數(shù)學(xué)高考模擬卷含答案

高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.已知集合4={+l<x<3},8={0,2,4},則AD8=.

2.已知i虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i-（l+i）,貝1z[=.

（21in\fx=1

3.若線性方程組的增廣矩陣為八，，其解為《.，則加+“=_____________.

（01n）[y=2

4.（2+x）4二項(xiàng)展開式中爐的系數(shù)為

5.若函數(shù)/（x）=log2（x+m）+2反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,貝ij〃3）=,

6.已知圓錐的底面半徑為lc〃z,側(cè)面積為24。加2,則母線與底面所成角的大小為.

7.已知實(shí)數(shù)八》滿足》+2丁=3,則2，+4''的最小值為.

l,n=1

8.己知數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為Y，S.是數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，則limS“=,

2

9.已知拋物線：/=2px（p>0）上一點(diǎn)/（1,m）到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線C：丁―斗=1（0>0）的左

頂點(diǎn)為A,若雙曲線C的一條漸近線與直線A"垂直，則雙曲線。的焦距為.

10.四名志愿者參加某博覽會(huì)三天活動(dòng)，若每人參加一天，每天至少有一人參加，其中志愿者甲第一天不

能參加，則不同的安排方法一共有種（結(jié)果用數(shù)值表示）

11.已知集合4=卜忖=2〃-1,〃6?4*},B={x|x=2",〃eN*},將AU8中的所有元素按從小到大的順

序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{%},設(shè)數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為s“，則使得S“>1000成立的最小的〃的值為

12.已知平面向量￡,石，￡滿足同=1,|4=2,a2=a-b^2^=b-c'貝?噂一a?+1小的最小值為

二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.已知xeR,則“岡>1''是“》>1”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.下列命題中，正確的是()

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.若直線/與平面a上的無數(shù)條直線都垂直，則

D.若。、b、c是三條直線，。〃匕且與c都相交，則直線a、b、c在同一平面上

15.已知函數(shù)/(x)=2sinqsinx+Gcosx)-l的定義域?yàn)閇〃[,〃](〃?<〃)，值域?yàn)閇-2,1],則〃一，〃的

值不可能為()

57r7t7"3兀

A.—B.—C.—D.—

122124

16.若存在實(shí)數(shù)。，使得當(dāng)x40,%](m>0)時(shí)，都有|2工一1|+k2-444,則實(shí)數(shù)加的最大值為()

5

A.1BC.2D.

-l2

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，直三棱柱中，AB1AC,AB=AC=A4,=2,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).

(1)求三棱錐G-ACO的體積；

(2)求異面直線AC與G。所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

18.在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,a=5,b=S

4

(1)若cosB=-§，求A和AABC外接圓半徑R的值；

(2)若三角形的面積求c

19.某公司2021年投資4千萬元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，計(jì)劃從2022年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼

續(xù)投資1千萬元用于新產(chǎn)品的維護(hù)與生產(chǎn)，2021年新產(chǎn)品帶來的收入為0.5千萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份

里新產(chǎn)品帶來的收入均在上年度收入的基礎(chǔ)上增長25%.記2021年為第1年，/(")為第1年至此后第

年的累計(jì)利潤(注：含第〃年，累計(jì)利潤=累計(jì)收入-累計(jì)投入，單位：千萬元)，且當(dāng)/(〃)為正

值時(shí)，認(rèn)為新產(chǎn)品贏利.

⑴試求/(〃)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)預(yù)測，該新產(chǎn)品將從哪一年開始并持續(xù)贏利?請說明理由.

22

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓二+二=1(">〃>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)

ab~

為F,且橢圓「過點(diǎn)(0,非)、(21)，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓「交于尸、。兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸的上方).

(1)求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若際+2礪=6，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為占、k2,是否存在常數(shù)2,使得匕+丸&2=0?若存在，請求出義的值；若

不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)>=/(力的定義域?yàn)閰^(qū)間Q,若對于給定的非零實(shí)數(shù)如存在%,使得/(/)=/(%+加)，

則稱函數(shù)>=/(x)在區(qū)間D上具有性質(zhì)P(m).

⑴判斷函數(shù)/(x)=f在區(qū)間［―1,1］上是否具有性質(zhì)并說明理由；

⑵若函數(shù)〃x)=sinx在區(qū)間(0,〃)(〃>0)上具有性質(zhì)求〃取值范圍；

⑶已知函數(shù)y=的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且/(0)=/(2),求證：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,2］上

具有性質(zhì)尸

答案與解析

一、填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1.已知集合4={%|-1<1<3},3={0,2,4},則AD8=.

［答案］{0,2}

［解析］

［分析］根據(jù)集合交集的定義計(jì)算.

［詳解］由已知AcB={0,2}.

故答案為：{0,2}.

2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i-(l+i),則回=.

［答案

［解析］

［分析］化簡復(fù)數(shù)，再代入模長計(jì)算公式即可.

［詳解］化簡原式，得z=i-(i+i)=i+i2=-i+i,所以目=J(—ly+r=及.

故答案為：V2

(x-1

3.若線性方程組的增廣矩陣為八，，其解為<則加+〃=.

(01n)［y=2

［答案J6

［解析］

分析］根據(jù)增廣矩陣表示出線性方程組，代入解后求出加和〃，即可求解.

2x+y=m

［詳解］根據(jù)題意，可知線性方程組為〈

y-n

x=12+2=m

因其解為〈c

卜=22=〃n=2

故m+〃=6.

故答案為：6.

4.(2+x)4的二項(xiàng)展開式中/的系數(shù)為

［答案］24

I解析］

［分析］根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.

［詳解懈：（2+x）4展開式通項(xiàng)公式為或+I=仁2j/,左=0,1,2,3,4,

故當(dāng)攵=2時(shí)，（2+x）4的二項(xiàng)展開式中/的項(xiàng)為=《22*2,其系數(shù)為24.

故答案為：24

5.若函數(shù)/（x）=log2（x+m）+2的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,貝ij.f（3）=一一.

［答案］4

［解析］

［分析］由題意可得/（1）=3,由此可求得實(shí)數(shù)陽的值，進(jìn)而可得/（x）=log2（x+l）+2,即可得解.

［詳解］由于函數(shù)〃x）=log2（x+〃?）+2的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,

則/（l）=l°g2（l+m）+2=3,解得加=1,

二函數(shù)〃x）=log2（x+l）+2，

.\/（3）=log2（3+l）+2=4.

故答案為：4.

6.已知圓錐的底面半徑為1cm,側(cè)面積為2萬cm?,則母線與底面所成角的大小為.

［答案號

［解析］

［分析］

由圓錐的底面半徑為\cm和側(cè)面積,求出圓錐的母線長，即可求得答案.

［詳解］設(shè)底面半徑為J母線M長為/，底面中心為0,

如圖：

解得：/=2

r)A\

在心中,cos/SAO=w

71

/.ZSAO=-

3

jr

故母線與底面所成角的大小為:一.

3

故答案為:上7t.

3

［點(diǎn)睛］本題主要考查了求母線和底面夾角，解題關(guān)鍵是掌握圓錐的特征，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足x+2y=3,則2*+4'的最小值為.

［答案14夜

［解析］

［分析］利用基本不等式可得2"+4「>2"而，即求.

［詳解］依題意2、+4,=2X+22y>2,2'.22y=212g=4夜，

當(dāng)且僅當(dāng)2*=22，，即x=2y=g時(shí)等號成立.

所以2*+4V的最小值為472■

故答案為：4a.

1,〃=

8.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=］1jc，s”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則J吧s,=___________.

n>2

3

［答案］一##1.5

2

［解析］

［分析］先求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和s“，當(dāng)〃=1時(shí)，S|=l；當(dāng)〃》2時(shí)，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)

列求和公式求解，然后求s“極限.

Ui-仕門fi，〃=i

［詳解］當(dāng)〃=1時(shí)，E=i；當(dāng)〃22時(shí)，s,=

3

所以limS〃=lim

M->00”TOO2

3

故答案為：一

2

9.已知拋物線丁=2〃%（，＞0）上一點(diǎn)M（l,加）到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線C：5=1。＞0）的左

頂點(diǎn)為A,若雙曲線C的一條漸近線與直線A"垂直，則雙曲線。的焦距為.

［答案］6

［解析］

［分析］利用拋物線焦點(diǎn)弦公式求得P=8,從而得M的坐標(biāo)，由題意得A的坐標(biāo)，再計(jì)算直線40的斜率,

又因?yàn)殡p曲線漸近線方程y=±版，由兩直線垂直列式求解6,從而得雙曲線的焦距.

［詳解］由拋物線定義可知，1+^=5,得。=8,所以拋物線方程為y2=i6x,則M（l,4）或〃（1,-4）,

4-0

設(shè)M（l,4）,由題意得A（—l,0）,則陽M=717=2,又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為產(chǎn)士歷:，因?yàn)殡p曲

線C的一條漸近線與直線40垂直，所以2x（—份=-1,得。=1，則。=獷/=］工=好，所

2V42

以雙曲線的焦距為2c=石.

故答案為：石

10.四名志愿者參加某博覽會(huì)三天的活動(dòng)，若每人參加一天，每天至少有一人參加，其中志愿者甲第一天不

能參加，則不同的安排方法一共有種（結(jié)果用數(shù)值表示）

［答案］24

［解析］

［分析］由題意，先分組再分配，先將四名志愿者分為三組，然后按照特殊元素優(yōu)先考慮再進(jìn)行分配，從而求

解出不同安排方法種數(shù).

C2cl

［詳解］由題意，將四名志愿者先分為三組，有十一6種，因?yàn)橹驹刚呒椎谝惶觳荒軈⒓?，所以有C；曷=4

A,

種分配方式，所以不同的安排方法一共有6x4=24種.

故答案為：24

11.已知集合人=卜卜=2〃-1,〃6河'｝,B=｛x|x=2",〃eN*｝,將AU8中的所有元素按從小到大的順

序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛6,｝，設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為s“，則使得s“>1000成立的最小的〃的值為

［答案］36

［解析］

［分析］由題可得2"為數(shù)列｛。"｝的2"-'+〃項(xiàng)，且利用分組求和可得S*+“=4"T+2"+,-2,通過計(jì)算即得.

［詳解］由題意，對于數(shù)列｛4｝的項(xiàng)2"，其前面的項(xiàng)1，3,5,…，2"-1eA，共有2'”項(xiàng)，2,22,2，,…,2"eB,

共有〃項(xiàng)，所以2"為數(shù)列｛4｝的2"T+〃項(xiàng)，

且“=［（2xl_l）+（2x2—l）+…+（2X2"T_1）］+（2+22+???+2"）=4"T+2"M_2.

可算得26T+6=38（項(xiàng)），/8=64,$38=1150,

因?yàn)?7=63,tz36=61,a35=59,所以$37=1°86,S36=1023,S35=962,

因此所求〃的最小值為36.

故答案為：36.

12.已知平面向量b>"滿足問=1，忖=2,a2=ab'2c=b~c'貝屋一:+L的最小值為

［答案七一6

2

［解析］

［分析］令礪=￡，OB=b>OC=C'08的中點(diǎn)為。，AB的中點(diǎn)為E,。。的中點(diǎn)為凡［與分的夾角為

。，由題意，計(jì)算。=?,|福卜6,判斷出點(diǎn)C的軌跡為以。。為直徑的圓，利用向量基底表示，將

2（*彳+|］一仆2網(wǎng)+網(wǎng)）轉(zhuǎn)化為2（『,一邛）=4同2+3,然后轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到

定點(diǎn)距離的最小值進(jìn)而求解最小值.

［詳解］令d=￡，OB=b'OC=c>。8的中點(diǎn)為O,AB的中點(diǎn)為E,。。的中點(diǎn)為F,

￡與5的夾角為。，連接CA、CB、C0、CO、EE由同=1,忖=2,/=￡/，得1=lx2xcos。，cos6=；,

因?yàn)?。w［0,乃］,所以。=《，在△Q48中，由余弦定理得|而|=G.

7-b

又由江=21,得。c—不=0,所以點(diǎn)c的軌跡為以on為直徑的圓.

因?yàn)?（|￡_￡1+卜_@2）=2（|衣元］）=21］反+g而j+（反福J］、,屈通『

=4C￡2+3>4^EF+3=7-26，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、F共線，且點(diǎn)C在點(diǎn)E、F之間時(shí)，等號成立.

-_2__27I-

所以c-a+c-b的最小值為-s/3.

2

故答案為：—

2

［點(diǎn)睛］求解向量模的最值問題時(shí)，一般需要利用數(shù)形結(jié)合法，解答本題的關(guān)鍵是將求向量模長最值轉(zhuǎn)化為圓

上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值求解.

二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.已知xeR,則“兇>1"是'”>1”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

［答案］B

［解析］

［分析］解不等式轉(zhuǎn)化條件，結(jié)合充分必要性定義即可作出判斷.

［詳解］由N>1得x<-1或x>1,

.?.“國>1”是“x>1”的必要非充分條件.

故選：B.

14.下列命題中，正確的是()

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.若直線/與平面。上的無數(shù)條直線都垂直，則

D.若a、b、c是三條直線，a〃人且與c都相交，則直線“、b、c在同一平面上

［答案］D

［解析］

［分析］利用空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系直接判斷.

［詳解］A.不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

B.由墻角模型，顯然B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線/與平面。內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線/與平面a垂直，若直線/與

平面e內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線/與平面a不一定垂直，故C錯(cuò)誤；

D.因?yàn)椤?//?,所以a、方確定唯一一個(gè)平面，又。與a、都相交，故直線a、b、c共面，故D正確；

故選：D.

15.已知函數(shù)/(x)=2sinMsinx+Gcosx)-1的定義域?yàn)椋邸ǎ?〃］(〃?<〃)，值域?yàn)?則〃-m的

值不可能為()

5萬717萬3兀

A.—B.—C.—D.—

122124

［答案］D

［解析］

［分析］化簡函數(shù)解析式得小)=2呵2工一荒，根據(jù)其值域［—2,1］,可得2T=2版■+?,

77r7TTC

2k7v——<2m一一<2k7r——(ZeZ),求解出對應(yīng)的范圍，代入即可得〃一加的范圍.

662

［詳解］由/(x)=2sinX,inx+75cosx)-1化簡得/(x)=2sin(2x-看).

因?yàn)槠渲涤驗(yàn)椋?2,1］,不妨設(shè)2〃-巳=2左乃+軍,2k?！?lt;2m-—<2k,7f--(kGZ),

66662V7

即〃=ATT+巴，k7i-—<m<k7i-—(k&7j\,則得工4〃一?7?4目■.

626V'33

故選：D.

16.若存在實(shí)數(shù)。，使得當(dāng)xw［O,m］(加>0)時(shí)，都有|2x—1|+,2-444,則實(shí)數(shù)加的最大值為()

35

A.1B.-C.2D.-

22

［答案］C

［解析］

［分析］由各選項(xiàng)知最大值加之1,

355

由|2x—l|V4,解得—/WxW］,這樣必須有機(jī)4；,然后不等式變形為

x2-4+|2x-l|<iz<x2+4-|2x-1|,

記/(x)=d+4—|2x—1|,^(X)=X2-4+|2X-1|,分類討論去年絕對值符號，可得“幻的最小值是3,

因此g(x)的最大值性質(zhì)不大于3,才存在。保證不等式恒成立，由最大值g(根)43可得”的范圍，得加的

最大值.

［詳解］解：由各選項(xiàng)知最大值加之/,

355

因?yàn)閨2%一1|44,解得一所以機(jī)4二.

不等式|2x-+k—-6f|<4可化為f_4+|2x-Wa?f+4-|2x_1|.

設(shè)/(X)=JT+4-|2x-l|,g(x)=j?-4+|2x-l|,

X2+2X+3|0<X<-|

>(的最小值為3,

因?yàn)?(x)=?

x2-2x+5(—<x<m

12

所以當(dāng)xw［O,m］(加＞0)時(shí)，者B有g(shù)(x)W3.

若XG0,—,g(x)=x?-2x-3?-3；

若尤w,g(x)=d+2x-5W3,所以蘇+2加一8W0，解得加W2.

綜上，所求實(shí)數(shù)〃，的最大值為2.

故選：C.

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，直三棱柱ABC—A4G中，ABYAC,A8=AC=A4,=2,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).

(1)求三棱錐a-AC。的體積;

(2)求異面直線AC與G。所成角的大小?(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

2

［答案］⑴5

(2)arccos—

6

［解析］

［分析］(D由題意先計(jì)算"8的面積，然后代入三棱錐體積公式計(jì)算即可；(2)由題意可判斷直線4G與

所成的角就是異面直線AC與G。所成的角，分別計(jì)算G。、4。，利用余弦定理計(jì)算cosNAG。，

即可得答案.

［小問1詳解］

由題意得

SZMCD=gxS%cABxAC)=gx(gx2x2)=l

112

所以三棱錐G-ACO的體積％“OMGXSAAOXCGM7XIXZM；；.

2

即所求G—ACO三棱錐的體積為y.

［小問2詳解］

連接4。，由題意得BC=+402=20，AD=；BC=e,且AC〃4G，

所以直線4G與G。所成的角就是異面直線AC與C}D所成的角.

22

在AAG。中，AG=2,CQ=Jee；+CD?=卜+=EA］D=y］AA.+AD=>/6.

由余弦定理得cos/*Q=小齡鏟L

因?yàn)?所以NAC|O=arccos^--

6

因此所求異面直線AC與G。所成角的大小為arccos逅.

6

18.在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為。、b、c,。=5,0=6.

4

⑴若cosB=-『求A和AABC外接圓半徑R的值；

(2)若三角形的面積SA=里2，求a

△4

jr

［答案］(1)A=/，R=5；

6

(2)c=4或c=JI而.

［解析］

3

［分析］(1)由題可得sin6=w，利用正弦定理即求；

(2)利用三角形面積公式可得sinC=X7,再利用同角關(guān)系式及余弦定理即求.a

4

［小問1詳解］

因?yàn)閏osB=-：,則■，乃)，且sin8=Jl-cos?B

ab---=—=2R

由正弦定理，得二一=--=2R,即sinA3,

sinAsinn二

即sinA=',R=5,

2

因?yàn)镼VZ?,所以

TT

因此A=—,R=5；

6

［小問2詳解］

,1577

由&=彳必sin。得2sA4一幣,

2sinc=----=---------=---

ab5x64

于是cosC-±Jl-sin?C=±3.

4

33

當(dāng)cosC=一時(shí)，由余弦定理，f#c2=52+62-2x5x6x-=16.

44

當(dāng)cosC=-q時(shí),由余弦定理，^c2=52+62-2x5x6xf—^j=106.

所以，。=4或。=J106.

19.某公司2021年投資4千萬元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，計(jì)劃從2022年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼

續(xù)投資1千萬元用于新產(chǎn)品的維護(hù)與生產(chǎn)，2021年新產(chǎn)品帶來的收入為0.5千萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份

里新產(chǎn)品帶來的收入均在上年度收入的基礎(chǔ)上增長25%.記2021年為第1年，/(〃)為第1年至此后第

〃(〃wN*)年的累計(jì)利潤(注：含第〃年，累計(jì)利潤=累計(jì)收入-累計(jì)投入，單位：千萬元)，且當(dāng)/(〃)為正

值時(shí)，認(rèn)為新產(chǎn)品贏利.

⑴試求/(〃)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)預(yù)測，該新產(chǎn)品將從哪一年開始并持續(xù)贏利?請說明理由.

/cY

［答案］(1)/(“)=2］彳1-〃_5(〃eN*)

(2)該新產(chǎn)品將從2029年開始并持續(xù)贏利，理由見解析

［解析］

［分析］(1)由題意求出累計(jì)投入，可判斷出每年的收入為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解出累計(jì)收入,

從而表示出了(〃)；

⑵由⑴可得“〃+1)-/(〃)=平］-1,根據(jù)/(〃+1)-/(〃)的正負(fù)判斷出/(〃)從第4項(xiàng)開始單調(diào)

2\4>

遞增，再判斷了(D,/(8),/(9)的正負(fù)，從而判斷出該新產(chǎn)品將從第9年開始并持續(xù)贏利.

［小問1詳解］

由題意知，第1年至此后第年的累計(jì)投入為4+(〃-1)=〃+3(千萬元).

設(shè)第〃年的收入為4,前"年的累計(jì)收入為S“,

由題意得a“+i=a“x(l+25%)=，

所以數(shù)列｛4｝是以J為首項(xiàng)、以1為公比的一個(gè)等比數(shù)列，則有為=；(：)(千萬元),

所以/(〃)=S”一(〃+3)=2-1—”—3,即/(n)=2-〃一5(千萬元).

所以/(〃)的表達(dá)式為/(〃)=2-〃-5(〃GN)

［小問2詳解］

"5丫

因?yàn)?(〃+1)_/(幾)=不7一1’

所以當(dāng)〃43時(shí)，〃〃+1)—4(〃)<0,即/(〃)單調(diào)遞減,

當(dāng)〃24時(shí)，/(/i+l)-/(n)>0,即/(〃)單調(diào)遞增，

7，八8八、9

又/⑴=一萬<0，〃8)=2?！?—5<0,49)=2-9-5>0,

所以該新產(chǎn)品將從第9年開始并持續(xù)贏利.

所以該新產(chǎn)品將從2029年開始并持續(xù)贏利.

［點(diǎn)睛］解答本題的關(guān)鍵是，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解，求解第二問時(shí)，需要判斷/(〃)的單調(diào)

性，此時(shí)可通過判斷/(〃+1)-./?(〃)<()(或/(〃+1)—/(")>0)進(jìn)行判斷，從而降低利用導(dǎo)數(shù)判斷其單

調(diào)性的難度.

22

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓「：0+2=1(?！?>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)

為F,且橢圓「過點(diǎn)倒,、6)、(2,1),過點(diǎn)尸的直線/與橢圓「交于P、。兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸的上方).

(D求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若際+2礪=6，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為匕、&2,是否存在常數(shù)2,使得勺+，%2=0?若存在，請求出4的值;

若不存在，請說明理由.

22

［答案］(1)二+匕=1

95

(3)存在，2=

［解析］

［分析］(1)代入已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求得。力得橢圓方程；

⑵設(shè)尸(石，兇)(凹＞0),。(工2，%)?由萬+2礪=6，可用玉，M表示出苫2，%，然后把P，。的坐標(biāo)代

入橢圓方程可解得王，X；

(3)設(shè)存在常數(shù)/I,使得匕+〃2=0?由題意可設(shè)直線/的方程為％=，2+2,點(diǎn)尸(％，x),Q(x2,y2),

%

、k.%,+3v,(x.-3)A-3

求出一2一二〉士,把(9,為)代入橢圓方程，變形出一一，代入把2表示出y％，

&%%(玉+3)%

%2—3

M+%的表達(dá)式.然后把直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得》|+%，乂月，再代入X的表達(dá)式可得

常數(shù).

［小問1詳解］

b=y[5

因?yàn)闄E圓「過點(diǎn)（0,6）、（2,$,則有＜a=3

425，解得

方麗=1b=E

22

所以橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

95

［小問2詳解］

設(shè)P（%,y）（y＞（））,。（孫冉）?由⑴知，尸（2,0）.

因?yàn)槿f+2礪=6,則有（2-%，-%）+2（2-積一%）=（。,0），

即（6-西-2x2,-y,-2^2）=（0,0）,

_6-X]

6—X—2x=0,

所以《二?八解得《2

If-2y2=0,_A

%=2，

6f_2L

即Q

2'2

r2V2

分別將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入土+二=1得

95

22

入?,M

----11,33

9----5玉=“玉=7

22解得《（舍）或，

_A5垂）5垂）

y產(chǎn)一丁

--------F------1,乂=丁

95

（3573

所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為「工

［小問3詳解］

設(shè)存在常數(shù)2,使得K+2&=0.由題意可設(shè)直線/的方程為x=/2+2,點(diǎn)P（x”y）,Q（w，%）,則

?

k、=玉+3_弘（々-3）

k2%>2a+3）

%2—3

22

即點(diǎn)5(X2+3)

又因?yàn)?-+2-1,即

2

95x2-99%

-9)訪

所以一九一

5(x)+3)(X2+3)5(/畔+5)(/佻+5)

一9y%

即一九

5[療“%+5/〃(”+%)+25]

x=my+2,

又由《%22得(5病+9)V+20沖_25=0,△=900"+1)>0,

——+—=1,

I95

「20m25

且f=一?代入(*)得

5"+9

-+5%+9

￡

—Z=

25+5,〃一―5

5irr+25

5m2+9(5m2+9

即/i=T

所以存在常數(shù)幾=—使得匕+2e=0.

21.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間。，若對于給定的非零實(shí)數(shù)，小存在/,使得./■(%)=/(玉)+m),

則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上具有性質(zhì)p(m).

⑴判斷函數(shù)/(X)=f在區(qū)間［-1,1］上是否具有性質(zhì)并說明理由;

⑵若函數(shù)/(X)=sinx在區(qū)間＞0)上具有性質(zhì),求n的取值范圍;

(3)已知函數(shù)y=/(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且/(0)=〃2),求證：函數(shù)y=〃x)在區(qū)間［0,2］上

具有性質(zhì)產(chǎn)(；)

［答案］(1)具有性質(zhì)Pg)

,理由見解析

(3)證明見解析

［解析］

(1A21

［分析］⑴由題可得片=%+已，則%)=一工，結(jié)合條件即得;

\2)4

，1A347T54

(2)由sin.%=sinx0?解得玉)=Z乃+可，x0+—=^+―G(O,n)(A:eN),可得即

得；

⑶設(shè)g(x)=/(x)_/(x+；),XG0,1,可得

g(O)+g…+g(浮)+…+gC)=/(2)-/(0)=0,當(dāng)