中考數(shù)學(xué)《銳角三角函數(shù)》專題訓(xùn)練(附答案解析)

第頁中考數(shù)學(xué)《銳角三角函數(shù)》專題訓(xùn)練(附答案解析)一單選題1．計算的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化簡二次根式并代入特殊角的銳角三角比再按照正確的運算順序進(jìn)行計算即可．【詳解】解＝＝＝．故選B【點睛】此題考查了二次根式的運算特殊角的銳角三角比等知識熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．2．的值等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義正切=對邊與鄰邊之比進(jìn)行求解．【詳解】作一個直角三角形∠C=90°∠A=45°如圖∴∠B=90°-45°=45°∴△ABC是等腰三角形AC=BC∴根據(jù)正切定義∵∠A=45°∴故選B．【點睛】本題考查了三角函數(shù)熟練理解三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．3．如圖一條河兩岸互相平行為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直）測PQ兩點距離為m米則河寬PT的長度是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】結(jié)合圖形利用正切函數(shù)求解即可．【詳解】解根據(jù)題意可得∴故選C．【點睛】題目主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用理解題意利用正切函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．4．如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖該起重機(jī)的變幅索頂端記為點A變幅索的底端記為點B垂直地面垂足為點D垂足為點C．設(shè)下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC∴△ABC是直角三角形∵∠ABC=α∴故選D．【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．計算的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【詳解】故選C．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值絕對值的性質(zhì)等知識正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．6．如圖某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離在學(xué)校附近選一點C利用測量儀器測得．據(jù)此可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解直角三角形已知一條直角邊和一個銳角求斜邊的長．【詳解】．故選D．【點睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵．7．從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度船離燈塔的水平距離為（

）A．米 B．米 C．21米 D．42米【答案】A【解析】在直角三角形中已知角的對邊求鄰邊可以用正切函數(shù)來解決．【詳解】解根據(jù)題意可得船離海岸線的距離為42÷tan30°=42（米）.故選A．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角的定義要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．8．（2020·貴州黔西）如圖某停車場入口的欄桿AB從水平位置繞點O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α則欄桿A端升高的高度為（

）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米【答案】B【解析】過點A′作A′C⊥AB于點C根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解如答圖過點A′作A′C⊥AB于點C．在Rt△OCA′sinα＝所以A′C＝A′O·sinα．由題意得A′O＝AO＝4所以A′C＝4sinα因此本題選B．【點睛】本題考查解直角三角形解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義本題屬于基礎(chǔ)題型．9．如圖某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度在點A處測得樹頂C的仰角為在點B處測得樹頂C的仰角為且ABD三點在同一直線上若則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)CD=x在Rt△ADC中∠A=45°可得CD=AD=xBD=16-x在Rt△BCD中用∠B的正切函數(shù)值即可求解．【詳解】設(shè)CD=x在Rt△ADC中∠A=45°∴CD=AD=x∴BD=16-x在Rt△BCD中∠B=60°∴即解得故選A．【點睛】本題考查三角函數(shù)根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．10．如圖某博物館大廳電梯的截面圖中AB的長為12米AB與AC的夾角為則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在Rt△ACB中利用正弦定義sinα=代入AB值即可求解．【詳解】解在Rt△ACB中∠ACB=90°∴sinα=∴BC=sinαAB=12sinα（米）故選A．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC其中AB＝ACBC＝44cm則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm可得cm根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及可得在中由求得AD的長度．【詳解】解∵等腰三角形ABCAB＝ACAD為BC邊上的高∴∵BC＝44cm∴cm．∵等腰三角形ABCAB＝AC∴．∵AD為BC邊上的高∴在中∵cm∴cm．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2022·湖北武漢）由4個形狀相同大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格菱形的頂點稱為格點點ABC都在格點上∠O=60°則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】證明四邊形ADBC為菱形求得∠ABC=30°利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解連接AD如圖∵網(wǎng)格是有一個角60°為菱形∴△AOD△BCE△BCD△ACD都是等邊三角形∴AD=BD=BC=AC∴四邊形ADBC為菱形且∠DBC=60°∴∠ABD=∠ABC=30°∴tan∠ABC=tan30°=．故選C．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)特殊角的三角函數(shù)值證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖北十堰）如圖坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下在斜坡上的樹影BC長為m則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】應(yīng)充分利用所給的α和45°在樹的位置構(gòu)造直角三角形進(jìn)而利用三角函數(shù)求解．【詳解】解如圖過點C作水平線與AB的延長線交于點D則AD⊥CD∴∠BCD=α∠ACD=45°．在Rt△CDB中CD=mcosαBD=msinα在Rt△CDA中AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法另外利用三角函數(shù)時要注意各邊相對．14．（2021·山東濟(jì)南）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測．如圖某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對一塊試驗田進(jìn)行監(jiān)測作業(yè)時在距地面高度為的處測得試驗田右側(cè)出界處俯角為無人機(jī)垂直下降至處又測得試驗田左側(cè)邊界處俯角為則之間的距離為（參考數(shù)據(jù)結(jié)果保留整數(shù)）（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意易得OA⊥MN∠N=43°∠M=35°OA=135mAB=40m然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解由題意得OA⊥MN∠N=43°∠M=35°OA=135mAB=40m∴∴∴故選C．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·廣西桂林）如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點P（34）連接OP則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作PM⊥x軸于點M構(gòu)造直角三角形根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．【詳解】解作PM⊥x軸于點M∵P（34）∴PM=4OM=3由勾股定理得OP=5∴故選D【點睛】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義一個角的正弦值等于它所在直角三角形的對邊與斜邊之比．16．（2021·黑龍江哈爾濱）如圖是的直徑是的切線點為切點若則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意易得然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解∵是的切線∴∵∴故選D．【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及解直角三角形熟練掌握切線的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·廣西柳州）如圖所示點ABC對應(yīng)的刻度分別為135將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)當(dāng)點A首次落在矩形的邊上時記為點則此時線段掃過的圖形的面積為（

）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】由題意可知AC掃過的圖形為一個扇形半徑為4求出再根據(jù)扇形面積公式求解即可．【詳解】解由圖可知AC=A’C=4BC=2∴∴線段掃過的圖形為扇形此扇形的半徑為∴故選D．【點睛】本題考查了扇形的面積公式讀懂題目明確AC掃過的圖形為一個扇形且扇形的半徑為4是解決本題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江金華）如圖是一架人字梯已知米AC與地面BC的夾角為則兩梯腳之間的距離BC為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)余弦的定義即可得到答案．【詳解】過點A作如圖所示∵∴∵∴∴故選A．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用明確等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2021·廣東深圳）如圖在點F處看建筑物頂端D的仰角為32°向前走了15米到達(dá)點E即米在點E處看點D的仰角為64°則的長用三角函數(shù)表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題目條件利用外角的性質(zhì)得出△DEF是等腰三角形在Rt△DEC中利用∠DEC的正弦即可表示出CD的長度．【詳解】∵∠F=32°∠DEC=64°∴∠DEF=∴由題可知△DCE為直角三角形在Rt△DEC中即∴故選C【點睛】本題考查三角形的外角等腰三角形的性質(zhì)解直角三角形的運算解題關(guān)鍵是利用三角形的外角得出等腰三角形．20．（2021·云南）在中若則的長是（

）A． B． C．60 D．80【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值求出BC然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解∵∠ABC=90°sin∠A==AC=100∴BC=100×3÷5=60∴AB==80故選D．【點睛】本題主要考查的是解直角三角形掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2020·貴州黔南）如圖數(shù)學(xué)活動小組利用測角儀和皮尺測量學(xué)校旗桿的高度在點D處測得旗桿頂端A的仰角為55°測角儀的高度為1米其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米設(shè)旗桿的高度為x米則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)仰角的定義和銳角三角函數(shù)解答即可．【詳解】解∵在中∴故選B．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和解直角三角形的實際應(yīng)用．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（2020·廣西河池）在Rt△ABC中∠C＝90°BC＝5AC＝12則sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的長再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【詳解】解如圖所示∵∠C＝90°BC＝5AC＝12∴∴．故選D．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義在直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．23．（2020·吉林長春）比薩斜塔是意大利的著名建筑其示意圖如圖所示．設(shè)塔頂中心點為點塔身中心線與垂直中心線的夾角為過點向垂直中心線引垂線垂足為點．通過測量可得的長度利用測量所得的數(shù)據(jù)計算的三角函數(shù)值進(jìn)而可求的大?。铝嘘P(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】確定所在的直角三角形找出直角然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解【詳解】由題可知△ABD是直角三角形．選項BCD都是錯誤的故答案選A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形中三角函數(shù)的定義理解準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．24．（2020·四川涼山）如圖所示的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如圖取格點E連接BE構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)解決問題即可【詳解】如圖取格點E連接BE由題意得∴．故答案選A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)知識點準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求邊是解題的關(guān)鍵．25．（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中點都在格點上以為直徑的圓經(jīng)過點則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長度然后根據(jù)圓周角定理的推論得出計算出即可得到．【詳解】解∵為直徑∴∴∴∵∴∴故選B．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù)掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵．26．（2022·廣西貴港）如圖在網(wǎng)格正方形中每個小正方形的邊長為1頂點為格點若的頂點均是格點則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點C作AB的垂線構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解即可．【詳解】解過點C作AB的垂線交AB于一點D如圖所示∵每個小正方形的邊長為1∴設(shè)則在中在中∴解得∴故選C．【點睛】本題考查了解直角三角形勾股定理等知識解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．27．（2022·湖北荊州）如圖在平面直角坐標(biāo)系中點AB分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上點C在OB上連接AC過點O作交AC的延長線于P．若則的值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由可知OP與x軸的夾角為45°又因為則為等腰直角形設(shè)OC=xOB=2x用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解．【詳解】∵P點坐標(biāo)為（11）則OP與x軸正方向的夾角為45°又∵則∠BAO=45°為等腰直角形∴OA=OB設(shè)OC=x則OB=2OC=2x則OB=OA=3x∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)平行線的性質(zhì)勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解根據(jù)P點坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．28．（2022·四川宜賓）如圖在矩形紙片ABCD中將沿BD折疊到位置DE交AB于點F則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)利用“AAS”證明得出設(shè)則根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程解方程得出x的值最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解∵四邊形ABCD為矩形∴CD=AB=5AB=BC=3根據(jù)折疊可知∴在△AFD和△EFB中∴（AAS）∴設(shè)則在中即解得則∴故C正確．故選C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題三角形全等的判定和性質(zhì)勾股定理三角函數(shù)的定義根據(jù)題意證明是解題的關(guān)鍵．29．（2021·山東德州）某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能把坡角由37°減至30°已知原樓梯長為5米調(diào)整后的樓梯會加長（）（參考數(shù)據(jù)）A．6米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】D【解析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義先求出樓梯的高度然后因為樓梯的高度不變再根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義求出調(diào)整后樓梯的長度則可調(diào)整后的樓梯的長度變化．【詳解】由題意得sin37°=∴h=5×=3∴調(diào)整后的樓梯長==6∴調(diào)整后的樓梯會加長6-5=1m．故答案為D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題掌握坡角的概念熟記三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．30．（2021·山東日照）如圖在一次數(shù)學(xué)實踐活動中小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔的高度他從古塔底部點處前行到達(dá)斜坡的底部點處然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測量點處在點處測得塔頂?shù)难鼋菫橐阎逼碌男泵嫫露惹尹c在同一平面內(nèi)小明同學(xué)測得古塔的高度是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過作于于得到設(shè)根據(jù)勾股定理得到求得于是得到結(jié)論．【詳解】解過作于于斜坡的斜面坡度設(shè)故選A．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題解直角三角形的應(yīng)用坡角坡度問題正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．31．（2021·四川巴中）如圖點ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上下列結(jié)論錯誤的是（）A．sinB B．sinCC．tanB D．sin2B+sin2C＝1【答案】A【解析】根據(jù)勾股定理得出ABACBC的長進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形進(jìn)而解答即可．【詳解】解由勾股定理得∴△ABC是直角三角形∠BAC=90°∴只有A錯誤．故選擇A．【點睛】此題考查解直角三角形關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出ABACBC的長解答．32．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特）如圖正方形的邊長為4剪去四個角后成為一個正八邊形則可求出此正八邊形的外接圓直徑d根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長便可估計的值下面d及的值都正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可．【詳解】解設(shè)剪去△ABC邊長AC=BC=x可得解得x=則BD=∵正方形剪去四個角后成為一個正八邊形根據(jù)正八邊形每個內(nèi)角為135度則∠BFD=22.5°∴外接圓直徑d=BF=根據(jù)題意知周長÷d==故選C．【點睛】本題考查了勾股定理多邊形內(nèi)角和圓周長直徑公式和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識閱讀理解題意是解決問題的關(guān)鍵．33．（2020·廣西柳州）如圖在Rt△ABC中∠C=90°AB=4AC=3則cosB==（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用勾股定理得出BC的長再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】∵在Rt△ABC中∠C=90°AB=4AC=3∴∴．故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．34．（2020·山東濟(jì)南）如圖△ABC△FED區(qū)域為駕駛員的盲區(qū)駕駛員視線PB與地面BE的央角∠PBE＝43°視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝20°點AF為視線與車窗底端的交點AFBEAC⊥BEFD⊥BE．若A點到B點的距離AB＝1.6m則盲區(qū)中DE的長度是（

）（參考數(shù)據(jù)sin43°≈0.7tan43°≈0.9sin20°≈0.3tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【解析】首先證明四邊形ACDF是矩形利用∠PBE的正弦值可求出AC的長即可得DF的長利用∠PEB的正切值即可得答案．【詳解】∵FD⊥ABAC⊥EB∴DF∥AC∵AF∥EB∴四邊形ACDF是平行四邊形∵∠ACD＝90°∴四邊形ACDF是矩形∴DF＝AC在Rt△ACB中∵∠ACB＝90°∠ABE=43°∴AC＝AB?sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m）∴DF＝AC＝1.12（m）在Rt△DEF中∵∠FDE＝90°∠PEB=20°∴tan∠PEB＝≈0.4∴DE≈＝2.8（m）故選B．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用及矩形的判定與性質(zhì)熟練掌握各三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二填空題35．（2022·廣西柳州）如圖某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為αsinα＝堤壩高BC＝30m則迎水坡面AB的長度為____m．【答案】50【解析】直接利用坡角的定義結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】解根據(jù)題意得∠ACB=90°sinα＝∴∵BC＝30m∴解得AB=50m即迎水坡面AB的長度為50m．故答案為50【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．36．（2020·湖南湘潭）計算________．【答案】【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接書寫即可．【詳解】故答案為．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值牢固記憶是解題的關(guān)鍵．37．（2020·四川攀枝花）_______．【答案】【解析】【詳解】.故答案為.38．（2020·江蘇南通）如圖測角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置在D處測得建筑物頂端A的仰角為50°．若測角儀的高度是1.5m則建筑物AB的高度約為_____m．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77cos50°≈0.64tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】過點D作DE⊥AB垂足為點E根據(jù)正切進(jìn)行求解即可【詳解】解如圖過點D作DE⊥AB垂足為點E則DE＝BC＝5DC＝BE＝1.5在Rt△ADE中∵tan∠ADE＝∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米）∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米）故答案為7.5．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．39．（2020·湖北省直轄縣級單位）如圖海中有個小島A一艘輪船由西向東航行在點B處測得小島A位于它的東北方向此時輪船與小島相距20海里繼續(xù)航行至點D處測得小島A在它的北偏西60°方向此時輪船與小島的距離為________海里．【答案】20【解析】過點A作AC⊥BD根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖過點A作AC⊥BD依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為20．【點睛】此題主要考查解直角三角形解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．40．（2021·廣西梧州）某市跨江大橋即將竣工某學(xué)生做了一個平面示意圖（如圖）點A到橋的距離是40米測得∠A＝83°則大橋BC的長度是___米．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin83°≈0.99cos83°≈0.12tan83°≈8.14）【答案】326【解析】根據(jù)正切的定義即可求出BC．【詳解】解在Rt△ABC中AC=40米∠A=83°∴（米）故答案為326【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．41．（2021·遼寧本溪）如圖由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中點ABC都在格點上以為直徑的圓經(jīng)過點C和點D則________．【答案】【解析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得再利用正切的定義求解即可．【詳解】解∵∴故答案為．【點睛】本題考查同弧所對的圓周角相等求角的正切值掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．42．（2021·湖北湖北）如圖某活動小組利用無人機(jī)航拍校園已知無人機(jī)的飛行速度為從A處沿水平方向飛行至B處需同時在地面C處分別測得A處的仰角為B處的仰角為．則這架無人機(jī)的飛行高度大約是_______（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】20【解析】過點作于點過點作水平線的垂線垂足為點先解直角三角形求出的長從而可得再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長即可得．【詳解】解如圖過點作于點過點作水平線的垂線垂足為點由題意得在中在中在中即這架無人機(jī)的飛行高度大約是故答案為20．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．43．（2021·四川廣元）如圖在的正方形網(wǎng)格圖中已知點ABCDO均在格點上其中ABD又在上點E是線段與的交點．則的正切值為________．【答案】【解析】由題意易得BD=4BC=2∠DBC=90°∠BAE=∠BDC然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解由題意得BD=4BC=2∠DBC=90°∵∠BAE=∠BDC∴故答案為．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)及圓周角定理熟練掌握三角函數(shù)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．44．（2021·四川樂山）如圖為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度佳佳在點處測得石碑頂點的仰角為她朝石碑前行5米到達(dá)點處又測得石頂點的仰角為那么石碑的高度的長________米．（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】先根據(jù)已知條件得出△ADC是等腰三角形再利用AB=sin60°×AD計算即可【詳解】解由題意可知∠A=30°∠ADB=60°∴∠CAD=30°∴△ADC是等腰三角形∴DA=DC又DC=5米故AD=5米在Rt△ADB中∠ADB=60°∴AB=sin60°×AD=米故答案為【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)解直角三角形熟練記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值是關(guān)鍵45．（2022·湖南湘西）閱讀材料余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的在△ABC中∠A∠B∠C所對的邊分別為abc則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為a2＝b2＋c2﹣2bccosAb2＝a2＋c2﹣2accosBc2＝a2＋b2﹣2abcosC現(xiàn)已知在△ABC中AB＝3AC＝4∠A＝60°則BC＝_____．【答案】【解析】從閱讀可得BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA將數(shù)值代入求得結(jié)果．【詳解】解由題意可得BC2＝AB2＋AC2﹣2AB?AC?cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13∴BC＝故答案為．【點睛】本題考查了閱讀理解能力特殊角銳角三角函數(shù)值等知識解決問題的關(guān)鍵是公式的具體情景運用．46．（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖在矩形中為上的點則______．【答案】##【解析】【詳解】解設(shè)在矩形中為上的點故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)勾股定理求正切掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵．47．（2022·貴州遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問題遵義市某地的緯度約為北緯28°求北緯28緯線的長度．小組成員查閱相關(guān)資料得到如下信息信息一如圖1在地球儀上與赤道平行的圓圈叫做緯線信息二如圖2赤道半徑約為6400千米弦以為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度（參考數(shù)據(jù)）根據(jù)以上信息北緯28°緯線的長度約為__________千米．【答案】33792【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知在中利用銳角三角函數(shù)求出即為以為直徑的圓的半徑求出周長即可．【詳解】解如圖過點O作垂足為D根據(jù)題意∵∴∵在中∴∵∴由垂徑定理可知∴以為直徑的圓的周長為故答案為33792．【點睛】本題考查解直角三角形平行線的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練三角函數(shù)的含義與解直角三角形的方法．48．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組根據(jù)光的反射定律利用鏡子皮尺和測角儀等工具按以下方式進(jìn)行測量把鏡子放在點O處然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°觀測者眼睛與地面距離CD=1.7mBD=11m則旗桿AB的高度約為_________m．（結(jié)果取整數(shù)）【答案】17【解析】如圖容易知道CD⊥BDAB⊥BD即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°這樣可以得到△COD∽△AOB然后利用對應(yīng)邊成比例就可以求出AB．【詳解】解由題意知∠COD=∠AOB=60°∠CDE=∠ABE=90°∵CD=1.7m∴OD=≈1(m)∴OB=11-1=10(m)∴△COD∽△AOB．∴即∴AB=17(m)答旗桿AB的高度約為17m．故答案為17．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)果．49．（2022·江蘇常州）如圖在四邊形中平分．若則______．【答案】【解析】過點作的垂線交于證明出四邊形為矩形為等腰三角形由勾股定理算出即可求解．【詳解】解過點作的垂線交于四邊形為矩形平分∴∠CDB=∠CBD故答案為．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)矩形等腰三角形形勾股定理平行線的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．50．（2022·廣西河池）如圖把邊長為12的矩形ABCD沿長邊BCAD的中點EF對折得到四邊形ABEF點GH分別在BEEF上且BG＝EH＝BE＝2AG與BH交于點ON為AF的中點連接ON作OM⊥ON交AB于點M連接MN則tan∠AMN＝_____．【答案】##0.625【解析】先判斷出四邊形ABEF是正方形進(jìn)而判斷出△ABG≌△BEH得出∠BAG=∠EBH進(jìn)而求出∠AOB=90°再判斷出△AOB~△ABG求出再判斷出△OBM～△OAN求出BM=1即可求出答案．【詳解】解∵點EF分別是BCAD的中點∴∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=90°AD∥BCAD=BC∴∴四邊形ABEF是矩形由題意知AD=2AB∴AF=AB∴矩形ABEF是正方形∴AB=BE∠ABE=∠BEF=90°∵BG=EH∴△ABG≌△BEH（SAS）∴∠BAG=∠EBH∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°∴∠AOB=90°∵BG＝EH＝BE＝2∴BE=5∴AF=5∴∵∠OAB=∠BAG∠AOB=∠ABG∴△AOB∽△ABG∴即∴∵OM⊥ON∴∠MON=90°=∠AOB∴∠BOM=∠AON∵∠BAG+∠FAG=90°∠ABO+∠EBH=90°∠BAG=∠EBH∴∠OBM=∠OAN∴△OBM～△OAN∴∵點N是AF的中點∴∴解得BM=1∴AM=AB-BM=4∴．故答案為【點睛】此題主要考查了矩形性質(zhì)正方形性質(zhì)和判定全等三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理求出BM是解本題的關(guān)鍵．51．（2022·湖南）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形這個圖被稱為“弦圖”它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的成就．如圖已知大正方形的面積是100小正方形的面積是4那么__．【答案】##0.75【解析】根據(jù)兩個正方形的面積可得設(shè)得到由勾股定理得解方程可得x的值從而解決問題．【詳解】解∵大正方形ABCD的面積是100∴．∵小正方形EFGH的面積是4∴小正方形EFGH的邊長為2∴設(shè)則由勾股定理得解得或（負(fù)值舍去）∴∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)勾股定理三角函數(shù)等知識利用勾股定理列方程求出AF的長是解題的關(guān)鍵．52．（2022·黑龍江綏化）定義一種運算．例如當(dāng)時則的值為_______．【答案】【解析】根據(jù)代入進(jìn)行計算即可．【詳解】解====．故答案為．【點睛】此題考查了公式的變化以及銳角三角函數(shù)值的計算掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．53．（2022·貴州黔東南）如圖校園內(nèi)有一株枯死的大樹距樹12米處有一棟教學(xué)樓為了安全學(xué)校決定砍伐該樹站在樓頂處測得點的仰角為45°點的俯角為30°小青計算后得到如下結(jié)論①米②米③若直接從點處砍伐樹干倒向教學(xué)樓方向會對教學(xué)樓有影響④若第一次在距點的8米處的樹干上砍伐不會對教學(xué)樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫序號參考數(shù)值）【答案】①③④【解析】過點D的水平線交AB于E先證四邊形EACD為矩形ED=AC=12米①利用三角函數(shù)求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°②利用CD=AE=DEtan30°=4米③利用AB=18.8米＞12米④點B到砍伐點的距離為18.8-8=10.8＜12判斷即可．【詳解】解過點D的水平線交AB于E∵DE∥ACEA∥CD∠DCA=90°∴四邊形EACD為矩形∴ED=AC=12米①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正確②∵CD=AE=DEtan30°=4米故②不正確③∵AB=18.8米＞12米∴直接從點A處砍伐樹干倒向教學(xué)樓方向會對教學(xué)樓有影響故③正確④∵第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐∴點B到砍伐點的距離為18.8-8=10.8＜12∴第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐不會對教學(xué)樓造成危害.故④正確∴其中正確的是①③④．故答案為①③④．【點睛】本題考查解直角三角形矩形的判斷與性質(zhì)掌握解直角三角形方法矩形的判斷與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．54．（2021·貴州黔西）如圖熱氣球的探測器顯示從熱氣球底部A處看一棟樓頂部的俯角為30°看這棟樓底部的俯角為60°熱氣球A處與地面距離為150m則這棟樓的高度是___m．【答案】100【解析】過A作AH⊥BC交CB的延長線于點H先解Rt△ACD求出CD的長則AH=CD再解Rt△ABH求出BH的長然后根據(jù)BC=AD-BH即可得到這棟樓的高度．【詳解】解如圖過A作AH⊥BC交CB的延長線于點H在Rt△ACD中∵∠CAD＝30°AD＝150m∴CD＝AD?tan30°＝150×＝50（m）∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中∵∠BAH＝30°AH＝50m∴BH＝AH?tan30°＝50×＝50（m）∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m）答這棟樓的高度為100m．故答案為100．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題在此類題目中常用的方法是利用作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行計算．55．（2021·貴州遵義）小明用一塊含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺測量校園內(nèi)某棵樹的高度示意圖如圖所示若小明的眼睛與地面之間的垂直高度AB為1.62m小明與樹之間的水平距離BC為4m則這棵樹的高度約為___m．（結(jié)果精確到0.1m參考數(shù)據(jù)1.73）【答案】8.5【解析】先根據(jù)題意得出AD的長在Rt△AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長由CE＝CD+DE即可得出結(jié)論．【詳解】解∵AB⊥BCDC⊥BCAD∥BC∴四邊形ABCD是矩形∵BC＝4mAB＝1.62m∴AD＝BC＝4mDC＝AB＝1.62m在Rt△AED中∵∠DAE＝60°AD＝4m∴DE＝AD?tan60°＝4×＝4（m）∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）答這棵樹的高度約為8.5m．故答案為8.5．【點睛】本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．56．（2020·貴州黔南）如圖所示在四邊形中．連接若則長度是_________．【答案】10【解析】根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系先計算再在直角三角形中利用勾股定理即可求出．【詳解】解在中∵∴．在中．故答案為10．【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AC是解決本題的關(guān)鍵．57．（2020·遼寧阜新）如圖為了了解山坡上兩棵樹間的水平距離數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)們測得該山坡的傾斜角兩樹間的坡面距離則這兩棵樹的水平距離約為_________m（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)）．【答案】4.7【解析】如圖所示作出輔助線得到∠BAC=α=20°AB=5再利用余弦的定義得到即可解答．【詳解】解如圖所示過點A作AC平行于水平面過點B作BC⊥AC于點C則AC為所求由題意可知∠BAC=α=20°AB=5則即故答案為4.7．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用解題的關(guān)鍵是作出輔助線熟悉余弦的定義．58．（2020·湖北荊州）“健康荊州你我同行”市民小張積極響應(yīng)“全民健身動起來”號召堅持在某環(huán)形步道上跑步已知此步道外形近似于如圖所示的其中AB與BC間另有步道DE相連D地在AB的正中位置E地與C地相距1km若小張某天沿路線跑一圈則他跑了_______km．【答案】24【解析】過點作設(shè)則在中根據(jù)勾股定理得到進(jìn)一步求得再根據(jù)三角函數(shù)可求可得從而求解．【詳解】解過點作設(shè)∵∴在中地在正中位置又∵∴∴小張某天沿路線跑一圈他跑了．故答案為24．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．三解答題59．（2022·內(nèi)蒙古通遼）某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.【答案】的長度約為9.8米【解析】延長交的垂線于點交于點則四邊形是矩形根據(jù)圖示可得四邊形是正方形解即可求解．【詳解】解如圖延長交的垂線于點交于點則四邊形是矩形四邊形是正方形中中米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．60．（2022·黑龍江大慶）如圖為了修建跨江大橋需要利用數(shù)學(xué)方法測量江的寬度．飛機(jī)上的測量人員在C處測得AB兩點的俯角分別為和．若飛機(jī)離地面的高度為且點DAB在同一水平直線上試求這條江的寬度（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)）【答案】這條江的寬度AB約為732米【解析】在和中利用銳角三角函數(shù)用表示出的長然后計算出AB的長【詳解】解如圖∵∴在中∵∴米在中∵∴（米）∴（米）答這條江的寬度AB約為732米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．題目難度不大解決本題的關(guān)鍵是用含表示出的長．61．（2022·湖北武漢）小紅同學(xué)在數(shù)學(xué)活動課中測量旗桿的高度如圖已知測角儀的高度為1.58米她在A點觀測桿頂E的仰角為30°接著朝旗桿方向前進(jìn)20米到達(dá)C處在D點觀測旗桿頂端E的仰角為60°求旗桿的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)）【答案】旗桿的高度約為18.9米．【解析】過點D作DG⊥EF于點G設(shè)EG=x則EF=1.58+x．分別在Rt△AEG和Rt△DEG中利用三角函數(shù)解直角三角形可得AGDG利用AD=20列出方程進(jìn)而得到EF的長度．【詳解】解過點D作DG⊥EF于點G設(shè)EG=x由題意可知∠EAG=30°∠EDG=60°AD=20米GF=1.58米．在Rt△AEG中tan∠EAG=∴AG=x在Rt△DEG中tan∠EDG=∴DG=x∴x-x=20解得x≈17.3∵EF=1.58+x=18.9(米)．答旗桿的高度約為18.9米．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵．62．（2022·貴州銅仁）為了測量高速公路某橋的橋墩高度某數(shù)學(xué)興趣小組在同一水平地面CD兩處實地測量如圖所示．在C處測得橋墩頂部A處的仰角為和橋墩底部B處的俯角為在D處測得橋墩頂部A處的仰角為測得CD兩點之間的距離為直線在同一平面內(nèi)請你用以上數(shù)據(jù)計算橋墩的高度．（結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)）【答案】103米【解析】延長DC交AB于點E設(shè)CE=x米由題意可得AB⊥DE解Rt△AEC求得AE解Rt△BEC求得BE解Rt△AED求得DE根據(jù)CD=DE-CE列方程求得x即可【詳解】解延長DC交AB于點E設(shè)CE=x米∵ABCD在同一平面內(nèi)AB⊥水平地面點CD在同一水平地面∴AB⊥DERt△AEC中∠ACE=60°EC=x米則AE=EC?tan∠ACE=米Rt△BEC中∠BCE=40°EC=x米則BE=EC?tan∠BEC=0.84x米Rt△AED中∠D=30°AE=米則DE=AE÷tan∠D=3x米∵CD=DE-CE=3x-x=80米∴x=40米∴AB=AE+BE=米∴橋墩的高度為103米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用掌握正切三角函數(shù)的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．63．（2022·吉林）動感單車是一種新型的運動器械．圖①是一輛動感單車的實物圖圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架AB為調(diào)節(jié)管點ABC在同一直線上．已知BC長為70cm∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長度調(diào)至34cm時求點A到CD的距離AE的長度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)sin58°=0.85cos58°=0.53tan58°=1.60）【答案】點A到CD的距離AE的長度約為88cm．【解析】根據(jù)正弦的概念即可求解．【詳解】解在Rt△ACE中∠AEC=90°∠ACE=58°AC=AB+BC=34+70=104(cm)∵sin∠ACE=即sin58°=∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)∴點A到CD的距離AE的長度約為88cm．【點睛】本題考查的是解直角三角形的知識掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．64．（2022·山東威海）小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識測量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設(shè)立AB兩個觀測點然后選定對岸河邊的一棵樹記為點M．測得AB＝50m∠MAB＝22°∠MBA＝67°．請你依據(jù)所測數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)sin22°≈cos22°≈tan22°≈sin67°≈cos67°≈tan67°≈．【答案】約為1.7米【解析】過點M作MN⊥AB利用正切函數(shù)得出AN≈BN≈結(jié)合圖形得出然后求解即可．【詳解】解過點M作MN⊥AB根據(jù)題意可得∴AN≈∴BN≈∵AN+BN=AB=50∴解得MN=m∴河流的寬度約為1.7米．【點睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解決實際問題理解題意結(jié)合圖形進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．65．（2022·黑龍江綏化）如圖所示為了測量百貨大樓頂部廣告牌的高度在距離百貨大樓30m的A處用儀器測得向百貨大樓的方向走10m到達(dá)B處時測得儀器高度忽略不計求廣告牌的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)）【答案】4.9m【解析】先求出BC的長度再分別在Rt△ADC和Rt△BEC中用銳角三角函數(shù)求出ECDC即可求解．【詳解】根據(jù)題意有AC=30mAB=10m∠C=90°則BC=AC-AB=30-10=20在Rt△ADC中在Rt△BEC中∴即故廣告牌DE的高度為4.9m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．66．（2021·甘肅蘭州）避雷針是用來保護(hù)建筑物高大樹木等避免雷擊的裝置．如圖小陶同學(xué)要測量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長度（三點共線）在水平地面點測得點與大樓底部點的距離求避雷針的長度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)）【答案】【解析】根據(jù)然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解∵∴∵∴即解得m∵∴即解得m∴m．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用正確構(gòu)造直角三角形將實際問題轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問題是解答此題的關(guān)鍵．67．（2021·湖南湘潭）萬樓是湘潭歷史上的標(biāo)志性建筑建在湘潭城東北湘江的下游宋家橋．萬樓的外形設(shè)計既融入了皇家大院一類寺廟的莊嚴(yán)典雅也吸收了江南民居諸如馬頭墻貓拱背墻灰瓦等特色而最為獨特的還是萬樓“九五至尊”的結(jié)構(gòu)．某數(shù)學(xué)小組為了測量萬樓主樓高度進(jìn)行了如下操作用一架無人機(jī)在樓基A處起飛沿直線飛行120米至點B在此處測得樓基A的俯角為60°再將無人機(jī)沿水平方向向右飛行30米至點C在此處測得樓頂D的俯角為30°請計算萬樓主樓的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】米．【解析】利用俯角定義結(jié)合正弦正切的定義含30°角的直角三角形的性質(zhì)分別解得的長再計算AD的長即可．【詳解】解在中中（米）答萬樓主樓的高度為米．【點睛】本題考查解直角三角形涉及俯角問題含30°角的直角三角形是重要考點難度較易掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．68．（2020·西藏）如圖所示某建筑物樓頂有信號塔EF卓瑪同學(xué)為了探究信號塔EF的高度從建筑物一層A點沿直線AD出發(fā)到達(dá)C點時剛好能看到信號塔的最高點F測得仰角∠ACF＝60°AC長7米．接著卓瑪再從C點出發(fā)繼續(xù)沿AD方向走了8米后到達(dá)B點此時剛好能看到信號塔的最低點E測得仰角∠B＝30°．（不計卓瑪同學(xué)的身高）求信號塔EF的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】2米【解析】在Rt△ACF中根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AF＝AC?tan60°＝7米在Rt△ABE中根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AE＝AB?tan30°＝15×＝5米進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】解在Rt△ACF中∵∠ACF＝60°AC＝7米∴AF＝AC?tan60°＝7米∵BC＝8米∴AB＝15米在Rt△ABE中∵∠B＝30°∴AE＝AB?tan30°＝15×＝5米∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米）答信號塔EF的高度為2米．【點睛】本題考查了解直角三角形仰角俯角問題要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形難點是找到并運用題中相等的線段．69．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯）圖1是掛墻式淋浴花灑的實物圖圖2是抽象出來的幾何圖形．為使身高175cm的人能方便地淋浴應(yīng)當(dāng)使旋轉(zhuǎn)頭固定在墻上的某個位置O花灑的最高點B與人的頭頂?shù)你U垂距離為15cm已知龍頭手柄OA長為10cm花灑直徑AB是8cm龍頭手柄與墻面的較小夾角∠COA＝26°∠OAB＝146°則安裝時旋轉(zhuǎn)頭的固定點O與地面的距離應(yīng)為多少？（計算結(jié)果精確到1cm參考數(shù)據(jù)sin26°≈0.44cos26°≈0.90tan26°≈0.49）【答案】177cm【解析】記地面水平線為通過作輔助線構(gòu)造直角三角形分別在Rt和在Rt中根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OEBF而點B到地面的高度為175+15＝190cm進(jìn)而求OG即可．【詳解】解如圖過點B作地面的垂線垂足為D過點A作地面GD的平行線交OC于點E交BD于點F在Rt中∠AOE＝26°OA＝10則OE＝OA?cos∠AOE≈10×0.90＝9cm在Rt中∠BAF＝30°AB＝8則BF＝AB?sin∠BOF＝8×＝4cm∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm答旋轉(zhuǎn)頭的固定點O與地面的距離應(yīng)為177cm．【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用掌握構(gòu)造直角三角形與矩形利用銳角三角函數(shù)與矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．70．（2022·廣西河池）如圖小敏在數(shù)學(xué)實踐活動中利用所學(xué)知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量從小敏家陽臺C測得點A的仰角為33°測得點B的俯角為45°已知觀測點到地面的高度CD＝36m求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.55cos33°≈0.84tan33°≈0.65）．【答案】59m【解析】過點C作CE⊥AB于點E則∠AEC＝∠BEC＝90°先證明四邊形BECD是矩形BE＝CD＝36m在Rt△BCE中∠BCE＝45°BE＝CE＝CD＝36m在Rt△ACE中∠ACE＝33°CE＝36m求得AE≈23.4m進(jìn)而得到居民樓AB的高度．【詳解】解如圖過點C作CE⊥AB于點E則∠AEC＝∠BEC＝90°由題意可知∠CDB＝∠DBE＝90°∴四邊形BECD是矩形∴BE＝CD＝36m由題意得CD＝36m∠BCE＝45°∠ACE＝33°在Rt△BCE中∠BCE＝45°∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°∴∠EBC＝∠BCE∴BE＝CE＝CD＝36m在Rt△ACE中∠ACE＝33°CE＝36m∴AE＝CEtan33°≈23.4m∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）．答居民樓AB的高度約為59m．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的仰角俯角問題熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．71．（2022·甘肅蘭州）如圖小睿為測量公園的一涼亭AB的高度他先在水平地面點E處用高1.5m的測角儀DE測得然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點G處在點G處用高1.5m的測角儀FG測得．求涼亭AB的高度．（ACB三點共線．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)）【答案】m【解析】根據(jù)題意可得BC＝FG＝DE＝1.5DF＝GE＝3∠ACF＝90°然后設(shè)CF＝x則CD＝（x+3）先在Rt△ACF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長再在Rt△ACD中利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解由題意得BC＝FG＝DE＝1.5DF＝GE＝3∠ACF＝90°設(shè)CF＝x∴CD＝CF+DF＝（x+3）在Rt△ACF中∠AFC＝42°∴AC＝CF?tan42°≈0.9x（m）在Rt△ACD中∠ADC＝31°∴tan31°∴x＝6經(jīng)檢驗x＝6是原方程的根∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）∴涼亭AB的高約為6.9m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．72．（2022·江蘇鹽城）2022年6月5日“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機(jī)器人示意圖是垂直于工作臺的移動基座為機(jī)械臂mmm．機(jī)械臂端點到工作臺的距離m．(1)求兩點之間的距離(2)求長．（結(jié)果精確到0.1m參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【解析】（1）連接過點作交的延長線于根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點作垂足為根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．(1)解如圖2連接過點作交的延長線于．在中所以所以在中mm根據(jù)勾股定理得m答兩點之間的距離約6.7m．(2)如圖2過點作垂足為則四邊形為矩形m所以m在中mm根據(jù)勾股定理得m．m．答的長為4.5m．【點睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（如果沒有直角三角形設(shè)法構(gòu)造直角三角形）再利用銳角三角畫數(shù)求解73．（2022·廣東廣州）某數(shù)學(xué)活動小組利用太陽光線下物體的影子和標(biāo)桿測量旗桿的高度．如圖在某一時刻旗桿的AB的影子為BC與此同時在C處立一根標(biāo)桿CD標(biāo)桿CD的影子為CECD=1.6mBC=5CD．(1)求BC的長(2)從條件①條件②這兩個條件中選擇一個作為已知求旗桿AB的高度．條件①CE=1.0m條件②從D處看旗桿頂部A的仰角為54.46°．注如果選擇條件①和條件②分別作答按第一個解答計分．參考數(shù)據(jù)sin54.46°≈0.81cos54.46°≈0.58tan54.46°≈1.40．【答案】(1)(2)①②旗桿AB高度約．【解析】（1）根據(jù)BC=5CD求解即可（2）①CE=1.0m時連接DE則有△DEC∽△ACB根據(jù)相似的性質(zhì)求解即可②當(dāng)時作點D到AB的垂線段DF在Rt△ADF中求出進(jìn)一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．(1)解．(2)解①CE=1.0m時連接DE則有△DEC∽△ACB∴∴②當(dāng)時作點D到AB的垂線段DF則四邊形BCDF是矩形FB=DC=1.6mFD=BC=8.0mRt△ADF中∴．∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗桿AB高度約12.8m．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)解直角三角形近似運算．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)解直角三角形．74．（2022·遼寧大連）如圖蓮花山是大連著名的景點之一游客可以從山底乘坐索道車到達(dá)山項索速車運行的速度是1米/秒小明要測量蓮花山山頂白塔的高度他在索道A處測得白塔底部B的仰角的為測得白塔頂部C的仰角的為．索道車從A處運行到B處所用時間的為5分鐘．(1)索道車從A處運行到B處的距離約為________米(2)請你利用小明測量的數(shù)據(jù)求白塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)300(2)白塔的高度約為米．【解析】（1）由路程等于速度乘以時間即可得到答案（2）由題意可得而再求解再利用再解方程即可．(1)解∵索速車運行的速度是1米/秒索道車從A處運行到B處所用時間的為5分鐘∴（米）故答案為300(2)解由題意可得而∴∴所以白塔的高度約為米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用熟練的利用三角函數(shù)建立方程是解本題的關(guān)鍵．75．（2022·青海）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展科學(xué)幻想變?yōu)楝F(xiàn)實.如圖1是我國自主研發(fā)的某型號隱形戰(zhàn)斗機(jī)模型全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機(jī)亮點之一.圖2是垂尾模型的軸切面并通過垂尾模型的外圍測得如下數(shù)據(jù)且求出垂尾模型ABCD的面積.（結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)）

圖1

圖2【答案】24【解析】過作垂直的延長線于交于點構(gòu)建等直角三角形則在直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半即可求出CF勾股定理求出DF即可．在根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出△DAE的底和高即可求出面積．【詳解】解過作垂直的延長線于交于點．∵∴∴在中∴∵∴∴．在和中∴．∴∵∴∴∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)三角形的全等以及勾股定理根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形根據(jù)勾股定理求出三角形的各邊是解題的關(guān)鍵．76．（2022·貴州貴陽）交通安全心系千萬家．高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測速儀和測速儀到路面之間的距離測速儀和之間的距離一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛在測速儀處測得小汽車在隧道入口點的俯角為25°在測速儀處測得小汽車在點的俯角為60°小汽車在隧道中從點行駛到點所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內(nèi)）．(1)求兩點之間的距離（結(jié)果精確到1m）(2)若該隧道限速22m/s判斷小汽車從點行駛到點是否超速？通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)760米(2)未超速理由見解析【解析】（1）分別解求得根據(jù)即可求解（2）根據(jù)路程除以速度進(jìn)而比較即可求解．(1)四邊形是平行四邊形四邊形是矩形在中在中答兩點之間的距離為760米(2)小汽車從點行駛到點未超速．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．77．（2021·山東青島）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動準(zhǔn)備測量一棟大樓的高度．如圖所示其中觀景平臺斜坡的長是20米坡角為斜坡底部與大樓底端的距離為74米與地面垂直的路燈的高度是3米從樓頂測得路燈項端處的俯角是．試求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)）【答案】96米【解析】延長AE交CD延長線于M過A作AN⊥BC于N則四邊形AMCN是矩形得NC=AMAN=MC由銳角三角函數(shù)定義求出EMDM的長得出AN的長然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長即可求解．【詳解】延長交于點過點作交于點由題意得∴四邊形為矩形∴.在中∴∴∴∴.在中∴∴∴∴.答大樓的高度約為96米.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題坡度坡角問題根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．78．（2021·四川內(nèi)江）在一次課外活動中某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度．如圖所示測得斜坡的坡度坡底的長為8米在處測得樹頂部的仰角為在處測得樹頂部的仰角為求樹高．（結(jié)果保留根號）【答案】米．【解析】作BF⊥CD于點F設(shè)DF=x米在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長在直角△DCE中表示出CE的長然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值進(jìn)而求得CD的長．【詳解】解作于點設(shè)米在中則（米∵且AE=8∴∴在直角中米在直角中米．即．解得則米．答的高度是米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題坡度坡角問題掌握仰角俯角的概念熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．79．（2021·廣西河池）如圖小明同學(xué)在民族廣場A處放風(fēng)箏風(fēng)箏位于B處風(fēng)箏線AB長為從A處看風(fēng)箏的仰角為小明的父母從C處看風(fēng)箏的仰角為．（1）風(fēng)箏離地面多少m？（2）AC相距多少m？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位參考數(shù)據(jù)）【答案】（1）50（2）128.6【解析】（1）如圖過作根據(jù)的正弦及的長即可求得即風(fēng)箏的高度（2）分別根據(jù)的余弦以及的正切求得進(jìn)而求得．【詳解】（1）如圖過作m風(fēng)箏離地面50m（2）相距128.6m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．80．（2021·遼寧鞍山）小明和小華約定一同去公園游玩公園有南北兩個門北門A在南門B的正北方向小明自公園北門A處出發(fā)沿南偏東方向前往游樂場D處小華自南門B處出發(fā)沿正東方向行走到達(dá)C處再沿北偏東方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示）兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)）【答案】【解析】作于E于F易得四邊形BCFE是矩形則設(shè)則在中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到在中根據(jù)題意得到求得x的值然后根據(jù)勾股定理求得AE和BE進(jìn)而求得AB．【詳解】解如圖作于E于F四邊形BCFE是矩形設(shè)則在中在中解得由勾股定理得答公園北門A與南門B之間的距離約為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題正確構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．81．（2020·四川巴中）如圖海面上產(chǎn)生了一股強(qiáng)臺風(fēng)．臺風(fēng)中心A在某沿海城市B的正西方向小島C位于城市B北偏東29°方向上臺風(fēng)中心沿北偏東60°方向向小島C移動此時臺合風(fēng)中心距離小島200海里．（1）過點B作于點P求的度數(shù)（2）據(jù)監(jiān)測在距離臺風(fēng)中心50海里范圍內(nèi)均會受到臺風(fēng)影響（假設(shè)臺風(fēng)在移動過程中風(fēng)力保持不變）．問在臺風(fēng)移動過程中沿海城市B是否會受到臺風(fēng)影響？請說明理由．（參考數(shù)）【答案】（1）59°（2）沿海城市B不會受到臺風(fēng)影響見解析【解析】（1）先由∠MAC=60°知∠BAC=30°再由BP⊥AC知∠ABP=60°結(jié)合∠CBN=29°∠ABN=90°得∠ABC=119°繼而根據(jù)∠PBC=∠ABC-∠