第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2023/4/11歡迎各位來到《自動控制原理》課堂！2023/4/11第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1緒言

2.2線性元件的微分方程及求解2.3控制系統(tǒng)復(fù)域數(shù)學(xué)模型2.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2.5控制系統(tǒng)的方塊圖2.6信號流圖與梅遜公式本章小結(jié)、重點和習題2023/4/112.1緒言１．本章主要內(nèi)容

本章主要討論系統(tǒng)微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖，信號流圖、梅遜公式及其應(yīng)用。２．數(shù)學(xué)模型：是描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)方框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型圖2-12023/4/113．物理模型：任何元件或系統(tǒng)實際上都是很復(fù)雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。4．數(shù)學(xué)建模：從實際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程5.建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有

：a.機理分析法：對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律。b.實驗辯識法：人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)。2023/4/11實驗法：基于系統(tǒng)辨識的建模方法已知知識和辨識目的實驗設(shè)計--選擇實驗條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當?shù)碾A次參數(shù)估計--最小二乘法模型驗證—將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近黑匣子輸入（已知）輸出（已知）圖2-22023/4/11分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個步驟：建立物理模型。列寫原始方程。利用適當?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時要求），消去中間變量，建立適當?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。2023/4/112.2線性元件的微分方程及其求解一．微分方程：是一種輸入----輸出描述，給定量和擾動量作為系統(tǒng)輸入量，被控制量作為系統(tǒng)的輸出.（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量（2）將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號傳遞的順序，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。（3）消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。二．列寫線性系統(tǒng)微分方程的主要步驟2023/4/11三．舉例說明線性元件微分方程的建立例2-1:圖2-1為由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1（t）為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。U1R1R2U2C1C2圖2-3RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)

解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)基爾霍夫定律，列寫方程組如下：

(5)(4)(3)(2)(1)2023/4/11由②導(dǎo)出：

將i1、i2代入①、③，則得

由④、⑤得：(5)(4)(2)(3)(1)2023/4/11這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個二階線性微分方程。2023/4/11例2-2試證明圖2-4示(a)、(b)所示的機、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。圖2-4電機相似系統(tǒng)

B1B2K1K2XrXc

（a）系機械統(tǒng)R2C2R1C1UrUc

(b)氣電系統(tǒng)2023/4/11

解：對機械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運動方程式

B1B2K1K2XrXc

（a）系機械統(tǒng)2023/4/11對電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫電路方程如下：②

③

④1

R2C2R1C1UrUc

(b)氣電系統(tǒng)2023/4/11利用②、③、④求出

代入①將①兩邊微分得2023/4/11力-電壓相似機系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為機系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。為我們利用簡單易實現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去研究機械系統(tǒng)......因為一般來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易，通過試驗進行研究。1/C21/C1電阻R2電阻R1電氣彈性系數(shù)K2彈性系數(shù)K1阻尼B2阻尼B1機械圖2-52023/4/11四線性微分方程的求解2.數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換(.1.經(jīng)典解法:ω(t)=ωp(t)+ωh(t)

特解

通解還可分為ω(t)=ω∞(t)+ωt(t)

穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解a2[s2(s)–sω(0)-]+a1[s(s)–

ω(0)]+a0(s)=b1[sUg(s)–ug(0)]+b0Ug(s)整理，

得

(s)=1(s)+2(s)

=Ug(s)+∴

ω(t)=ω1(t)+ω2(t)

零狀態(tài)解零輸入解（自由響應(yīng)）2023/4/111。求解所用數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作：⑵拉氏變換基本定理線性定理

位移定理延遲定理終值定理2023/4/11初值定理微分定理積分定理⑶拉氏反變換：F(s)化成下列因式分解形式：a．F(s)中具有不同的極點時，可展開為2023/4/11

c.F(s)含有多重極點時，可展開為其余各極點的留數(shù)確定方法與上同。b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點時，可展開為2023/4/112.3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型一．傳遞函數(shù)１．定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。系統(tǒng)微分方程的一般形式為：設(shè)R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],當初始條件均為0時,有

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

即傳遞函數(shù):

2023/4/11（５）與微分方程的區(qū)別及聯(lián)系微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時分析較麻煩。用拉氏變化法求解微分方程時，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)。二．幾點結(jié)論：

（1）傳遞函數(shù)是由微分方程在初始條件為零時進行拉氏變換得到的（2）如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號,則可根據(jù)式（2-36）求得初始條件為零時輸出量的拉氏變換式C（S）,再求C（S）的拉氏反變換可得到系統(tǒng)的響應(yīng)

c(t)。所以傳遞函數(shù)和微分方程、傳遞函數(shù)與時域響應(yīng)之間都具有密切聯(lián)系

（3）傳遞函數(shù)的分母多項式即為微分方程的特征多項式

（4）同一系統(tǒng)的輸出對不同的輸入量有不同的傳遞函數(shù)，但特征多項式相同

2023/4/11--》機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)例2-5

求例2-2機械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

和解：--》電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2023/4/11性質(zhì)1傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。三．傳遞函數(shù)的幾點性質(zhì)性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關(guān)。性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。性質(zhì)4如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。性質(zhì)5如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述。性質(zhì)6傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。2023/4/11性質(zhì)7傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)

脈沖響應(yīng)（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。例2-6在例2-1中，設(shè)當輸入為單位階躍函數(shù),即時,求輸出解：根據(jù)例1得到的微分方程。2023/4/112023/4/11四．傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響

極點是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。為傳遞函數(shù)的零點為傳遞函數(shù)的極點2023/4/11零點距極點的距離越遠，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點距極點的距離越近，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點重合－該極點所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因為分子分母相互抵消。

2023/4/112.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

由微分方程直接得出的傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。對于實際物理系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項式的所有系數(shù)均為實數(shù)，而且分母多項式的階次n不低于分子多項式的階次m，分母多項式階次為n的傳遞函數(shù)稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)

。傳遞函數(shù)可表示成復(fù)變量s的有理分式:傳遞函數(shù)可表示成零、極點表示：2023/4/11

系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時還具有零值極點，設(shè)傳遞函數(shù)中有個零值極點,并考慮到零極點都有實數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的情況,則傳遞函數(shù)的后兩種表示的一般形式為：可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由一些常見基本因子,如式上中的(js+1)、1/(Tis+1)等組成。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為上式時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可以用若干典型環(huán)節(jié)構(gòu)成。具有相同基本因子傳遞函數(shù)的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的運動規(guī)律。

2023/4/111.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其輸出與輸入成比例關(guān)系K：比例系數(shù)或放大系數(shù)，增益其傳遞函數(shù)：2023/4/112．慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的關(guān)系可用下列微分方程來描述：式中T——慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

K——比例系數(shù)。2023/4/113．積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的積分成比例，系數(shù)為K。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為：積分環(huán)節(jié)具有一個零值極點，即極點位于S平面上的坐標原點處。T稱為積分時間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表達式易求得在單位階躍輸入時的輸出為：

C（t）=Kt上式說明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時間成比例地無限增加。2023/4/114．振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

式中T——時間常數(shù)；——阻尼系數(shù)（阻尼比），且0＜＜1。

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點,在復(fù)平面S上的位置見右圖所示,傳遞函數(shù)可改寫為：n=1/T——無阻尼自然振蕩頻率。共軛復(fù)數(shù)極點為：2023/4/115．微分環(huán)節(jié)

微分是積分的逆運算,按傳遞函數(shù)的不同,微分環(huán)節(jié)可分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱為比例加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應(yīng)的微分方程為：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

2023/4/116．延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)又稱為純滯后環(huán)節(jié)、時滯環(huán)節(jié)。延遲環(huán)節(jié)的輸出是一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號，即：式中——純延遲時間。單位階躍輸入時，延遲環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如右圖示．根據(jù)拉氏變換的延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：2023/4/11一．方框圖的基本概念１．控制系統(tǒng)的方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法。2.5控制系統(tǒng)的方塊圖2023/4/11前述幾種典型環(huán)節(jié)的方框圖如下圖所示：2023/4/11（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。G(s)R(s)C(s)

圖2-12

方塊圖中的方塊信號線方塊r(t)c(t)二．方塊圖元素2023/4/11（2）比較點（合成點、綜合點）SummingPoint

兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sRΥ1Υ1-Υ2+Υ3Υ2-Υ3注意：進行相加減的量，必須具有相同的量剛。圖2-132023/4/11(3)分支點（引出點、測量點）BranchPoint表示信號測量或引出的位置(4)信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。2023/4/11(1)前向通道傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0,打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0,主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打開反饋)(1sG)(2sGC(s)圖2-15反饋控制系統(tǒng)方塊圖

三．幾個基本概念及術(shù)語2023/4/11(3)開環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)圖2-15反饋控制系統(tǒng)方塊圖2023/4/11(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。推導(dǎo)：因為

右邊移過來整理得

即

請記住2023/4/11(5)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)圖2-15反饋控制系統(tǒng)方塊圖2023/4/11-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG圖2-16輸出對擾動的結(jié)構(gòu)利用公式**，直接可得：(6)輸出對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)圖2-15反饋控制系統(tǒng)方塊圖2023/4/11（7）誤差對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0

H(s)N(s)E(s)＋)(1sG)(2sG-1圖2-17誤差對擾動的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)圖2-15反饋控制系統(tǒng)方塊圖2023/4/11線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當控制輸入Ｒ(Ｓ)與擾動Ｎ(Ｓ)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：注意：由于N(s)極性的隨機性，因而在求E(s)時，不能認為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。2023/4/11（1）考慮負載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種。

四．方塊圖的繪制2023/4/11RCi（a）iuou圖2-18一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：由圖2-20，利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對其進行零初始條件下的拉氏變換得：

例１：畫出下列RC電路的方塊圖。2023/4/11

將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的方塊圖。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo圖2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi圖2-202023/4/11例２：畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

分析：由圖2-21清楚地看到，后一級R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負載，對前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是負載效應(yīng)。2023/4/11解：（1）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運算電路圖如圖(b)；（2）根據(jù)列出的4個式子作出對應(yīng)的框圖；（3）根據(jù)信號的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。例２2023/4/112023/4/11如果在這兩極R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-22所示。則此電路的方塊圖如圖(b)所示。2023/4/11

方框圖的等效變換相當于在方框圖上進行數(shù)學(xué)方程的運算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。環(huán)節(jié)的合并;信號分支點或相加點的等效移動。

方框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變，因此方框圖變換是一種等效變換，同時由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以方框圖變換是一些簡單的代數(shù)運算。（－）環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)之間互相連接有三種基本形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。五.方框圖的等效變換2023/4/111．環(huán)節(jié)的串聯(lián)

特點:前一個環(huán)節(jié)的輸出信號就是后一環(huán)節(jié)的輸入信號，下圖所示為三個環(huán)節(jié)串聯(lián)的例子。圖中，每個環(huán)節(jié)的方框圖為：要求出第三個環(huán)節(jié)的輸出與第一個環(huán)節(jié)的輸入之間的傳遞函數(shù)時2023/4/11

上式表明，三個環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個等效環(huán)節(jié)來代替。這種情況可以推廣到有限個環(huán)節(jié)串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無負載效應(yīng)）的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，如有n個環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效傳遞函數(shù)可表示為：2023/4/112.環(huán)節(jié)的并聯(lián)

環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點是各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（或相減），下圖所示為三個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，圖中含有信號相加點。從圖中可見:等效傳遞函數(shù)為：2023/4/11

以上結(jié)論可推廣到一般情況，當有n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其輸出信號相加則有等效傳遞函數(shù)2023/4/113．反饋連接

將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，并與原輸入信號進行比較后再作為輸入信號，即為反饋連接，如下圖所示。負反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相反的反饋。正反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相同的反饋。2023/4/11

上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的基礎(chǔ)。對于較復(fù)的系統(tǒng),例如當系統(tǒng)具有信號交叉或反饋環(huán)交叉時,僅靠這三種方法是不夠的。

（二）信號相加點和信號分支點的等效變換

對于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號或反饋環(huán)相互交叉的現(xiàn)象，此時可將信號相加點（匯合點）或信號分支點（引出點）作適當?shù)牡刃б苿?，先消除各種形式的交叉，再進行等效變換即可。2023/4/11信號相加點的移動分兩種情況：前移和后移。有關(guān)移動中，“前”、“后”的定義：按信號流向定義，也即信號從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

2023/4/112023/4/11信號分支點（取出點）的移動也分前移和后移兩種情況。2023/4/11

此外，兩個相鄰的信號相加點和兩個相鄰的信號分支點可以互換位置。但必須注意，相鄰的相加點與分支點的位置不能簡單互換。

2023/4/11下表列出了信號相加點和信號分支點等效變換的各種方法。2023/4/11例：求傳遞函數(shù)分支點A后移，比較點B前移。---CB①②A（c）方塊圖11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC比較點1和2交換。2023/4/112023/4/11例：用方塊圖的等效法則，求圖2-28所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：這是一個具有交叉反饋的多回路系統(tǒng)，如果不對它作適當?shù)淖儞Q，就難以應(yīng)用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的等效變換公式進行化簡。本題的求解方法是把圖中的點A先前移至B點，化簡后，再后移至C點，然后從內(nèi)環(huán)到外環(huán)逐步化簡，其簡化過程如下圖。

2023/4/112023/4/112.6信號流圖與梅遜公式

信號流圖和方框圖類似，都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而信號流圖也是一種數(shù)學(xué)模型。

框圖及其等效變換雖然對分析系統(tǒng)很有效，但是對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費時，并易于出錯。如采用信號流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。－）基本概念

信號流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來表示的方法。例如：一.信號流圖及其等效變換2023/4/11

信號流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱其為節(jié)點。節(jié)點之間用加權(quán)的有向線段連接，稱為支路。通常在支路上標明前后兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此支路的權(quán)又稱為傳輸或者增益。2023/4/11（二）常用術(shù)語；信號流圖中除有節(jié)點和支路外，還常用到下述術(shù)語。（1）出支路：離開節(jié)點的支路。（2）入支路：進入節(jié)點的支路。（3）源節(jié)點：只有出支路的節(jié)點，對應(yīng)于自變量或外部輸人，因此也稱為輸入節(jié)點。（4）匯節(jié)點(阱，坑)

：只有入支路的節(jié)點，對應(yīng)于因變量，有時也稱為輸出節(jié)點。（5）混合節(jié)點：既有入支路，又有出支路的節(jié)點。2023/4/11（6）通道：又稱為路徑，是指從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路的箭號方向相繼經(jīng)過多個節(jié)點間的支路，一個信號流圖可以有多條通道。（7）開通道：如果通道從某個節(jié)點出發(fā)，終止于另一個節(jié)點上，并且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，則稱這樣的通道為開通道。2023/4/11（8）閉通道：如果通道的終點就是通道的起始點，并且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，則該通道稱為閉通道或回路、回環(huán)等。如果一個通道從一個節(jié)點開始，只經(jīng)過一個支路又回到該節(jié)點，則稱這樣的通道為自回環(huán)。

（9）前向通道：從源節(jié)點出發(fā)到匯節(jié)點終止，而且每個節(jié)點只通過一次的通道稱為前向通道。前向通道可以有多個。2023/4/11（10）互不接觸回環(huán)：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點和回路，就稱它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。（11）通道傳輸：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為通道增益。

（12）回環(huán)傳輸：又稱為回環(huán)增益，指閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。

2023/4/11（三）信號流圖的基本性質(zhì)

（1）用節(jié)點表示變量，源節(jié)點代表輸入量，匯節(jié)點代表輸出量，用混合節(jié)點表示變量或信號的匯合。在混合節(jié)點處，所有出支路的信號（即混合節(jié)點對應(yīng)的變量）等于各支路引入信號的代數(shù)和。

（2）以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程，信號只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號流圖中每經(jīng)過一條支路，相當于在方框圖中經(jīng)過一個用方框表示的環(huán)節(jié)。

（3）增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可把混合?jié)點為匯節(jié)點。

（4）對于同一系統(tǒng)，信號流圖的形式不是唯一的。（四）信號流圖的繪制①用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點2023/4/11②在比較點之后的引出點，只需在比較點后設(shè)置一個節(jié)點便可。也即可以與它前面的比較點共用一個節(jié)點。③在比較點之前的引出點B，需設(shè)置兩個節(jié)點，分別表示引出點和比較點，注意圖中的e1，e2。

2023/4/11（五）信號流圖的簡化

（l）串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)某朔e。（2）并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨汀＃?）混合節(jié)點可以用移動支路的方法消去。（4）回環(huán)可以用方框圖中反饋連接的規(guī)則化為等效支路。

2023/4/11下表列出了信號流圖的等效變換規(guī)則:2023/4/11例題

試將下圖所示的系統(tǒng)方框圖化為信號流圖并進行簡化，求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

解（a）所示的方框圖可化為圖(b)所示的信號流圖，注意：方框圖中比較環(huán)節(jié)的正負號在信號流圖中表現(xiàn)在支路傳輸?shù)姆柹稀D2-31表示了信號流圖的簡化過程。2023/4/11求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（總傳輸）為:

2023/4/11二、梅遜公式及其應(yīng)用－Mason’sGainFormula

式中G(s)為從源節(jié)點到匯節(jié)點之間的總傳輸，n為從源節(jié)點到匯節(jié)點之間前向通道的總數(shù)，Pk為第K條前向通道的傳輸。為信號流圖特征式，是信號流圖所表示的代數(shù)方程組的系數(shù)行列式,k為第K條前向通道的信號流圖特征式的余子式，即從中除去與第K條前向通道相接觸的回環(huán)后余下的部分。的計算公式為：

式中L1——信號流圖中所有不同回環(huán)的傳輸之和；

L2——所有兩個互不接觸回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；

L3——所有三個互不接觸回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；

……………

Lm——所有m個互不接觸回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；

信號流圖上從源節(jié)點（輸入節(jié)點）到匯節(jié)點（輸出節(jié)點）的總傳輸公式，即梅遜公式為：2023/4/11

利用梅遜公式求系統(tǒng)總傳輸時,只要求出信號流圖中的n、Pk、和K,代入公式計算即可。例題2：試用梅遜公式計算下圖系統(tǒng)的總傳輸。例題22023/4/11=1-L1=1+G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三個回環(huán)均與前向通道P1接觸，所以1=1根據(jù)梅遜公式，系統(tǒng)總傳輸為：

解源節(jié)點R(s)和匯節(jié)點C(s)之間只有一條前向通道n=1。通道傳輸為：P1=G1G2G3G4三個回環(huán)的傳輸之和為：L1=-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7三個回環(huán)之間都有公共節(jié)點，流圖特征式為：2023/4/11例題3：試利用梅遜公式求圖2-33所示信號流的總傳輸。

例題32023/4/11L3=abefij

=1-L1+L2-L3

第一條前向通道與所有回環(huán)均有接觸，所以1=1第二條前向通道與回環(huán)cd不接觸，所以2=1-cd

解

首先確定信號流圖中由源節(jié)點到匯節(jié)點間的前向通道數(shù),從圖中可知

n=2,第一條前向通道的傳輸為P1=acegi。第二條前向通道的傳輸為

P2=kgi。

L1=ah＋cd＋ef＋gh＋ij＋kfdbL2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij

2023/4/11本章重點：傳遞函數(shù)的建立（求?。┓娇驁D的化簡用信號流圖求總傳輸2023/4/11Matlab中控制系統(tǒng)模型的建立?Transferfunctions(TF),forexample,1)num=[1,2];den=[1,1,10];G=tf(num,den)Org=tf([1,2],[1,1,10])2023/4/112)num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));G=tf(num,den)2023/4/11?Zero-pole-gain(ZPK)models,forexample,>>z=[0-6-5]'>>p=[-1,-2,-3+4*j,-3-4*j]'>>k=1Sys2=zpk(z,p,k)2023/4/11ConvertingBetweenModeRepresentationstf2zp：transferfunctionmodeltoZero-pole-gain(ZPK)modelszp2tf：Zero-pole-gain(ZPK)modelstotransferfunctionmodelz=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》num=00618den=181710printsys(num,den,'s')2023/4/112023/4/11ConvertbetweenpartialfractionexpansionandtransferfunctionsResidue考慮下列傳遞函數(shù)將求出多項式B(S)和A(S)之比的部分分式展開式中的留數(shù)、極點和余項。B(S)/A(S)的部分分式展開式由下式給出：2023/4/112023/4/11利用留數(shù)命令，由部分分式展開式