人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義(全冊(cè))

>八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第11章三角形三角形的概念三角形的定義

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形

要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接．

2．三角形的表示

△ABC中，邊：AB，BC，AC或c，a，b．.頂點(diǎn)：A，B，C．內(nèi)角：∠A，∠B，∠C．．

三角形的邊1.三角形的三邊關(guān)系:（證明所有幾何不等式的唯一方法）(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊:b+c>a(2)三角形任意兩邊之差小于第三邊:b-c<a判斷三條已知線段a、b、c能否組成三角形.當(dāng)a最長，且有b+c>a時(shí),就可構(gòu)成三角形.·確定三角形第三邊的取值范圍:兩邊之差<第三邊<兩邊之和.2.三角形的主要線段三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線.①銳角三角形三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；②直角三角形三條高線交于直角頂點(diǎn)；③鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點(diǎn).三角形的角平分線三角形一個(gè)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).三角形的中線連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).)三角形的角1三角形內(nèi)角和定理結(jié)論1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°

※三角形中至少有2個(gè)銳角結(jié)論2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．

※三角形中至多有1個(gè)鈍角注意：①在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角．

如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)】2三角形外角和定理外角：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的角．性質(zhì)：

①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)

外角個(gè)數(shù)：過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角（相等），可見一個(gè)三角形共有6個(gè)外角]三角形的分類(1)按角分：①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形(2)按邊分：①不等邊三角形②底與腰不等的等腰三角形③等邊三角形五多邊形及其內(nèi)角1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.2、正多邊形:各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。3、多邊形的對(duì)角線

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n－2)個(gè)三角形。

(2)n邊形共有條對(duì)角線。4、n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))。任意凸形多邊形的外角和等于360°、※多邊形外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān).※多邊形最多有3個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；※多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角，最少?zèng)]有鈍角.

5、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊?！究键c(diǎn)三】判斷三角形的形狀8、若△ABC的三邊a、b、c滿足（a-b）（b-c）（c-a）=0，試判斷△ABC的形狀。`9、已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，試判斷△ABC的形狀。10、若△ABC的三邊為a、b、c（a與b不相等），且滿足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，試判斷△ABC的形狀。/二、三角形角有關(guān)計(jì)算1.如圖△ABC中AD是高,AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O,∠A=50°,∠C=70°求∠DAC,∠AOB解∵AD是△ABC的高,∠C=70°∴∠DAC=180°-90°-70°=20°∵∠BAC=50°∴∠ABC=180°-50°-70°=60°∵AE和BF是角平分線∴∠BAO=25°,∠ABO=30°`∴∠AOB=180°-25°-30°=125°2.如圖,△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2,∠3=∠4，∠BAC=63°,求∠DAC的度數(shù)3.已知：P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn).求證：∠BPC＞∠A&4.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值、5.已知△ABC的∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)O。求證：∠BOC=90°+∠A(角平分線模型)：6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分線，交于點(diǎn)P。求證：∠P=90°-∠A(角平分線模型)$7.△ABC中，∠ABC的平分線BD和△ABC的外角平分線CD交于D，求證：∠A=2∠D(角平分線模型)8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分線和△ABC的外角∠OBD平分線交于P，求∠P的度數(shù)9.如圖：求證：∠A+∠B+∠C=∠ADC(飛鏢模型)，，第12章全等三角形一、全等三角形的概念與性質(zhì)1、概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（1）表示方法：兩個(gè)三角形全等用符號(hào)“≌”來表示，記作≌2、性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)邊相等（2）對(duì)應(yīng)角相等（3）周長相等（4）面積相等二、全等三角形的判定1全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS),(ASA),(AAS),(HL)`邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS）角邊角(ASA)角角邊AAS直角邊和斜邊（HL））三邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.兩角和及其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.有一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL）(2．全等三角形證題的思路：3全等三角形的隱含條件：①公共邊（或公共角）相等②對(duì)頂角相等③利用等邊（等角）加（或減）等邊（等角），其和（或差）仍相等④利用平行線的性質(zhì)得出同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等？全等三角形（SAS）【知識(shí)要點(diǎn)】兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”，幾何表示AB《CEDAB《CEDF≌【典型例題】ADBECADBEC證明：在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠BAE=∠CADAD=AE∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD.ABDABDEC12【例3】如圖已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度數(shù).BBEAFCO【例4】如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC。求證：BC∥EF。DABDABCE全等三角形（SSS）【知識(shí)要點(diǎn)】三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”，幾何表示【典型例題】【例1】如圖，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC,DB=DC求證：AM是的角平分線證明:在△ABD和△ACD中，AB=ACDB=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC∴MB=MC

∴AM是的角平分線(三線合一)【例2】如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點(diǎn)。求證：BD⊥AC。例3.如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：∠B=∠C。例4.如圖，在中,，D、E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求證：DE⊥AB。全等三角形（AAS）【知識(shí)要點(diǎn)】兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“AAS”，【典型例題】ADBECF【例ADBECFABDEC【例2ABDEC【例3】已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CD．AACBDEFABCDP123ABCDP1234

全等三角形（ASA）【知識(shí)要點(diǎn)】兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“AAS”，【典型例題】【例1】如圖，已知中，，、分別是及平分線．求證：．【例2】如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.證明：∵M(jìn)Q和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN【例3】已知：如圖AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中點(diǎn),連結(jié)CM并延長交BD于點(diǎn)F。求證：AC=BF．全等三角形（HL）【知識(shí)要點(diǎn)】直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“HL”【典型例題】1、如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．求證：．ADADECBF例2、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求證：①BECDAE；②DF⊥BC．BBCDEFA例3、如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過點(diǎn)C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求證：MN=AM+BN。全等三角形常見輔助線的作法一倍長中線法倍長中線法:就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長××到某點(diǎn)，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對(duì)頂角）方法總結(jié)：遇中線，要倍長，倍長之后__構(gòu)造全等三角形_，轉(zhuǎn)移邊、轉(zhuǎn)移角，然后和已知條件重新組合解決問題

【例題精講】例1、如圖1，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．求證：AB+AC＞2AD．分析：①因?yàn)锳D為中線，延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE；

②進(jìn)而利用全等三角形的判定（SAS）△ABD≌△ECD；③由全等可得_AB=EC__；證明：延長AD至E，使DE=AD，連接EC

∵AD是中線

∴DC=DB在△CDE和△BDA中

DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB

∴△CDE≌△BDA（SAS）

∴CE=AB

在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB

∴AB+AC>AE

∵DE=AD

∴AE=2AD

∵AB+AC>AE

∴AB+AC>2AD例2如圖CB，CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC=AB．求證：CE=2CD．證明：延長CD至，使DF=CD，連接BF，在⊿ADF和⊿BDC中AD=BD∠ADF=∠BDCCD=DF∴⊿ADF≌⊿BDC∴AF=BC，AF∥BC∴∠CAF+∠ACB=180°，∵∠ACB=∠ABC，∠ABC+∠CBE=180°∴∠CAF=∠CBE又因?yàn)锳C=BE，∴⊿CAF≌⊿CBE∴CE=CF例3、如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線．證明：延長到點(diǎn)，使，連結(jié)．在和中∴∴，∴，而∴又∵∴，例4、如圖，在中，是邊的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于點(diǎn)F．求證：AF＝EF證明：延長AD到點(diǎn)G，使AD=DG，連結(jié)BG．∵是邊的中線∴DC=DB在△ADC和△GDB中AD=DG∠ADC=∠GDBDC=DB∴△ADC≌△GDB（SSS）∴∠CAD=∠BGDBG=AC又∵BE=AC，∴BE=BG∴∠BED=∠G∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．二截長補(bǔ)短法截長:1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線

2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短:1.延長短邊

2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起?！纠}精講】例1.如圖，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2求證：AB＝AC＋CD證法一：（補(bǔ)短法）延長AC至點(diǎn)F，使得AF＝AB在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B＝∠F∵∠ACB＝2∠B∴∠ACB＝2∠F而∠ACB＝∠F＋∠FDC∴∠F＝∠FDC∴CD＝CF而AF＝AC＋CF∴AF＝AC＋CD∴AB＝AC＋CD證法二：（截長法）在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS）例2、如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，∠B=2∠C.求證：CD=AB+BD.

證明：在DC上截取DE=DB，連接AE，在△ADB和△ADE.中DE=DB，∠ADB=∠ADE,AD=AD∴△ADE≌△ADB（SAS）

∴AE=AB，∠AEB=∠B，

∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，ED=BD，

∴∠AEB=2∠C.

∴∠C=∠CAE，故CE=AE=AB.

∴CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.

例3、如圖，ADACBBDF（圖2）CABDE（圖1）ABCDEF（圖3）ABCDFE（圖4ABCDEOPOABCDEABCDEO12ABDPOMNABCDEFOABCD軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形(1)定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．這條直線就是它的對(duì)稱軸①兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(或一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形)，則對(duì)應(yīng)線段(對(duì)折后重合的線段)相等；對(duì)應(yīng)角(對(duì)折后重合的角)相等②對(duì)稱軸垂直平分連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段(2)性質(zhì)(3)垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上作軸對(duì)稱圖形用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱軸對(duì)稱變換：由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形，叫做軸對(duì)稱變換P(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x，－y)PACBBDF（圖2）CABDE（圖1）ABCDEF（圖3）ABCDFE（圖4ABCDEOPOABCDEABCDEO12ABDPOMNABCDE