專題27 特殊三角形【考點(diǎn)精講】【無答案】

專題27特殊三角形專題27特殊三角形知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)精講知識(shí)精講考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)與判定1．定義:兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質(zhì):①等腰三角形的兩腰相等;②等腰三角形的兩底角相等，即“等邊對(duì)等角”;③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”;④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是底邊的垂直平分線.

3．判定:①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對(duì)等邊”.【例1】（2021·江蘇揚(yáng)州市）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【例2】（2021·浙江紹興市）如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，則的度數(shù)是_______．針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2020?福建）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．32．（2020?齊齊哈爾）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是．3．（2021·湖南）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判定1．定義:三邊相等的三角形是等邊三角形.2．性質(zhì):①等邊三角形的三邊相等,三角相等,且都等于60°;②“三線合一”;③等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸.

3．判定:①三條邊都相等的三角形是等邊三角形;②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

【例3】（2021·廣東）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．方法技巧方法技巧（1）等邊三角形與全等三角形的結(jié)合運(yùn)用;（2）等邊三角形與含30°角的直角三角形的結(jié)合運(yùn)用.針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2021·重慶）在等邊中，，，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長(zhǎng)；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的面積．2．（2021·江蘇連云港市）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長(zhǎng)；（2）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)；（3）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)；（4）正方形的邊長(zhǎng)為3，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形，其中點(diǎn)F、G都在直線上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______．考點(diǎn)3：直角三角形的性質(zhì)1．性質(zhì):①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半.2．判定:有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

【例4】（2020?泰州）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為．針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2021·四川樂山市）如圖，已知點(diǎn)是菱形的對(duì)角線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作、延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、．若，，則的值為（）A． B． C．2 D．考點(diǎn)4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個(gè)三角形是直角三角形.【例5】（2021·江蘇宿遷市）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（示意圖如圖，則水深為尺．方法技巧方法技巧（1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng).（2）已知直角三角形的一邊長(zhǎng)，求另兩邊長(zhǎng)的關(guān)系.（3）用于證明平方關(guān)系的問題.針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2021·四川自貢市）如圖，，