別為0.4，0.3，0.5，3門炮各發(fā)射一枚炮彈，如果有兩枚命中目標(biāo)，求第1門炮命中目標(biāo)的概率。解：A—兩枚命中目標(biāo)，B—第1門炮命中目標(biāo)第90頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例7、A—某種臨床試驗(yàn)呈陽性B—被診斷者患有癌癥根據(jù)以往的臨床紀(jì)錄，癌癥患者某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)呈陽性的概率為0.95，而正常人該試驗(yàn)成陰性的概率為0.95，已知常人患癌癥的概率為0.005，現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查，如果某人試驗(yàn)呈陽性，求他患癌癥的概率有多大？解由題，已知第91頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例某種產(chǎn)品的商標(biāo)為“MAXAM”,其中有兩個(gè)脫落，有人撿起隨意放回，求放回仍為“MAXAM”的概率.解:試驗(yàn)分兩階段第一階段是字母脫落,第2階段是撿起放回,放回仍為“MAXAM”是第2階段的結(jié)果,設(shè)為A,它與第1階段脫落的情況有關(guān).則

代入即得

用B表示脫落的兩個(gè)字母相同.第92頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例[2005]從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè),記為X,再從1,…,X中任取一個(gè),記為Y,則.解:試驗(yàn)分為兩個(gè)階段,Y=2是第2階段的結(jié)果,第1階段的所有結(jié)果是Y=2發(fā)生的一組前提條件.第93頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五賭徒輸光問題:設(shè)甲乙二人賭博,每局輸贏1元錢,每局甲贏的概率為p,開始時(shí)甲乙二人各有m,n元錢,約定賭到一個(gè)人輸光為止,求甲輸光的概率.第94頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五可以解得第95頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五女孩問題:設(shè)有兩個(gè)孩子的一對(duì)新夫婦剛搬到某小鎮(zhèn),假定有人在路上遇到母親與她的一個(gè)孩子散步,若這個(gè)孩子是女孩,問她的兩個(gè)孩子都是女孩的概率是多少?.第96頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第97頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第98頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第五節(jié)事件的相互獨(dú)立性引例：E—擲兩枚硬幣，觀察正反面的情況A—甲幣出現(xiàn)H，B—乙?guī)懦霈F(xiàn)H={HH，HT，TH，TT}Ω由此看出第99頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、兩個(gè)事件相互獨(dú)立

定義1設(shè)A、B是兩個(gè)事件，如果有如下等式成立則稱事件A、B相互獨(dú)立。定理設(shè)A、B是兩個(gè)事件⑴若，則A、B相互獨(dú)立的充分必要條件為⑵若A、B相互獨(dú)立,第100頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五(即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率),

記

A={

抽到

K

},B={

抽到的牌是黑色的

}，顯見,P(AB)=P(A)P(B)，

由于P(A)=4/52=1/13,所以事件A、B獨(dú)立.問A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,也可以通過計(jì)算條件概率去做:由于P(A)=1/13,顯見P(A)=P(A|B),P(A|B)=2/26=1/13,所以事件A、B獨(dú)立.實(shí)際應(yīng)用中往往根據(jù)問題的實(shí)際意義判斷兩事件是否獨(dú)立例如:甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,A

與

B

是否獨(dú)立？記

A={甲命中},B={乙命中},由于

“甲命中”

并不影響

“乙命中”

的概率故可認(rèn)為A與B獨(dú)立.例1

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，第101頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第102頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例6設(shè)A、B、C是三個(gè)事件，且P(A)=0.

3

,P(C)=0.

6,P(B|A)=0.

4,P(

B∪C

)=0.

72,B與

C

相互獨(dú)立，求P(A∪B

).解由于B與

C

獨(dú)立，故P(B∪C)=P(B)+

P(C)

-

P(B)P(C)=P(B)[1-P(C)

]

+

P(C)=0.4P(B)

+

0.6=

0.

72,

P(B)=0.

3

,P(A∪B

)=P(A)+

P(B)

-

P(AB)分析=P(A)P(B|A)=P(A)+

P(B)

-

P(A)P(B|A

)?所以P(A∪B

)=P(A)+

P(B)

-

P(A)P(B|A

)=0.

3+0.

3

+

0.

30.

4=0.

48第103頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例8證明概率為零(或1)的事件A與任意事件B獨(dú)立.,則于是A與B獨(dú)立;,則從而與獨(dú)立,于是A與B獨(dú)立.證明第104頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五二、多個(gè)事件的相互獨(dú)立性若下面四個(gè)等式同時(shí)成立定義2則稱A,B,C相互獨(dú)立，如果只有前三個(gè)等式成立，則稱A,B,C兩兩獨(dú)立。注：A,B,C相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立第105頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五推廣：……………同時(shí)成立，第106頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五解={}反例設(shè)有四張卡片，一張涂有紅色，一張涂有白色，一張涂有黑色，一張涂有紅、白、黑三種顏色。從中任意取一張，令A(yù)={抽出的卡片上出現(xiàn)紅色}，B={抽出的卡片上出現(xiàn)白色}，C={抽出的卡片上出現(xiàn)黑色}，試分析A、B、C的獨(dú)立性。A={}，B={}，C={}但即A、B、C中任何兩個(gè)事件相互獨(dú)立，但A、B、C不是相互獨(dú)立的。第107頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例1、性質(zhì)：(1)其中任意k個(gè)事件也相互獨(dú)立;若n個(gè)事件相互獨(dú)立其中任意k個(gè)事件的逆事件與其余的事件組成的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。甲乙兩人各自同時(shí)向一架飛機(jī)射擊，兩人的命中率分別為0.6，0.5，求飛機(jī)被命中的概率。解：A—甲擊中飛機(jī)，B—乙擊中飛機(jī)，C—飛機(jī)被擊中=0.8注：判斷獨(dú)立性問題時(shí)，可以根據(jù)具體問題分析，或者題目會(huì)告知是否獨(dú)立。第108頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五【例】(1998)設(shè)A,B,C為三個(gè)相互獨(dú)立的事件,且0<P（C）<1,則不獨(dú)立的事件為【】

第109頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例2、對(duì)于例1，或者利用利用德·摩根律，把求和事件的概率轉(zhuǎn)化為求積事件的概率，這種方法在解決獨(dú)