工程制圖畫圖

1、學(xué)習(xí)投影法，重要是正投影法的基本理論及其應(yīng)用。2、研究在二維平面上表達(dá)三維空間形體（圖示法）及在平面上運(yùn)用圖形來(lái)解決空間幾何問(wèn)題（圖解法）。3、培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力、構(gòu)思能力和發(fā)明能力。由于畫法幾何所研究的是空間形體與它在平面上的圖形之間的關(guān)系，因而在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生對(duì)三維形狀和相關(guān)位置的空間邏輯思維和形象思維能力方面起著及其重要的作用。4、培養(yǎng)學(xué)生繪制和閱讀建筑工程圖樣的基本能力。學(xué)會(huì)使用各種繪圖工具，并熟悉制圖規(guī)定等；熟悉并能適當(dāng)運(yùn)用各種表達(dá)物體形狀和大學(xué)的方法。三、學(xué)習(xí)方法畫法幾何的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)、實(shí)踐性強(qiáng)。因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要注意幾點(diǎn)方法：1、要循序漸進(jìn)。本課程是按點(diǎn)、線、面、體，由淺入深、由簡(jiǎn)到繁、由易到難的順序編排的，前后聯(lián)系十分緊密。學(xué)習(xí)時(shí)，必須對(duì)前面的基本內(nèi)容真正理解，基本作圖方法純熟掌握后，才干往下作進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。2、要下工夫培養(yǎng)空間思維能力。由于畫法幾何學(xué)研究的是圖示法和圖解法，涉及的是空間形體和平面圖形之間的相應(yīng)關(guān)系。所以，學(xué)習(xí)時(shí)必須經(jīng)常注意空間幾何關(guān)系的分析，以及空間幾何元素與平面圖形的聯(lián)系。對(duì)于每一個(gè)概念、每一個(gè)原理、每一條規(guī)律和每一種方法，都要弄清它們的空間意義和空間關(guān)系，碰到一時(shí)不懂的地方，要多問(wèn)幾個(gè)為什么，這樣才干逐漸掌握相關(guān)知識(shí)、掌握讀圖和作圖的規(guī)律；掌握課程的基本內(nèi)容并善于運(yùn)用它們。無(wú)論是學(xué)習(xí)或做作業(yè)，都要畫圖和讀圖相結(jié)合。通過(guò)認(rèn)真學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握讀圖和作圖規(guī)律：讀圖平面圖形←＝→空間形體（二維）作圖（三維）3、必須勤動(dòng)手、多做題，不斷提高解題能力。復(fù)習(xí)時(shí)不能單純閱讀課文，做題的過(guò)程也是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，這一方面可以鞏固知識(shí)、加深理解，另一方面也可提高學(xué)生的空間想像能力和邏輯思維能力，提高做題的速度和準(zhǔn)確率。解題時(shí)，一方面要弄清哪些是已知條件，哪些是需規(guī)定作的。然后運(yùn)用已學(xué)過(guò)的內(nèi)容進(jìn)行空間分析，研究如何從已知條件獲得所規(guī)定作的結(jié)果，要通過(guò)如何的環(huán)節(jié)才干達(dá)成最后的結(jié)果。初學(xué)時(shí)，可以把這些環(huán)節(jié)記錄下來(lái)，最后運(yùn)用基本作圖方法按照所擬定的解題環(huán)節(jié)一步步的進(jìn)行作圖，作圖時(shí)要力求準(zhǔn)確。最后還應(yīng)作一次全面的檢查，看作圖過(guò)程中是否有錯(cuò)誤，作圖是否精確等。4、養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自學(xué)能力。這門課程的基本理論多、空間幾何關(guān)系抽象。因此，規(guī)定學(xué)生一定要注意解決好課前、課中和課后的關(guān)系，即：課前認(rèn)真做好預(yù)習(xí)，帶著問(wèn)題聽(tīng)課；上課時(shí)思想要集中，并要認(rèn)真思考；課后要及時(shí)復(fù)習(xí)，并完畢作業(yè)，及時(shí)消化、鞏固所學(xué)的內(nèi)容；同時(shí)，做題要按照環(huán)節(jié)逐步完畢，力求準(zhǔn)確。因此，我們?cè)谶M(jìn)行課堂教學(xué)的同時(shí)，也要布置作業(yè)和預(yù)習(xí)下節(jié)課的內(nèi)容，以加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)、分析和理解問(wèn)題能力的培養(yǎng)。總之，在這門課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要多思考、多做題，認(rèn)真聽(tīng)、認(rèn)真記，及時(shí)復(fù)習(xí)、及時(shí)消化。也許有一部分同學(xué)剛開(kāi)始時(shí)也這樣做了，但學(xué)習(xí)的效果不太好，也許是由于你的三維立體感（空間想像能力）尚不太強(qiáng)。我相信，只要大家多練習(xí)，循序漸進(jìn)，不斷努力，一定可以輕松學(xué)習(xí)好這門課程。四、工程上常用的幾種圖示法土木建筑工程中常用的投影法有多面正投影法、軸測(cè)投影法、透視投影法和標(biāo)高投影法。多面正投影法：由物體在兩個(gè)互相垂直的投影面上的正投影，或在兩個(gè)以上（其中相鄰的兩投影面互相垂直）的投影面上的正投影所組成。例如右圖是由三級(jí)踏步和左、右各一塊巨型欄板所構(gòu)成的臺(tái)階的三面正投影圖，由這個(gè)臺(tái)階分別向正立的、水平的和側(cè)面的三個(gè)互相垂直的投影面所作的正投影組成圖中被遮的不可見(jiàn)投形畫成虛線。多面正投影圖是土木建筑工程中最重要的圖樣，本書重要講述多面正投形法。軸測(cè)投影法：是將物體連同其直角坐標(biāo)體系，沿不平行于任一坐標(biāo)平面的方向，用平行投影法將其投影在單一投影面上所得的圖形，可以是正投影，也可以是斜投影，通常省略不畫坐標(biāo)軸的投形。具體將在本課程第九章講解。軸測(cè)投影有較強(qiáng)的立體感，在土木建筑工程中常用來(lái)繪制給排水、采暖通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)等方面的管道系統(tǒng)圖。透視投影法：是用中心投影法將物體投射在單一投影面上所得的圖形透視投影圖，有較強(qiáng)的立體感，形象逼真，如拍攝的照片和人的視覺(jué)形象那樣，圖中通常也不畫出不可見(jiàn)的投影。當(dāng)投射中心、投影面和物體的相對(duì)位置配置得不同時(shí)，可以獲得不同的透視圖，正如照相機(jī)在不同的地點(diǎn)、以不同的方向拍攝，會(huì)得到不同的照片，以及在不同的地點(diǎn)、以不同的方向視物，會(huì)得到不同的視覺(jué)形象。在建筑設(shè)計(jì)中，常用透視圖作為表現(xiàn)房屋、道路和橋梁等的外貌、室內(nèi)裝修與布置的視覺(jué)形象的效果圖。標(biāo)高投影法：是在物體的水平投影上加注某些特性面、線以及控制點(diǎn)的高程數(shù)值和比例的單面正投形。它常用來(lái)表達(dá)地形和工程建筑物。本書將在第十章闡述標(biāo)高投影的作圖原理和畫法，在土木建筑專業(yè)圖中還將應(yīng)用到一些與地形有關(guān)的用等高線表達(dá)的土建圖樣。五、畫法幾何學(xué)發(fā)展概述在古代，由于丈量田地、興修水利和航海等的需要，產(chǎn)生了度量幾何。在繪畫、雕刻、建筑防御工事、水利工程和房屋等方面，都需要精確和富有表達(dá)性的表達(dá)方法。但應(yīng)用文字和語(yǔ)言都不也許十分完整和清楚地描述所要表達(dá)的對(duì)象，因而提出了許多有關(guān)必須在平面上表達(dá)表達(dá)空間物體的新的幾何問(wèn)題。由于人們的長(zhǎng)期努力，逐漸的規(guī)定出一些解決問(wèn)題的方法，據(jù)此可以在一定條件下和一定限度上滿足所提出的規(guī)定。畫法幾何學(xué)正是由于人們生產(chǎn)實(shí)踐的需要而產(chǎn)生和發(fā)展的科學(xué)理論。然而，在其形成為一個(gè)科學(xué)體系的很久以前，畫法幾何學(xué)的各種方法和規(guī)則早已由于世間的需要而應(yīng)用于技術(shù)和藝術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域中。例如，根據(jù)我國(guó)古代文獻(xiàn)的記載，從傳說(shuō)中的禹開(kāi)始就進(jìn)行了大規(guī)模的治水工程，以便從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。在治水工程中，必先探測(cè)地形、水路，因此繪制地形圖就發(fā)展起來(lái)了。營(yíng)造技術(shù)在我國(guó)也是最早的科學(xué)之一。自周代以來(lái)，就有很多關(guān)于建筑的記載。其中完整無(wú)遺、保存至今的是宋代李誡所著的《營(yíng)造法式》，該書著于，這部書完整的總結(jié)了兩千數(shù)年間的我國(guó)建筑的偉大成就。全書共36卷，其中6卷為圖冊(cè)，所列圖樣大都是對(duì)的地按正投影規(guī)則繪制的，也有很多圖樣已完全脫離了藝術(shù)畫的范疇，而用軸測(cè)畫法來(lái)表達(dá)。此外在其他技術(shù)書籍中也可看到很多圖樣。例如明代宋應(yīng)星所著的《天工開(kāi)物》中就有大量插圖，其中的很多圖樣就和現(xiàn)代的軸測(cè)投影相差不多，有的還適當(dāng)運(yùn)用了陰影。畫法幾何學(xué)完整而系統(tǒng)的著述，直到公元1795年才有法國(guó)的工程師和數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日所發(fā)表，蒙日所說(shuō)明的畫法是以互相垂直的兩個(gè)平面作為投影面的正投影法。該方法保證了物體在平面上的圖像明顯、對(duì)的，且便于度量。蒙日著作發(fā)表后對(duì)世界各國(guó)科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響。在以后的一個(gè)多世紀(jì)內(nèi)畫法幾何學(xué)得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。畫法幾何這一中文名稱是由我國(guó)著名物理學(xué)家薩本棟和著名教育家蔡元培大約在192023翻譯定名的。在我國(guó)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)中，畫法幾何學(xué)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和智力資源開(kāi)發(fā)等方面都起著重要的作用。最近20數(shù)年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)繪圖系統(tǒng)在我國(guó)的研制、引進(jìn)和開(kāi)發(fā)，計(jì)算機(jī)繪圖和圖形顯示技術(shù)在實(shí)際實(shí)用中得到了迅速的發(fā)展。為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)的需要，在畫法幾何學(xué)方面把解析幾何的數(shù)解法和畫法幾何的圖解法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使空間幾何問(wèn)題的解決得以從手工繪圖轉(zhuǎn)變?yōu)橛?jì)算機(jī)繪圖和圖形顯示，并實(shí)現(xiàn)對(duì)本課程的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。這將對(duì)畫法幾何學(xué)的教學(xué)及其應(yīng)用產(chǎn)生及其深遠(yuǎn)的影響。六、推薦參考書1、何銘新主編《畫法幾何及土木工程制圖（第二版）》，武漢理工大學(xué)出版社；2、汪穎、龔偉主編《畫法幾何與建筑工程制圖》，科學(xué)出版社；3、何斌、陳錦昌、陳熾坤主編《建筑制圖》，高等教育出版社；4、陳文耀、陳啟粱主編《建筑工程制圖》，同濟(jì)大學(xué)出版社。同時(shí)，同學(xué)們還可以運(yùn)用網(wǎng)上資源進(jìn)行學(xué)習(xí)。第二節(jié)投影的基本知識(shí)一、投影的概念投影法是從平常生活中光照物體的呈影現(xiàn)象中進(jìn)行幾何抽象、概括出來(lái)的。投影面：承受影子的平面H?！鱝bc為物體ABC在投影面上的投影。從幾何意義上解釋，點(diǎn)A、線段AB、空間平面△ABC的投影。投影法的概念：投射線通過(guò)物體，向選定的面投射得到物體投影的方法稱為投影法。畫法幾何的基礎(chǔ)是投影法。構(gòu)成投影體系的五項(xiàng)要素：投影中心：發(fā)出投射線的投射源投射線：從投射中心通過(guò)物體到達(dá)投影面的連線空間物體：被表達(dá)的物體投影面：用于承影的平面投影：物體在投影面上得到的投影圖二、投影的分類按照投影中心與投影面的距離，投影分為：1、中心投影投影中心距離投影面有限遠(yuǎn)，投射線相交于該點(diǎn)時(shí)，所得到物體的投影。如圖1。中心投影的大小由投影面、空間物體和投射中心三者的相對(duì)位置來(lái)擬定。投影中心：投射中心為一點(diǎn)。投射線：由一點(diǎn)發(fā)出，呈放射狀。應(yīng)用舉例：透視投影法。2、平行投影投影中心距離投影面無(wú)限遠(yuǎn)，投射線互相平行時(shí)，所得到物體的投影。如太陽(yáng)光產(chǎn)生的投影。只要給出投影面和投影方向，空間物體與投影面距離遠(yuǎn)近不影響投影的大小。投影中心：投射中心為無(wú)窮遠(yuǎn)處投射線：投射線互相平行應(yīng)用舉例：正投影法、軸測(cè)投影法、標(biāo)高投影法根據(jù)光線與投影面的相對(duì)關(guān)系，平行投影又分兩種：①斜投影：投射線與投影面傾斜時(shí)所得到的平行投影。②正投影：投射線與投影面垂直時(shí)所得到的平行投影。如圖2。圖1圖2三、正投影的特性正投影法是工程制圖中繪制圖樣的重要方法。以后提到的投影均為正投影，它有7個(gè)特性。1、同素性：點(diǎn)、直線、平面的正投影仍分別為點(diǎn)、直線、平面。如：A、BC、DEF。2、從屬性：若點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的正投影在直線的正投影上。如G。3、定比性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)分線段所成的比例等于該點(diǎn)的正投影分線段的正投影所成的比例。如：BG:GC=bg:gc。4、真實(shí)性：若線段或平面圖線平行于投影面，則它們的正投影反映線段實(shí)長(zhǎng)或平面圖形的實(shí)形。如：BC＝bc,△DEF≌△def。5、積聚性：若直線或平面垂直于投影面，則直線的正投影為一點(diǎn)，平面的正投影為一線。6、平行性：若兩直線段平行，則它們的正投影也平行，且兩線段的長(zhǎng)度之比等于其正投影的長(zhǎng)度之比。7、類似性：若平面圖形傾斜于投影面，則它的正投影不反映實(shí)形，而是原平面圖形的類似性。四、立體的三面投影僅憑物體的單面正投影是局限性以擬定空間形體的形狀。通常，我們多是選用三面正投影來(lái)完整地表達(dá)并擬定空間形體的形狀。1、立體三面投影的形成（1）、建立三面投影體系：V⊥H、H⊥W、W⊥VOX⊥OY⊥OZ，投影軸（2）、立體的三面投影及展開(kāi)投影線V面不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90度，W面繞OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90度，從而使V、H、W三個(gè)面處在同一平面上。由三個(gè)投影可知：立體的每個(gè)投影反映立體兩個(gè)方向的尺寸。即：水平：長(zhǎng)、寬；正面：長(zhǎng)、高；側(cè)面：高、寬。2、立體三面投影的性質(zhì)（H水平，V正，W側(cè)）正面投影和水平投影“長(zhǎng)對(duì)正”；正面投影和側(cè)面投影“高平齊”；水平投影和側(cè)面投影“寬相等”。正面投影：上、下、左、右；水平投影：前、后、左、右；側(cè)面投影：上、下、前、后。小結(jié)：這節(jié)課，我們重要講了兩部分內(nèi)容。對(duì)于第一部分，大家了解就可以了，但一定要注意本課程的學(xué)習(xí)方法，并不斷總結(jié)、完善，特別要注意提前預(yù)習(xí)、做好練習(xí)、課后復(fù)習(xí)。第二部分，同學(xué)們要掌握正投影的特性（7個(gè)）和三面投影的“三等關(guān)系”，這是以后的學(xué)習(xí)和工作都要經(jīng)常用到的。作業(yè)題：預(yù)習(xí)點(diǎn)的投影。第一節(jié)點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)在單一投影面上的投影能否唯一擬定空間點(diǎn)的位置？一、點(diǎn)的兩面投影及表達(dá)法根據(jù)正投影的同素性，空間點(diǎn)在投影面上的投影仍是點(diǎn)。但是只有點(diǎn)的一個(gè)投影是不能擬定點(diǎn)的空間位置的。對(duì)于空間點(diǎn)來(lái)說(shuō)，在互相垂直的投影面體系中，只有作出點(diǎn)的兩面投影，才可擬定其空間位置。將空間點(diǎn)A放在水平投影面H及正立投影面V上所形成的兩面投影體系中，分別向H及V面作垂直投射線，形成：a：A的水平投影；a’：A的正面投影注意：A、a、a’各自表達(dá)的含義。二、點(diǎn)的兩面投影特性為使點(diǎn)的兩面投影畫在同一平面中，規(guī)定：V面不動(dòng)，H面連同水平投影a繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，使其與V面重合，就得到點(diǎn)A的兩面投影，如下圖：通常在投影圖中不畫投影面的邊界，如上圖右。點(diǎn)A的兩面投影a、a’可擬定該A點(diǎn)的空間位置。由此可推出點(diǎn)的兩面投影特性：1、點(diǎn)的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸，即a’a⊥OX。2、點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于該點(diǎn)到V面的距離，aax=Aa。點(diǎn)的兩面投影規(guī)律(V/H兩面投影體系中) 1、點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。2、點(diǎn)的投影到投影軸的距離,等于該點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x。三、兩投影面的擴(kuò)展在兩面投影體系中，若把H面向V面之后擴(kuò)展，把V面向H面之下擴(kuò)展，就可把投影平面分為4個(gè)部分，即4個(gè)分角，逆時(shí)針命名：第一分角：H面之上，V面之前；第二分角：H面之上，V面之后；第三分角：H面之下，V面之后；第四分角：H面之下，V面之前。若在四個(gè)分角內(nèi)，分別有四個(gè)空間點(diǎn)A、B、C、D位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ角內(nèi)，當(dāng)將投影面展開(kāi)，即V面不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°（V面后的H面向上旋轉(zhuǎn)）至于V面重合。則四個(gè)點(diǎn)在各自分角內(nèi)的兩面投影特點(diǎn)如下圖：Ⅰ分角中：A點(diǎn)正面投影a’位于OX軸之上，a位于OX軸之下；Ⅱ分角中：B點(diǎn)正面投影b’位于OX軸之上，b位于OX軸之上；Ⅲ分角中：C點(diǎn)正面投影c’位于OX軸之下，c位于OX軸之上；Ⅳ分角中：D點(diǎn)正面投影d’位于OX軸之下，d位于OX軸之下。第二節(jié)點(diǎn)的三面投影一、三面投影體系的建立在兩面投影體系基礎(chǔ)上，包含OY和OZ軸做出第三個(gè)投影面――側(cè)立投影面，即W面。三面投影體系的展開(kāi)同兩面投影體系相似。二、點(diǎn)的三面投影形成及其特性假設(shè)三面投影體系中有一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A分別向三個(gè)投影面作投射線，投射線與投影面的交點(diǎn)分別記為a、a’、a’’。為便于作圖，保持V面不動(dòng)，將H面連同水平投影a繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面連同a”繞OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90°，都與V面重合，就得到點(diǎn)的三面投影（如上圖）。由圖可知，三面投影有以下特性（點(diǎn)的三面投影規(guī)律）：1、點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。2、點(diǎn)的投影到投影軸的距離,等于點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是該點(diǎn)與相應(yīng)的相鄰?fù)队懊娴木嚯x。假如將三投影面體系當(dāng)作直角坐標(biāo)系，則：投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸，投影面當(dāng)作坐標(biāo)面，點(diǎn)O當(dāng)作坐標(biāo)原點(diǎn)。根據(jù)解析幾何，空間點(diǎn)的位置可由其三維坐標(biāo)決定，點(diǎn)到投影面的距離也可用坐標(biāo)值表達(dá)，即X、Y、Z分別表達(dá)空間點(diǎn)到W、V、H面的距離。從而點(diǎn)的投影與坐標(biāo)關(guān)系如下：1、點(diǎn)的投影與空間坐標(biāo)有惟一相應(yīng)關(guān)系。2、點(diǎn)的投影到投影軸的距離,等于點(diǎn)的坐標(biāo)。點(diǎn)的正面投影到OZ軸的距離，等于X坐標(biāo)值；點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離，等于Y坐標(biāo)值；點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離，等于Z坐標(biāo)值。即a(x，y)；a’(x，z)；a”(y，z)。所以，在點(diǎn)的三面投影中，任何兩個(gè)投影都能反映出點(diǎn)到三個(gè)投影面的距離。因此，若已知點(diǎn)的兩面投影，便能擬定該點(diǎn)的坐標(biāo)值，進(jìn)而擬定其空間位置。反之，已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可以畫出三面投影。例1：已知a、a’，求a”。解：略例2：已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3，4），作點(diǎn)的三面投影。解：略三、各種位置點(diǎn)的投影點(diǎn)除位于空間位置外（前面已講），尚有：投影面上的點(diǎn)，點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為零；投影軸上的點(diǎn)，兩個(gè)坐標(biāo)為零；與原點(diǎn)O重合的點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)均為零。投影面和投影軸上的點(diǎn)投影特性：1、投影面上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)為零，在該投影面上的投影與點(diǎn)自身重合，在相鄰?fù)队懊嫔系耐队胺謩e在相應(yīng)的投影軸上。2、投影軸上的點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)為零，在包含這條投影軸的兩個(gè)投影面上的投影都與該點(diǎn)自身重合，在另一投影面上的投影則與原點(diǎn)O重合。3、與原點(diǎn)O重合的點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)都為零，三個(gè)投影重合于原點(diǎn)。第三節(jié)兩點(diǎn)相對(duì)位置和無(wú)軸投影一、兩點(diǎn)的持相對(duì)位置相對(duì)位置是指空間兩點(diǎn)的上下、左右、前后關(guān)系。正面投影，判斷上下、左右位置關(guān)系；水平投影，判斷前后、左右關(guān)系；側(cè)面投影，判斷前后、上下關(guān)系。（1）、兩個(gè)點(diǎn)的投影沿左右、前后、上下三個(gè)方向所反映的坐標(biāo)差，即兩點(diǎn)相對(duì)投影面W、V、H的距離差，能擬定兩點(diǎn)的相對(duì)位置。坐標(biāo)值越大，就越左、越前、越上。（2）、特別要注意的是：對(duì)于水平投影而言，由OX軸向下代表向前；對(duì)側(cè)面投影而言，由OZ軸向右也代表向前。通常判別兩點(diǎn)在空間的位置，是將其中的一點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，判斷另一點(diǎn)（即比較點(diǎn)）在基準(zhǔn)點(diǎn)之上（下）、前（后）、左（右）多少距離。反映在投影中，是在擬定了基準(zhǔn)點(diǎn)的前提下，找出兩點(diǎn)在同一投影面上的投影的同名坐值的代數(shù)差（比較點(diǎn)的坐標(biāo)減去基準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)）△X、△Y、△Z。假如為正，則比較點(diǎn)在基準(zhǔn)點(diǎn)的左、前、上方；若為負(fù)值，則相反。二、重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性（1）、兩個(gè)或兩個(gè)以上的空間點(diǎn)在某投影面上的投影重合，稱為該投影面上的重影點(diǎn)。該兩點(diǎn)同面投影重合于一點(diǎn)的性質(zhì)稱為重影性。（2）、對(duì)W、V、H重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判別原則分別為左遮右、前遮后、上遮下。點(diǎn)的不可見(jiàn)投影應(yīng)加注（）。三、無(wú)軸投影對(duì)于不涉及點(diǎn)到投影面距離的作圖問(wèn)題，可不畫出投影軸，即為無(wú)軸投影。第四節(jié)點(diǎn)的輔助投影一、輔助投影的基本概念如下圖(a)所示，DABC是鉛垂面，它在H／V投影體系中的兩個(gè)投影都不反映實(shí)形。如何使DABC的投影反映實(shí)形呢？取一個(gè)平行于DABC且垂直于H面的V1面來(lái)代替V面，則構(gòu)成一個(gè)新的H／V1投影體系。DABC在V1面上的投影Da1￠b1￠c再以V1面和H面的交線X1為軸，使V1面旋轉(zhuǎn)至和H面重合，就得出在H／V1體系的投影圖，如下圖(b)所示。（a）(b)圖V／H體系變?yōu)閂1／H體系總結(jié)一下：新投影面的選擇原則是：(1)新投影面必須和空間幾何元素處在有助于解題的位置。(2)新投影面必須垂直于原投影體系中的一個(gè)投影面，并與它組成新投影面體系。二、點(diǎn)的投影變換規(guī)律點(diǎn)是最基本的幾何元素，其投影變換自身沒(méi)故意義，但研究點(diǎn)的投影變換規(guī)律是學(xué)習(xí)換面法的基礎(chǔ)，能推導(dǎo)出換面法的一些基本規(guī)律。1．點(diǎn)的一次變換（輔助投影）在作點(diǎn)的一次變換時(shí)，可以變換V面，也可以變換H面。（1）變換V面如圖6-2（a）所示，空間有一個(gè)點(diǎn)A，它在V-H體系中的投影是a和a￠。用垂直于H面的V1面代替V面和H面構(gòu)成一新的直角投影體系（H、V1）。A點(diǎn)在V1-H體系中的投影是a和a1￠。V1和H的交線X1為新投影軸。V1繞新軸X1按圖示箭頭所指的方向旋轉(zhuǎn)90°與H面重合，就得到圖6-2（b）所示的投影圖。從圖中可看出，a1￠a⊥X1軸；a1￠ax1=a￠（a）(b)圖點(diǎn)的一次變換（變換V面）具體作圖環(huán)節(jié)如下：（1）在被保存的水平投影a附近作新軸X1（2）自a向新軸X1引垂線。（3）在此垂線上，從新軸X1起截取a1￠ax1=a￠ax，a1￠即為所求。注意：新舊兩投影體系具有公共水平面H，故Aa=a’ax=a1’ax1（2）變換H面如圖6-3(a)所示，空間有一個(gè)點(diǎn)B，它在V-H體系中的投影是b和b￠。用垂直于V面的H1面代替H面和V面構(gòu)成一新的直角投影體系（H1、V）。(a)(b)圖點(diǎn)的一次變換（變換H面）B點(diǎn)在H1-V體系中的投影是b1和b￠。V和H1的交線X1為新投影軸。H1繞新軸X1按圖示箭頭所指的方向旋轉(zhuǎn)90°與V面重合，就得到如圖6-3(b)所示的投影圖。從圖中可看出，b￠b1⊥X1軸；b1bx1=bbx。具體作圖環(huán)節(jié)如下：（1）在被保存的水平投影b￠附近作新軸X1（2）自b￠向新軸X1引垂線。（3）在此垂線上，從新軸X1起截取b1bx1=bbx,b1即為所求。綜上所述，無(wú)論變換V面或H面，可以得到點(diǎn)的一次投影變換的規(guī)律是：（1）點(diǎn)的新投影和不變投影的連線必垂直于新投影軸。（2）點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被替換的舊投影到舊投影軸的距離。(3)按實(shí)際需要擬定投影軸。2．點(diǎn)的二次變換（復(fù)輔助投影）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要連續(xù)地更換兩次、甚至更多次的投影面。但當(dāng)你掌握了點(diǎn)的一次換面規(guī)律以后，就不難解決了。請(qǐng)看圖例。在圖5-4（a）中，第一次變換，用垂直于H面的V1面代替V面，將V/H體系變換成V1/H體系。第二次變換，用垂直于V1面的H2面代替H面，將V1/H體系變換成V1/H2體系。在每一次更換投影面過(guò)程中，點(diǎn)的投影作圖均與更換一次投影面相同，如圖5-4（b）所示。(a)(b)圖6-4點(diǎn)的二次變換（現(xiàn)變換V面）注意：在多次變換投影面時(shí)，新投影面的建立除了符合前面講的兩個(gè)條件外，還必須交替變換H面和V面。§2－1直線的投影大家知道，通過(guò)兩點(diǎn)可以畫一條直線，而空間一直線可由該直線上的任意兩點(diǎn)所決定，直線的投影一般仍是直線。因此，作直線上的投影，需先作出直線上任意兩點(diǎn)的投影，并連接該兩點(diǎn)在同一投影面上的投影即可。直線的投影特性：除直線垂直于投影面，在該投影面上的投影積聚成點(diǎn)外，直線的投影仍為直線，只要作出兩個(gè)端點(diǎn)的投影，連線即為直線投影。平行于投影面的直線在該投影面上的投影，與直線自身平行且等長(zhǎng)；傾斜于投影面的直線在該投影面上的投影短于直線的真長(zhǎng)?！?－2、直線上的點(diǎn)一、直線上點(diǎn)的投影特性從下圖可以看出，直線AB上的任一點(diǎn)K有以下投影特性：（1）.直線上的點(diǎn)的投影必在該直線的同面投影上（從屬性）；（2）.直線的點(diǎn)分割線段的長(zhǎng)度比，與該點(diǎn)的投影分該線段的投影的長(zhǎng)度比相等（定比性）。如下圖所示，K分AB為AK:KB，則ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"。反之，若一點(diǎn)的各個(gè)投影在一直線的同面投影上，分線段各投影長(zhǎng)度成相同之比，則該點(diǎn)定在此直線上。這是我們判斷點(diǎn)是否在直線上的依據(jù)。一般情況，根據(jù)點(diǎn)的兩個(gè)投影是否在直線的同面投影上就可擬定該點(diǎn)是否屬于直線。但當(dāng)直線是某一投影面平行線時(shí)，還需分析點(diǎn)在直線所平行的投影面上的投影是否滿足從屬性，或運(yùn)用定比性判斷。例1：已知直線AB的投影圖，試將AB直線提成2:3兩段，求分點(diǎn)C的投影。分析：因點(diǎn)C將AB直線提成2:3，則C點(diǎn)必在AB直線上，c在ab上，c'在a'b'上，且ac:cb=a'c':c'b'=2:3。作圖時(shí)，可過(guò)a點(diǎn)任作一直線aD0，并在此直線上以任意長(zhǎng)度取5等分，得端點(diǎn)B0。在aB0上取第二等分點(diǎn)C0，運(yùn)用平行定比性求得c、c'。例2：已知側(cè)平線AB及點(diǎn)C的兩面投影，判斷C是否在直線AB上。解：方法一：作圖。方法二：定比性判斷解題時(shí)穿插提問(wèn)：判斷點(diǎn)是否屬于直線可用幾種方法？二、直線的跡點(diǎn)跡點(diǎn)：直線與投影面的交點(diǎn)。它是直線與投影面的共有點(diǎn)，具有直線上的點(diǎn)和投影面上點(diǎn)的投影特性。在三面投影體系中，特殊位置直線跡點(diǎn)為：投影面平行線只有兩個(gè)跡點(diǎn)。投影面垂直線只有一個(gè)跡點(diǎn)。我們一般是在兩面投影體系中來(lái)討論一般位置直線的跡點(diǎn)。水平跡點(diǎn)：H面上跡點(diǎn)，記為M。跡點(diǎn)分為正面跡點(diǎn)：V面上跡點(diǎn)，記為N。側(cè)面跡點(diǎn)：W面上跡點(diǎn)，記為S。1、求水平跡點(diǎn)M，M屬于H面，故m′必在OX軸上；又點(diǎn)M屬直線AB，故m′必在a′b′上，m在ab上。2、求正面跡點(diǎn)NN屬V面，故n必在OX軸上，又N屬直線AB，故n在ab上，n′在a′b′上?？偨Y(jié)，跡點(diǎn)的投影特性：①跡點(diǎn)在投影面上的投影是跡點(diǎn)自身。即M≡m，N≡n′，S=s″；②跡點(diǎn)的另一投影必是直線相應(yīng)投影與投影軸的交點(diǎn)因跡點(diǎn)屬于投影面，故各跡點(diǎn)就將直線分為居于不同分角的幾部分。§2－3直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角一、直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角那么如何求得一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的傾角呢？我們將借助直角三角形的方法。求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角，不如特殊位置的直線（投影面平行線和垂直線）直觀、易解，只有運(yùn)用直角三角形法。運(yùn)用直線的某一投影（如水平投影ab）和直線兩端點(diǎn)與這個(gè)投影面坐標(biāo)差（如Δz）求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及與投影面夾角的方法稱為直角三角形法?，F(xiàn)以下例說(shuō)明具體的求解環(huán)節(jié)。

例4：如圖(a)所示，已知直線AB的兩面投影ab和a'b'，求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及與水平面夾角a的實(shí)大。

分析：以水平投影ab和Δz為兩條直角邊構(gòu)成直角三角形，其斜邊是直線AB的實(shí)長(zhǎng)，Δz的對(duì)角反映直線與水平面夾角a的實(shí)大，如圖(b)。結(jié)論：當(dāng)用直角三角形法求線段的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)某投影面的傾角時(shí)，應(yīng)以線段在該投影面上的投影長(zhǎng)度為一直角邊，以線段兩端點(diǎn)到該投影面的距離差為另一直角邊，構(gòu)建直角三角形。直角三角形的斜邊為線段的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)度的夾角即為空間直線對(duì)該投影面的傾角。構(gòu)造直角三角形的四個(gè)條件為：斜邊、兩直角邊和銳角，即線段的投影長(zhǎng)，兩點(diǎn)坐標(biāo)差、真長(zhǎng)及傾角。用直角三角形法求線段的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)某投影面的傾角時(shí)，應(yīng)注意：①求直線的真長(zhǎng)，只要以它的任一投影的長(zhǎng)度為一直角邊，作出相應(yīng)的直角三角形即可；若需求直線對(duì)某一投影面的傾角，則必須以直線在這個(gè)投影面上的投影長(zhǎng)度為一直角邊作行營(yíng)的直角三角形。②在H、V兩面體系中，只有當(dāng)直線上所有點(diǎn)的x坐標(biāo)都相等時(shí)，亦即為側(cè)平線、鉛垂線、正垂線時(shí)，α+β＝90°；其余各種情況，α+β≠90°。同樣，在V、W兩面體系中，只有當(dāng)直線上所有點(diǎn)的z坐標(biāo)都相等時(shí)，亦即為水平線、側(cè)垂線、正垂線時(shí)，γ+β＝90°；其余各種情況，γ+β≠90°。例5：已知直線AB長(zhǎng)30cm，試補(bǔ)全其水平投影ab。注意：一定要理解該法的原理，從而才干通過(guò)做題掌握其方法。二、已知直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角求解有關(guān)的定位和度量問(wèn)題用直角三角形法不僅可以求作直線的真長(zhǎng)和傾角，也可以反過(guò)來(lái)由已知直線的真長(zhǎng)和傾角求解有關(guān)的度量和定位問(wèn)題。舉例講解。（略）§2－4各種位置直線的投影特性在三投影面體系中，根據(jù)直線對(duì)投影面的相對(duì)位置，可分為：投影面平行線和投影面垂直線（特殊位置直線）、一般位置直線。2.1、一般位置直線定義：對(duì)H、V、W面都處在傾斜位置的直線。一般位置直線的α、β、γ都大于0°且小于90°；其三個(gè)投影為斜線，小于空間線段的實(shí)長(zhǎng)，也不反映直線對(duì)投影面的傾角。投影特性：三個(gè)投影都仍為直線，且都小于線段的實(shí)長(zhǎng)；三個(gè)投影都傾斜于投影軸，且不能反映直線對(duì)投影面的傾角。2.2、投影面平行線定義：平行于某一投影面、傾斜于另兩個(gè)投影面的直線。它有三種情況：水平線：平行H面，傾斜V、W面；正平線：平行V面，傾斜H、W面；側(cè)平線：平行W面，傾斜V、H面。同時(shí)，直線對(duì)H、V、W面的傾角分別為α、β、γ表達(dá)。左圖中：正平線為SA、SC，s’a’、s’c’為實(shí)長(zhǎng)，與OX、OZ的夾角分別反映與H、W面的傾角，水平投影和側(cè)面投影分別平行于OX、OZ軸，不反映實(shí)長(zhǎng)。水平線：AB、BC。側(cè)平線：SB。通過(guò)講解，總結(jié)平行線的投影特性：（1）、在所平行的投影面上的投影反映線段的真長(zhǎng)及此外兩個(gè)投影面的傾角。（2）、直線段的另兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，長(zhǎng)度縮短。2.3、投影面垂直線定義：垂直于某一個(gè)投影面，而平行于另兩個(gè)投影面的直線。它有三種情況：鉛垂線：⊥H，∥V和W；正垂線：⊥V，∥H和W；側(cè)垂線：⊥W，∥V和H。右圖中：鉛垂線：AB正垂線：AC積聚為點(diǎn)，并垂直于側(cè)垂線：AD相應(yīng)的座標(biāo)軸，且反映實(shí)長(zhǎng)?？偨Y(jié)出其特性：（1）、在所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)。（2）、在另兩個(gè)投影面上的投影反映真長(zhǎng)，且分別垂直于相應(yīng)的投影軸（平行于投影軸）?！?－5兩直線的相對(duì)位置我們?cè)凇包c(diǎn)的投影”中討論過(guò)空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，即前后、左右、上下關(guān)系。空間兩直線的相對(duì)位置，運(yùn)用中學(xué)時(shí)學(xué)到的幾何知識(shí)，知道有平行、相交和交叉三種情況。平行、相交兩直線都位于同一平面上，是共面直線；交叉兩直線彼此既不平行，又不相交，它們不在同一平面上，為異面直線。一、兩直線平行根據(jù)緒論中講到的平行投影的基本性質(zhì)，即正投影的平行性，可知：若空間兩直線互相平行，則其同面投影互相平行，且兩平行線段長(zhǎng)度之比等于其同面投影長(zhǎng)度之比。P26圖2.32中：AB∥CD，則ab∥cd，a′b′∥c′d′。也知a″b″∥c″d″,且AB:CD=ab:cd=a″b″:c″d″。反之，若兩直線的同面投影分別平行且成定比，則該兩直線在空間必平行。證明：ab∥cd平面abBA∥平面cdDC;又a′b′∥c′d′平面a′b′BA∥平面c′d′DC。平面abBA與平面a′b′BA相交于ABAB∥CD平面cdDC與平面c′d′DC相交于CD 一般情況下，根據(jù)直線的任意兩個(gè)同面投影是否平行，即可擬定該兩直線是否平行。但當(dāng)兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，即對(duì)于平行于同一投影面的兩直線，最佳要有一組是被平行的投影面上的投影，這樣便于檢查兩直線是否平行。對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。在投影圖上判別兩直線是否平行時(shí)，若兩直線處在一般位置，則只需判斷兩直線的任何兩個(gè)同面投影是否平行即可擬定，如下圖中由于直線AB、CD均為一般位置直線，且a'b'∥c'd'、ab∥cd，則AB∥CD。否則，則通常還需根據(jù)兩直線在所平行的投影面上的投影是否平行來(lái)擬定（或根據(jù)定比性判斷）。例6

試判斷AB與CD直線是否平行。

分析：若兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，則還必須判斷兩直線在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否互相平行來(lái)擬定。如下圖所示，直線AB、CD為兩條側(cè)平線，雖然a'b'∥c'd'、ab∥cd，但還要通過(guò)判斷側(cè)面投影，知a"b"∥c"d"，從而鑒定AB∥CD。例7

試判斷AB與CD直線是否平行。

分析：若兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，則還必須判斷兩直線在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否互相平行來(lái)擬定。如下圖所示，直線AB、CD為兩條側(cè)平線，雖然a'b'∥c'd'、ab∥cd，但還要通過(guò)判斷側(cè)面投影，知a"b"與c"d"相交，從而鑒定AB與CD不平行。二、兩直線相交相交兩直線的同面投影都分別相交；并且，同面投影的交點(diǎn)是同一點(diǎn)的投影。反之，亦然。一般情況下，兩直線在空間是否相交，根據(jù)兩面投影就可以直接判斷，如下圖所示。但假如兩直線中有一條直線平行于某一投影面，則要加以判斷。例8

已知兩直線AB、CD相交，試補(bǔ)全投影。

分析：從圖(a)可知，a'b'與c'd'相交于k'，運(yùn)用相交兩直線的投影規(guī)律就可求得cd。即過(guò)k'作c'c的平行線交ab于k，連ck并延長(zhǎng)求得d。三、兩直線交叉在空間既不平行，也不相交的兩直線稱為交叉兩直線。交叉兩直線的投影不具有平行或相交兩直線的投影特性。交叉兩直線的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分別相交，但同面投影的交點(diǎn)不是同一點(diǎn)的投影，不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。此時(shí)，兩直線投影的交點(diǎn)事實(shí)上是兩直線對(duì)投影面的重影點(diǎn)，按照重影點(diǎn)檢定它們的可見(jiàn)性。交叉兩直線有一個(gè)投影或兩個(gè)投影平行：交叉兩直線也許有一個(gè)或兩個(gè)投影平行，如圖所示，但不會(huì)有三個(gè)同面投影平行。兩直線在三個(gè)投影面上的同面投影有四種模式：各組同面投影都分別互相平行。（平行）有的同面投影相交，有的同面投影平行。（交叉）各組同面投影都分別相交，且同面投影的交點(diǎn)是同一點(diǎn)的投影。（相交）各組同面投影都分別相交，但同面投影的交點(diǎn)不是同一點(diǎn)的投影。（交叉）交叉兩直線中重影點(diǎn)的分析：如圖中水平投影ab和cd的交點(diǎn)1(2)，其實(shí)是AB直線上的I點(diǎn)與CD直線上的II點(diǎn)對(duì)水平投影的重影點(diǎn)。同理，3'(4')是CD直線上的III點(diǎn)與AB直線上IV點(diǎn)對(duì)正面投影的重影點(diǎn)。根據(jù)重影點(diǎn)可見(jiàn)性的判別方法可知，水平投影中，位于AB線上的I點(diǎn)可見(jiàn)，而位于CD線上的II點(diǎn)不可見(jiàn)，即投影為1(2)。正面投影中，位于CD線上的III點(diǎn)可見(jiàn)，而位于AB線上的IV點(diǎn)不可見(jiàn)，即投影為3'(4')?！?－6一邊平行于投影面的直角的投影投影特性共有三點(diǎn)：1、當(dāng)直角的兩邊都與投影面不平行時(shí)，在該投影面上的投影不是直角。2、當(dāng)直線的兩邊都與投影面平行時(shí)，在該投影面上的投影仍是直角。3、當(dāng)直角的一邊平行于投影面，另一邊傾斜與投影面時(shí)，在該投影面上的投影仍是直角（直角投影法則或定理）；而另一邊垂直于投影時(shí)，在該投影面上的投影稱為一條直線。直角投影法則或定理的三個(gè)條件：①空間兩直線垂直，②一邊平行于投影面，③投影仍互相垂直。由任意兩個(gè)條件，即可推出第三條成立。因此，得出逆定理：若兩直線在某投影面的投影互相垂直，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線必然互相垂直。此外：若兩直線互相垂直，它們?cè)谀惩队懊嫔系耐队耙不ハ啻怪?，則此兩直線中至少有一條直線平行于該投影面。講教材例2－6、例2－7?！?－7直線的投影變換直線由兩點(diǎn)擬定，求直線的投影變換，只需求出直線上兩個(gè)點(diǎn)的投影變換，連接起來(lái)就得到該直線的投影變換后的投影。前面已經(jīng)講過(guò)，設(shè)立新投影軸必須遵循的原則是：新投影面一定要垂直于原有兩面體系中的一個(gè)投影面。故在投影圖上，新投影面的設(shè)立，就表現(xiàn)為新投影軸的設(shè)立。下面看該問(wèn)題的幾種情況。1．把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€其方法就是使建立的新投影軸平行于空間直線，運(yùn)用正平線或水平線的投影特性，從而得到線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角。如圖所示，直線AB在H／V體系中是一般位置直線。如何變換投影面使AB變成平行線呢?變換V面為V1面，并使V1∥AB。那么，直線AB在H／V1體系中就成為平行線（正平線）。AB的新投影a1￠b1￠必反映實(shí)長(zhǎng)；a1￠b1￠與O1X1軸的夾角必等于AB自身對(duì)H面的傾角a。作圖環(huán)節(jié)：（1）引新軸O1X1∥ab；（2）作出兩端點(diǎn)A和B的新投影，得到a1￠b1￠。AB在V1面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)和a角。（a）(b)(c)圖把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€假如變換H為H1，并使H1∥AB，那么AB在H1／V體系中也成為平行線（水平線）。作圖環(huán)節(jié)如圖所示（略），AB在H1面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)和b角。因此,若求a，則應(yīng)變換V面，若求b，則應(yīng)變換H面。注：O1X1只需與ab平行，它們間的距離對(duì)于求AB的實(shí)長(zhǎng)是沒(méi)有影響的。把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€的作圖方法小結(jié)：（1）將一般位置直線變換成新投影面的平行線只需進(jìn)行一次變換。（2）新投影軸應(yīng)平行于直線的某一投影（X1//ab或X1//ab）。2.將投影面平行線變換為投影面的垂直線只需要建立一個(gè)新的投影面與該平行線垂直。若為正平線，新投影面應(yīng)垂直于V面，變?yōu)殂U垂線；若為水平線，新投影面應(yīng)垂直于H面，變?yōu)檎咕€。3．把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€假如讓某一新投影面與一般位置直線垂直，那么，該投影面與原有的兩個(gè)投影面都不垂直，不符合建立新投影面的基本條件。故將一般位置直線變換成新投影面的垂直線經(jīng)一次換面是不能實(shí)現(xiàn)的！投影面平行線能否經(jīng)一次變換成為新投影面的垂直線呢？顯然是可以做到的。圖中新投影面H1⊥AB，此時(shí)必然H1⊥V。在新投影面體系H1-V中，AB成為H1的垂直線。

根據(jù)投影面垂直線的投影特性，新投影軸X1⊥ab，AB在H1內(nèi)的投影a1b1積聚成一點(diǎn)，見(jiàn)圖。圖把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€因此，將一般位置直線變換成投影面垂直線的作圖環(huán)節(jié)為：將一般位置直線變換成投影面平行線；將投影面平行線變換成投影面垂直線。作圖環(huán)節(jié)：（1）將AB變換成V1面的平行線；作新投影軸X1//ab；求出AB在V1內(nèi)的投影a1￠b1￠。（2）將AB變換成H2面的垂直線。作新投影軸X2⊥a1￠b1￠；求出AB在H2面內(nèi)的投影a2b2，a2b2積聚成一點(diǎn)。（a）(b)圖把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€§3－1平面的表達(dá)法平面的投影表達(dá)有兩種方法：一種是用平面上的點(diǎn)、線和圖形的投影來(lái)表達(dá)，稱為平面的幾何元素表達(dá)法；另一種是用平面與投影面的交線來(lái)表達(dá)，稱為平面的跡線表達(dá)法。一、平面的幾何元素表達(dá)法平面的空間位置可由下圖所示的任何一組元素來(lái)擬定。1）不在一直線上的三點(diǎn)，如圖(a)所示的點(diǎn)A、B、C；2）一直線與直線外一點(diǎn)，如圖(b)所示的點(diǎn)C和直線AB；3）相交兩直線，如圖(c)所示的直線AB和AC；4）平行兩直線，如圖(d)所示的直線AB和直線CD；5)任意平面圖形，如三角形、四邊形等，如圖(e)所示的ΔABC。上述五種表達(dá)平面的形式可以互相轉(zhuǎn)換，即從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式。二、平面的跡線表達(dá)法空間平面與投影面的交線（共有的線）即為跡線。用跡線表達(dá)的面即為跡線平面。平面與H、V、W投影面的交線分別稱為平面的水平跡線、正面跡線和側(cè)面跡線，其符號(hào)為PH、PV、PW。PX為PH、PV兩跡線交于OX軸的同一點(diǎn)，稱為跡線共點(diǎn)。跡線是平面和投影面的交線，在投影面上的投影位于跡線原處，在其它面上的投影則位于相應(yīng)的投影軸上（在投影圖中不需表達(dá)）。一般位置平面的跡線和特殊位置平面的跡線圖如下：PVPVPHQVQVQH綜上所述，兩種平面的表達(dá)法，本質(zhì)是一致的，可以互相轉(zhuǎn)化。例1：試將下圖所表達(dá)的兩相交直線AB、CD表達(dá)的平面P，改用跡線表達(dá)。解：平面的跡線無(wú)非是該面上直線的跡點(diǎn)的集合。故只需求出面上兩直線的同面跡點(diǎn)即可?！?－2各種位置平面的投影在三面投影體系中，根據(jù)平面對(duì)投影面的相對(duì)位置，可將平面分為：一般位置平面：傾斜于三個(gè)投影面的平面。投影面平行面：平行于某一個(gè)投影面的平面。投影面垂直面：垂直于某一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于此外兩個(gè)投影面的平面?？臻g平面與投影面之間的夾角（兩個(gè)平面間的兩面角）稱為平面與投影面的傾角。平面與H、V、W投影面的夾角，稱為該平面對(duì)投影面H、V、W的傾角。約定：平面對(duì)H面的傾角用a表達(dá)，平面對(duì)V面的傾角用b表達(dá)，平面對(duì)W面的傾角用g表達(dá)。在講述平面圖形的類似性、積聚性、真實(shí)性后，歸納出平面圖形的投影特性：當(dāng)平面圖形傾斜于投影面時(shí)，投影為面積縮小的類似性；垂直于投影面時(shí)，投影積聚為直線；平行于投影面時(shí)，投影反映真形。一、一般位置平面凡與三個(gè)投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面，如圖所示。它的三個(gè)投影既沒(méi)有積聚性，也不反映實(shí)形，而是小于實(shí)形的類似形。1、一般位置平面圖形的投影特性：它的三個(gè)投影都是面積縮小的類似形。2、一般位置的跡線平面投影特性：在三個(gè)投影面上都有跡線，每條跡線都傾斜于投影軸，并且每?jī)蓷l跡線分別相交于投影軸上的同一點(diǎn)。二、投影面垂直面1.鉛垂面垂直于水平面的平面稱為鉛垂面。鉛垂面的投影特性：1)、鉛垂面的水平投影積聚成一直線段，且與該投影面上的OX軸的夾角等于該平面對(duì)V面的傾角b，與OYH軸的夾角等于該平面對(duì)W面的傾角g；2)鉛垂面的此外兩個(gè)投影為小于實(shí)形的類似形。

2.正垂面垂直于正面的平面稱為正垂面。正垂面的投影特性：1)正垂面的正面投影積聚成一直線段，且與該投影面上的OX軸的夾角等于該平面對(duì)H面的傾角a，與OZ軸的夾角等于該平面對(duì)W面的傾角g；2)正垂面的此外兩個(gè)投影為小于實(shí)形的類似形。

3.側(cè)垂面

垂直于側(cè)面的平面稱為側(cè)垂面。側(cè)垂面的投影特性：1)側(cè)垂面的側(cè)面投影積聚成一直線段，且與該投影面上的OZ軸的夾角等于該平面對(duì)V面的傾角b，與OYW軸的夾角等于該平面對(duì)H面的傾角a；2)側(cè)垂面的此外兩個(gè)投影為小于實(shí)形的類似形。由此可歸納出投影面的垂直面平面圖形的投影特性：①在垂直的投影面上的投影積聚成直線，并反映與另兩投影面的傾角。②在另兩投影面的投影，為面積縮小的類似形。投影面的垂直面跡線平面的投影特性：①在垂直的投影面上的跡線有積聚性，并反映與另兩投影面的傾角。②在另兩投影面的跡線，分別垂直于相應(yīng)的投影軸。三、投影面平行面1、水平面平行于水平投影面的平面稱為水平面。水平面的投影特性：水平面的水平投影反映平面圖形的實(shí)形；2)水平面的此外兩個(gè)投影積聚為直線段，且分別平行于OX軸和OYW軸。2.正平面平行于正面的平面稱為正平面。正平面的投影特性：正平面的正面投影反映平面圖形的實(shí)形；正平面的此外兩個(gè)投影積聚為直線段，且分別平行于OX軸和OZ軸。3.側(cè)平面平行于側(cè)面的平面稱為側(cè)平面。側(cè)平面的投影特性：側(cè)平面的側(cè)面投影反映平面圖形的實(shí)形；側(cè)平面的此外兩個(gè)投影積聚為直線段，且分別平行于OYH軸和OZ軸。由此可歸納出投影面的平行面平面圖形的投影特性：①在平行的投影面上的投影反映平面圖形的真形；②在此外兩個(gè)投影面上的投影，分別積聚為直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。投影面的平行面跡線平面的投影特性：①在平行的投影面上無(wú)跡線。②在另兩投影面的跡線有積聚性，且平行于相應(yīng)的投影軸。§3－3平面上的點(diǎn)和直線一、平面上的點(diǎn)和直線1、平面上的點(diǎn)由立體幾何知道，點(diǎn)在平面內(nèi)的條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的一條直線上。在平面內(nèi)取點(diǎn)，可以直接在平面內(nèi)的已知直線上選取，或先在平面內(nèi)取一直線(輔助線)，然后在該直線上選取符合規(guī)定的點(diǎn)（定點(diǎn)先定線）。

例2兩相交直線AB、BC組成平面，K點(diǎn)屬于該平面，已知k，求k'。分析：由于K屬于AB、BC組成的平面，所以k屬于平面的水平投影，k'屬于平面的正面投影。

例3已知ΔABC的兩個(gè)投影，如圖(a),試在ΔABC平面內(nèi)取一點(diǎn)K，使K點(diǎn)的坐標(biāo)為：X=25mm,Z=10分析：給出點(diǎn)K的Z坐標(biāo)，表達(dá)它位于該平面上的一條距H面為10mm的水平線上。平面內(nèi)的水平線是該平面內(nèi)與H面等距離的點(diǎn)的軌跡：點(diǎn)的X坐標(biāo)，表達(dá)它與W面的距離，平面內(nèi)的側(cè)平線是該平面與W面等距離的點(diǎn)的軌跡。則此兩軌跡的交點(diǎn)，即平面內(nèi)的水平線與平面內(nèi)的側(cè)平線的交點(diǎn)，必同時(shí)滿足與H和W面為定距離的規(guī)定。2、平面上的直線

由立體幾何中知道，直線在平面內(nèi)的條件是下列兩條件之一：1.通過(guò)平面內(nèi)的兩點(diǎn)；2.通過(guò)平面內(nèi)的一點(diǎn)并平行于平面內(nèi)的另一直線。在平面內(nèi)取直線，必須先在平面內(nèi)的已知直線上取點(diǎn)（作線先找點(diǎn)）。例4如圖(a)(b)所示，平面P由相交兩直線AB和BC所決定。在AB和BC線上各取一點(diǎn)D和E，則D、E兩點(diǎn)必在平面P內(nèi)，因此，D、E連線也必在平面P內(nèi)。例5已知直線段AB在ΔDEF內(nèi)，正面投影如圖所示，求水平投影。分析：已知AB在ΔDEF內(nèi)，所以a'b'屬于Δd'e'f'，ab屬于Δdef。二、平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線，應(yīng)符合直線在平面上的幾何條件，又符合投影面平行線的投影特性。例6一般位置平面內(nèi)的投影面平行線（見(jiàn)表3-2）三、平面的最大斜度線平面上與某一投影面成最大傾角的直線，稱為平面上對(duì)該投影面的最大斜度線。在平面上對(duì)某一投影面的最大斜度線有無(wú)數(shù)條，它們是平面上的一組互相平行的直線。平面上對(duì)某一投影面的最大斜度線，是與平面上的該投影面的平行線和跡線相垂直的直線；它與該投影面的傾角，也就是平面對(duì)該投影面的傾角?！?－4平面的輔助投影1．把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵娓鶕?jù)兩平面垂直的幾何條件可知，要把一個(gè)一般位置平面變?yōu)樾峦队懊娴拇怪泵?，只需使屬于該平面的任一條直線垂直于新投影面。依前面所講，把投影面平行線變?yōu)榇怪本€只需依次換面。因此，我們可將已知平面內(nèi)的一條投影面平行線（水平線或正平線）作為輔助線，變換為新投影面的垂直線則可。如圖所示，平面ABC在H／V體系中是一般位置平面,如何變換投影面使ABC變成垂直面呢?垂直垂直（a）(b)圖把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵鏋榱税岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊娲怪泵?，只需使該平面?nèi)的任意一條直線垂直于新投影面，并且新投影面還要滿足與舊投影面垂直的關(guān)系，因此，若變換H面，則要在平面內(nèi)取一條正平線，作與該正平線垂直的新投影面，該新投影面與V面滿足垂直關(guān)系，則平面ABC成為新投影體系V/H1中的垂直面（鉛垂面），且反映該平面與V面的真實(shí)夾角β。作圖環(huán)節(jié)：（1）在DABC內(nèi)，任意作一條正平線AⅠ，（2）選新軸O1X1⊥a￠1￠（3）作出三角形端點(diǎn)A、B和C的新投影，得到a1b1c1ABC在H1面上的投影具有積聚性且反映三角形與V面的真實(shí)夾角β。思考：若變平面為正垂面，且求角a，作圖過(guò)程如何?把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪泵娴淖鲌D方法小結(jié)：（1）將一般位置平面變換成新投影面的垂直面只需進(jìn)行一次變換。（2）新投影軸應(yīng)垂直于平面內(nèi)的平行線的某一投影。（3）若求a，則應(yīng)變換V面，若求b，則應(yīng)變換H面。2.將投影面垂直面變換為投影面的平行面新投影面要平行于已知垂直面。若已知為鉛垂面，則新面V1⊥H面；若已知為正垂面，則新面V1⊥V面。3．把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻婕偃缫岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?，只更換一次投影面也是不行的。由于若取新投影面平行于一般位置平面，則這個(gè)新投影面也一定是一般位置平面，它和原體系的哪一個(gè)投影面都不能構(gòu)成兩面直角體系。要解決這個(gè)問(wèn)題，必須更換兩次投影面。第一次把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵妫诙卧侔淹队懊娲怪泵孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?。作圖環(huán)節(jié)：將一般位置平面變換成垂直面將垂直面變換成平行面取OX2∥b1a1c1作出三頂點(diǎn)在V2面上的新投影a2￠b2￠c2￠，則DABC變換成正平面，Da2￠b2圖把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫠伎迹喝糇円话阄恢闷矫鏋樗矫?，作圖過(guò)程如何?把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫忻娴淖鲌D方法小結(jié)：（1）將一般位置平面變換成新投影面的平行面需進(jìn)行二次變換。（2）求平面的實(shí)形，既可先變換V面，將平面變換成水平面，又可先變換H面，將平面變換成正平面。4、綜合舉例【例題1】過(guò)G點(diǎn)作直線與直線AB垂直相交（如圖所示）。圖過(guò)G點(diǎn)作直線與直線AB垂直相交分析：根據(jù)直角投影定理可知，若互相垂直的兩條直線，其中有一條直線平行于某一投影面時(shí)，則此兩條直線在該投影面上的投影仍互相垂直。由此可知，由G點(diǎn)向直線AB作垂直相交的直線，必須先把AB直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€才便于作圖。作圖環(huán)節(jié)：(1)作O1X1∥ab,求出a1￠b1￠、g1￠。(2)過(guò)g1￠作g1￠k1￠⊥a1￠b1￠。(3)根據(jù)變換規(guī)律返回舊體系得gk、g￠k￠，即為所求直線GK?！纠}2】求DABC與DACD兩平面的夾角。圖求DABC與DACD兩平面的夾角分析：如圖（a）所示，當(dāng)兩相交平面P和Q同時(shí)垂直于S面時(shí)，P、Q在S面上的投影即積聚為兩直線段ba(c)和da(c)。而它們的夾角Dbad即等于P、Q兩平面的夾角j?？梢?jiàn)在投影圖上直接反映垂直兩平面的夾角真實(shí)大小的條件是：兩平面同時(shí)垂直某一投影面。為此，可將兩平面的交線變換成投影面垂直線。對(duì)于一般位置直線來(lái)說(shuō)，需兩次換面。作圖環(huán)節(jié)：（如圖（b）所示）（1）作O1X1∥兩平面的交線ac，求出Da1￠b1￠c1￠和Da1￠c1￠d1（2）作O2X2⊥a1￠c1￠，求出Da2b2c2和Da2c2(3)由于AC⊥H2，兩個(gè)三角形在H2面上都變換為投影面垂直面，故a2b2c2和a2c2d2積聚成為相交兩直線，此時(shí)Db2c2d2§4－1直線與平面以及兩平面平行一、直線與平面平行從立體幾何中知道，若已知一直線和某平面上的任一直線平行，則此直線平行于該平面。如圖所示，直線DE平行于ΔABC平面內(nèi)的直線FG，則直線DE平行于ΔABC平面。直線與平面平行的幾何條件：直線平行于平面上的一條直線。例5-1已知平面ΔABC及其平面外一點(diǎn)M的投影，如圖所示，試過(guò)點(diǎn)M作一正平線MN(長(zhǎng)度任取)平行于ΔABC平面。分析：先在ΔABC內(nèi)作一條正平線，再通過(guò)點(diǎn)M作一直線平行于這條直線，則過(guò)點(diǎn)M所作的直線便是平行于ΔABC平面的正平線。又由于ΔABC內(nèi)所有的正平線都是互相平行的，所以過(guò)點(diǎn)M只能作一條正平線平行于ΔABC。例5-2：下圖，求平面平行于直線CD，（平面過(guò)點(diǎn)A）解：1）過(guò)點(diǎn)A，作AM//CD2）過(guò)點(diǎn)A，作AL//CD討論：本題有無(wú)數(shù)解。二、兩平面平行兩平面平行的幾何條件是：一平面上的兩相交直線，分別平行于另一平面上的兩相交直線。從立體幾何中知道：假如一個(gè)平面內(nèi)相交的兩直線，相應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)相交的兩直線，則這兩個(gè)平面相應(yīng)平行。如圖所示，P平面內(nèi)兩相交直線AB、BC，相應(yīng)地平行于Q平面內(nèi)兩相交直線A1B1、B1C1，則P平面平行于Q平面。例5－3過(guò)點(diǎn)K作平面平行于已知平面ΔABC。分析：過(guò)點(diǎn)K作平面平行于ΔABC平面時(shí)，只要過(guò)已知點(diǎn)作兩相交直線分別平行于ΔABC的任意兩條邊即可?！?－2直線與平面以及兩平面相交一、相交元素中有積聚投影的情況（一）、特殊位置直線與特殊位置平面相交1、一般位置直線與特殊位置平面相交直線與平面不平行，則必相交。直線與平面相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，它既在直線上，又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。（1）求交點(diǎn)由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出，如圖(a)所示，直線AB與鉛垂面CDEF相交，交點(diǎn)K即是直線AB與平面CDEF的共有點(diǎn)。如圖(b)所示，因鉛垂面CDEF的水平投影積聚成直線d(c)e(f),所以，交點(diǎn)K的水平投影為ab與d(c)e(f)的交點(diǎn)k，由k可求出其正面投影k',即求出了直線AB與鉛垂面CDEF的交點(diǎn)K(k,k')。（2）判別可見(jiàn)性正面投影中a'b'有一段和鉛垂面CDEF相重合，這段直線存在可見(jiàn)性問(wèn)題?？梢?jiàn)部分與不可見(jiàn)部分的分界點(diǎn)為交點(diǎn)K。從水平投影可知，ak位于d(c)e(f)的左前方，所以正面投影中a'k'與c'd'e'f'重疊部分k'g'一段為不可見(jiàn)，應(yīng)畫成虛線。2.投影面垂直線與一般位置平面相交（1）求交點(diǎn)如圖(a)所示，直線AB為鉛垂線，其水平投影有積聚性。由于直線AB與平面ΔCDE的交點(diǎn)在直線AB上，故交點(diǎn)K的水平投影k必在直線AB的水平投影a(b)上。因此，交點(diǎn)的水平投影是已知的。交點(diǎn)K又在平面ΔCDE內(nèi)，故由K的水平投影k運(yùn)用面內(nèi)取點(diǎn)的方法，即可求得交點(diǎn)K的正面投影k'，如圖(b)所示?？梢?jiàn)，求某一投影面垂直線與一般位置平面相交的交點(diǎn)，可歸結(jié)為在面上取點(diǎn)。（2）判別可見(jiàn)性從水平投影可知dc在a(b)(k)的前方，所以d'c'遮住a'k',a'k'與Δc'd'e'的重疊部分不可見(jiàn)（用虛線表達(dá)），b'k'可見(jiàn)。（二）、平面與特殊位置平面相交1、相交的形式（1）一般位置平面與鉛垂面相交其交線投影與鉛垂面的積聚投影重合。（2）、兩平面均為同一投影面的垂直面相交其交線定是該投影面的垂直線，兩平面積聚性投影的交點(diǎn)即是兩平面交線的積聚投影。如下圖，求平面P與平面Q的交線。分析：平面P和Q都是鉛垂面，其交線必為鉛垂線，并且積聚在它們水平投影的交點(diǎn)處。2、可見(jiàn)性判斷可見(jiàn)性判斷可運(yùn)用投影積聚性直接鑒定。3、交線的形式全交：交線的兩個(gè)端點(diǎn)在其中一個(gè)平面的兩條輪廓線上?；ソ唬航痪€的兩個(gè)端點(diǎn)在兩個(gè)平面的兩條輪廓線上。二、相交元素中無(wú)積聚投影的情況（一）、一般位置直線與一般位置平面相交采用輔助平面法，又叫線面交點(diǎn)法。其環(huán)節(jié)為：1、含線作面；2、面面交線；3、線線交點(diǎn)。然后運(yùn)用交叉直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷方法進(jìn)行可見(jiàn)性判斷。如教材中圖4－14所示。（二）、兩一般位置平面相交仍是先擬定交線上兩個(gè)點(diǎn)的位置，然后連接他們即得到交線。其求解方法有：線面交點(diǎn)法和輔助平面法（三面共點(diǎn)法）。1、線面交點(diǎn)法如教材中圖4－15所示。2、輔助平面法（三面共點(diǎn)法）如教材中圖4－16所示?！?－3直線與平面、兩平面垂直一、直線與平面垂直直線與平面垂直的幾何條件是：該直線垂直于平面上的任意兩條橡膠直線。根據(jù)初等幾何學(xué)可知，假如一直線垂直于一平面，則此直線一定垂直于該平面內(nèi)的一切直線。圖中的直線AK是垂直于平面P的，那么它一定也垂直于該平面內(nèi)過(guò)垂足的水平線CD。因此，可得依據(jù)直角投影定理可知ak⊥cd。由于同一平面內(nèi)的一切水平線(涉及水平跡線)都互相平行，例如CD//EF//PH，故得ak⊥ef、ak⊥PH。因此可得下列結(jié)論：假如一直線垂直于一平面，即該直線的水平投影一定垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影。同理，可得結(jié)論：假如一直線垂直于一平面，則該直線的正面投影一定垂直于該平面內(nèi)正平線的正面投影。根據(jù)上述結(jié)論，我們可以在投影圖上解決有關(guān)直線與平面垂直的作圖問(wèn)題。例4-4求點(diǎn)D到△ABC的距離(圖4-12a)。分析：距離問(wèn)題是垂直問(wèn)題。先過(guò)D作ABC的垂線，再求出垂足K?？蛇\(yùn)用直角三角形法求出DK的實(shí)長(zhǎng)。作圖：（1）在△ABC內(nèi)引一條正平線AF和一條水平線AL；（2）作DE⊥△ABC（圖4－12b）；（3）求出垂足K＝DE∩△ABC；（4）運(yùn)用直角三角形法求得DK的實(shí)長(zhǎng)D0k′。例4-5

通過(guò)已知點(diǎn)A作一直線，垂直于一般位置直線BC。分析：空間兩互相垂直的一般位置直線，其投影并不反映垂直關(guān)系。因此，不也許在投影圖上直接畫出。為解決這問(wèn)題，我們先把過(guò)A點(diǎn)且與直線BC垂直的所有直線都作出來(lái)。即過(guò)A作平面Q與BC垂直，再求出交點(diǎn)K?！逜K∈Q∴AK⊥BC，故AK為所求。作圖：（1）作AD⊥BC，AE⊥BC（圖4－13b）;（2）求交點(diǎn)K＝BC∩△ADE,Ak即為所求。二、兩平面垂直平面與平面垂直的幾何條件是：一平面上有一條直線垂直于另一平面。平面與平面垂直：兩平面垂直相交是兩平面相交的一種特殊情形。假如一直線垂直于一平面，則包含此直線的所有平面都垂直于該平面。例4-6

包含點(diǎn)M作平面與△ABC垂直。分析：過(guò)點(diǎn)M作MF⊥△ABC，包含MF的平面即為所求。作圖：（1）在△ABC內(nèi)引一條正平線CD（先作cd，再作c＇d＇）和一條水平線CE（先作c＇e＇，再作ce）；（2）作MF⊥△ABC(,m＇f＇⊥c＇d＇,mf⊥ce);（3）作MG，則GMF為所求?！?－4點(diǎn)、線、面的綜合作圖一、要點(diǎn)簡(jiǎn)述空間幾何問(wèn)題總的可分為兩部分。即：（l）點(diǎn)、線、面間的從屬、平行、相交、垂直等關(guān)系的定位問(wèn)題。（2）求距離、角度、線段實(shí)長(zhǎng)及平面形實(shí)形等度量問(wèn)題。按此思緒，我們可將已學(xué)過(guò)的前述內(nèi)容作一簡(jiǎn)要的歸納。1、定位問(wèn)題（1）從屬問(wèn)題1）點(diǎn)在線上的投影規(guī)律，中點(diǎn)的投影仍是直線投影的中點(diǎn)，分線段成為定比；2）點(diǎn)在面上和線在面上的幾何條件及其投影圖畫法，平面上的直線可以是一般位置也可以是特殊位置，最常用的有投影面平行線，如水平線、正平線，尚有平面內(nèi)對(duì)相應(yīng)投影面的最大斜度線，當(dāng)規(guī)定解平面與投影面所成的角時(shí)，就要運(yùn)用最大斜度線來(lái)解題。（2）平行問(wèn)題l）兩直線互相平行的投影規(guī)律；2）一直線和一平面平行的幾何條件及其投影作圖，特殊情況為直線平行于投影面，亦即投影面平行線的投影規(guī)律及其畫法；3）兩平面互相平行的幾何條件及其投影作圖，特殊情況下，其中一平面為平行面就成為投影面平行面。（3）相交問(wèn)題（1）兩相交直線的投影規(guī)律以及與兩交叉線的區(qū)別，當(dāng)兩相交線之一為投影面平行線時(shí)，則可合用直角投影定理；2）直線與平面的相交，當(dāng)線面之一有積聚性時(shí)，交點(diǎn)可由積聚性的投影直接求得，如兩者均無(wú)積聚性，則需用到求線面交點(diǎn)的三個(gè)作圖環(huán)節(jié)，這也是在畫圖中使用最多的基本作圖方法之一，當(dāng)平面為有限的平面形時(shí)，則在求出交點(diǎn)后還應(yīng)運(yùn)用重影點(diǎn)來(lái)判別可見(jiàn)性；3）兩平面相交求交線，當(dāng)兩相交平面之一有積聚性時(shí)，則可由積聚性的投影直接求得交線的投影。如兩平面均無(wú)積聚性，則可用線面交點(diǎn)法或三面共點(diǎn)法求交線。求交線也是畫法幾何中使用極多的一種作圖。特別是三面共點(diǎn)法不僅合用于兩相交平面，還合用于此后的截交與相貫等問(wèn)題，故必須牢固掌握。和上述線面交點(diǎn)同樣，當(dāng)平面以有限的平面形形式出現(xiàn)而交線又在它們相交的輪廓內(nèi)時(shí)，則求出交線后還應(yīng)判別兩平面形的可見(jiàn)性。（4）垂直問(wèn)題可以看作是相交的特殊情況即互為直角的相交。1）兩直線的互相垂直，可以是垂直相交即正交，也可以是交叉垂直，應(yīng)注意其幾何條件及投影作圖；2）一直線和一平面的垂直，在投影圖上反映為直線的各投影應(yīng)分別垂直于平面的同名跡線，或代表跡線方向的正平線或水平線，這也是解題時(shí)常用的一種基本作圖，由此可引伸出許多作圖問(wèn)題，諸如過(guò)點(diǎn)作面垂直已知線，作已知線的中垂面和求點(diǎn)面距離等；3）兩平面垂直的見(jiàn)何條件及其投影作圖。2、度量問(wèn)題（l）求線段的實(shí)長(zhǎng)可用直角三角形法，求平面形的實(shí)形，也可由其邊長(zhǎng)的實(shí)長(zhǎng)作出。（2）距離問(wèn)題1）兩點(diǎn)間的距離為其連線的實(shí)長(zhǎng)；2）點(diǎn)和直線間的距離為過(guò)點(diǎn)向該直線所作垂線的實(shí)長(zhǎng)；3）兩直線間的距離，涉及兩平行直線間垂線的實(shí)長(zhǎng)及兩交叉線間公垂線的實(shí)長(zhǎng)，亦即其最短距離；4）直線和它平行的平面間的距離，指的是在直線上任一點(diǎn)向該平面所引垂線的實(shí)長(zhǎng)；5）兩平行面間的距離，指的是它們間所夾的垂線的實(shí)長(zhǎng)。3、角度問(wèn)題（l）相交兩線所成的角，其實(shí)形可以通過(guò)直角三角形法，求出各相交線的實(shí)長(zhǎng)后求得，當(dāng)兩相交線之一為投影面平行線對(duì)，則合用直角投影定理；（2）交叉兩線間的夾角，可以通過(guò)作交叉線之一的平行線所得的平面角的實(shí)形來(lái)度量；（3）直線與投影面H、V、W所成的角，可通過(guò)直角三角形法分別求得；（4）直線與任一平面間的夾角，指的是直線和它在該平面上的正投影間的夾角，如在投影圖上不反映實(shí)形，則還規(guī)定夾角實(shí)形；（5）兩平面間的夾角，指的是用垂直于兩平面交線的平面來(lái)截交此兩平面，由此所得兩交線間的夾角即為所求的兩面角，在投影圖上如不反映實(shí)形，則還規(guī)定夾角實(shí)形；（6）平面和投影面H、V、W所成的角，則可通過(guò)平面內(nèi)對(duì)相應(yīng)投影面的最大斜度線來(lái)求得。大家應(yīng)牢固掌握上述概念并要純熟運(yùn)用，才干在解題時(shí)應(yīng)用自如，不致于無(wú)從著手。二、綜合題舉例例1：求作直線KL，使其平行于直線EF，且與交叉二直線AB、CD相交。例2：點(diǎn)K距三角形ABC平面為10mm，且k′已知，求k。第五章多面體對(duì)一般建筑物（如：房屋、水塔）及其構(gòu)配件（如：基礎(chǔ)、梁、柱等）進(jìn)行形體分析，則不難看出，它們都是由一些簡(jiǎn)樸的幾何形體按照不同的方式組合而成的。我們把這些組成建筑形體的各個(gè)簡(jiǎn)樸形體稱為基本幾何形體?；編缀涡误w按照其表面的組成通常分為兩大類：一類其表面皆為平面所組成（如棱柱、棱錐）稱為平面立體；另一類其表面是有曲面和平面組成（如：圓柱、圓錐）稱為曲面立體。為了學(xué)習(xí)建筑圖的繪制和閱讀，我們必須一方面熟悉各種基本幾何形體的投影特性，并掌握其作圖方法?！?-1棱柱和棱錐平面立體的各表面均為平面多邊形，它們都是由直線段（棱線）圍成，而每一棱線都是由其兩端點(diǎn)（頂點(diǎn)）所擬定，因此，繪制平面立體的投影，實(shí)質(zhì)上就是繪制平面立體各多邊形表面，也即繪制各棱線和各頂點(diǎn)的投影。在平面立體的投影圖中，可見(jiàn)棱線用實(shí)線表達(dá)，不可見(jiàn)棱線用虛線表達(dá)，以區(qū)分可見(jiàn)表面和不可見(jiàn)表面。一、棱柱下圖（a）為一位于三投影面體系中的直立三棱柱，它是由三個(gè)鉛垂的棱面（其中后棱面為正平面）和兩個(gè)水平的上、下底面組成。圖（b）是該三棱柱的三面投影圖。圖三棱柱的投影從三棱柱的投影圖中可看到：其水平投影是一個(gè)三角形，它是三棱柱上、下底面的投影，三角形的三條邊分別是左、右、后三個(gè)棱面的投影（有積聚性），三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是三條棱線的水平投影；正面投影中兩個(gè)并立的矩形是三棱柱左、右兩個(gè)棱面的投影；正面投影的外形輪廓?jiǎng)t是三棱柱后棱面的投影（反映實(shí)形）；正面投影中上、下兩條水平線是三棱柱上、下底面的投影（有積聚性）；側(cè)面投影只是一個(gè)矩形，左、右二棱面在此重影，上、下兩條水平線仍是上、下底面有積聚性的投影，矩形的兩條豎邊中靠里面的一條還是三棱柱后棱面的投影（有積聚性）。二、棱錐下圖所示為一位于三面投影體系中的正三棱錐SABC，錐底為水平面，后棱面為側(cè)垂面，其它兩個(gè)棱面則是一般位置平面。從三棱錐的三面投影圖中可看到：其水平投影是由三個(gè)全等的三角形組成，它們分別是三個(gè)棱面的水平投影，形狀為等邊三角形的外形輪廓?jiǎng)t是三棱錐底面的投影（反映實(shí)形）；下面投影由兩個(gè)三角形組成，它們是三棱錐左、右三棱面的投影，而外形輪廓的等腰三角形則是后棱面的投影，其底邊為錐底的投影（有積聚性）；側(cè)面投影是一個(gè)三角形（左、右二棱面重影），靠里側(cè)的斜邊是側(cè)垂位置的后棱面的投影，底邊仍為錐底的投影。三、棱臺(tái)棱臺(tái)的三面投影見(jiàn)教材圖5－4所示?！?－2多面體表面上的點(diǎn)一、棱柱表面上的點(diǎn)根據(jù)立體表面上某已知點(diǎn)（或線）的任一投影要作出該點(diǎn)（或線）的其它投影，實(shí)質(zhì)就是立體表面上取點(diǎn)作線的作圖問(wèn)題。由于平面立體的各表面皆是平面多邊形，因此，在具體作圖時(shí)，只要把立體上和各表面都當(dāng)作是一個(gè)獨(dú)立的平面，就完全可應(yīng)用§4-3中所敘述的原理進(jìn)行作圖。但由于平面立體的各表面存在著相對(duì)位置的差異，必然會(huì)出現(xiàn)表面投影的互相重疊，而產(chǎn)生各表面投影的可見(jiàn)與不可見(jiàn)的問(wèn)題，因此，對(duì)處在不同表面上點(diǎn)（或線）的投影，就要進(jìn)行可見(jiàn)性的判別。我們規(guī)定：凡是點(diǎn)的某一投影為不可見(jiàn)時(shí)，就要在該不可見(jiàn)投影旁加一括號(hào)。如圖7-4中，N點(diǎn)的正面投影用符號(hào)（n'）表達(dá)。例1已知三棱柱的三面投影及其表面上的點(diǎn)M和N的正面投影m'和n'，求作它們的另兩個(gè)投影。分析根據(jù)已知條件，M點(diǎn)必在三棱柱前右側(cè)的棱面上（因m'可見(jiàn)），而N點(diǎn)必在三棱柱的后棱面上（因n'不可見(jiàn)）。運(yùn)用棱柱各棱面的水平投影有積聚性，可向下引投影連接直接找到兩點(diǎn)的水平投影m和n，然后即可按投影規(guī)律求出這兩點(diǎn)的側(cè)面投影m"和n"。二、棱錐表面上的點(diǎn)例2已知三棱錐的三面投影及其表面上點(diǎn)K的正面投影k'和點(diǎn)L的水平投影l(fā),求出它們的別兩個(gè)投影。分析根據(jù)題中所給出的投影可知：K點(diǎn)和L點(diǎn)分別位于三棱錐的SAB和SBC棱面上。但由于這兩個(gè)棱面都是一般位置的平面，它們的各個(gè)投影沒(méi)有積聚性，因此，顯然不也許再運(yùn)用上例中的作圖方法（運(yùn)用積聚性）解題。為了解決本題，需要在棱錐的棱面上作出過(guò)已知點(diǎn)的輔助線，然后再作出輔助線上該點(diǎn)的各投影。作圖1、運(yùn)用過(guò)錐頂S的輔助線求K點(diǎn)各投影：（1）找出1及1″，連s1及s″1″；（2）過(guò)k'作投影連接與s1及s″1″相交，即可求出k及k"。2、運(yùn)用過(guò)L點(diǎn)且平行于底邊的直線為輔助線求L點(diǎn)的各投影：（1）在水平投影中過(guò)l作平行于底邊bc的直線，與sb、sc相交于2、3兩點(diǎn)；（2）過(guò)3'及3"作直線平等于b'c'和b″c″（二直線平等，其同面投影也必平行）；（3）過(guò)l作投影連接線與2'3'及2″3″相交，即可求出l'及l(fā)"。下面列出了一些工程中常見(jiàn)到的平面立體的投影圖和立體圖，可按前述平面立體投影圖的畫法對(duì)它們進(jìn)行分析，以便更進(jìn)一步熟悉平面立體投影的表達(dá)方法和規(guī)律?！?－3平面與多面體表面相交一、特殊位置截平面與多面體相交當(dāng)截平面處在特殊位置時(shí)，截平面的具有積聚性的投影必與截交線在該投影面上的投影重合，于是可運(yùn)用截交線為已知投影做出其余的投影。見(jiàn)教材例5－4、例5－5。二、一般位置截平面與多面體相交當(dāng)截平面處在一般位置時(shí)，可做出與多面體各棱線和底邊與截平面的交線，然后連成截交線。見(jiàn)教材例5－6。第九章軸測(cè)投影§9－1軸測(cè)投影的基本知識(shí)多面正投影圖的優(yōu)點(diǎn)是可以對(duì)的、完整、準(zhǔn)確地表達(dá)物體的形狀和大小，并且作圖簡(jiǎn)便，度量性好，所以在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用，但缺少立體感。軸測(cè)圖是一種能同時(shí)反映出物體長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向尺度的單面投影圖，這種圖形富有立體感，直觀性好，并可沿坐標(biāo)軸方向按比例進(jìn)行度量，但作圖較繁，因此在工程中常被用作輔助圖樣。一、軸測(cè)投影的形成軸側(cè)圖是將物體連同其參考直角坐標(biāo)系，沿不平行于任一坐標(biāo)面的方向，用平行投影法將其投射在單一投影面上所得到的具有立體感的圖形。如圖9－2所示，P平面稱為軸側(cè)投影面，S稱為軸測(cè)投射方向，直角坐標(biāo)軸OX、OY及OZ的軸測(cè)投影OX1、OY1、OZ1稱為軸測(cè)軸。二、軸測(cè)投影的分類根據(jù)投射方向是否垂直于軸測(cè)投影面，軸測(cè)投影可分為兩類：1.正軸測(cè)投影投射方向垂直于軸測(cè)投影面時(shí)所得到的軸測(cè)投影叫正軸測(cè)投影。2.斜軸測(cè)投影投射方向傾斜于軸測(cè)投影面時(shí)所得到的軸測(cè)投影叫斜軸測(cè)投影。三、軸間角和軸向伸縮系數(shù)1．軸間角軸測(cè)軸之間的夾角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1稱為軸間角，其中任何一個(gè)不能為零，三軸間角之和為360。。2．軸向伸縮系數(shù)軸測(cè)軸上的單位長(zhǎng)度與相應(yīng)投影軸上的單位長(zhǎng)度之比稱為軸向伸縮系數(shù)。p1、q1、r1分別稱為OX軸、OY軸、OZ軸上的伸縮系數(shù)。p1=O1A1/OAq1=O1B1/OBr1=O1C軸測(cè)軸和軸向伸縮系數(shù)是繪制軸測(cè)圖的兩大基本要素。不同種類的軸測(cè)圖，各有不同的軸測(cè)軸和軸向伸縮系數(shù)。四、軸測(cè)投影的基本性質(zhì)（1）物體上互相平行的線段的軸測(cè)投影仍互相平行；（2）物體上平行于坐標(biāo)軸的直線段的軸測(cè)投影仍與相應(yīng)的軸測(cè)軸平行；（3）物體上兩平行線段或同一直線上的兩線段長(zhǎng)度之比，其軸測(cè)投影保持不變。凡是與坐標(biāo)軸平行的直線，就可以在軸測(cè)圖上沿軸向進(jìn)行度量和作圖。五、繪制軸測(cè)投影時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1.軸測(cè)投影是平行投影，所以它保持平行性和定比性，作圖時(shí)要充足運(yùn)用這些性質(zhì)。2.只有與坐標(biāo)軸