地球物理地震正演模擬方法

地球物理地震正演模擬方法第1頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四地球物理學(xué)的問(wèn)題正演問(wèn)題反演問(wèn)題按事物一般原理（或模型）及相關(guān)的條件（初始條件、邊界條件）來(lái)預(yù)測(cè)事物的結(jié)果（可由觀(guān)測(cè)可得據(jù)地球物理場(chǎng)的實(shí)際觀(guān)測(cè)值（有時(shí)也用理論計(jì)算值）定量或定性解釋推斷地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)（地質(zhì)體形態(tài)和巖層物性）?；A(chǔ)目的應(yīng)用地球物理學(xué)的基本方程式——阻尼標(biāo)量波動(dòng)方程式中，u表示地球物理場(chǎng)的一種，如聲場(chǎng)．電磁場(chǎng)的某一分量等；f(x,t)為源函數(shù)；x為空間的一個(gè)點(diǎn)；t為時(shí)間；系數(shù)h和g對(duì)不同場(chǎng)有不同的物理意義。第2頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四位場(chǎng)：在場(chǎng)源外區(qū)域滿(mǎn)足拉普拉斯方程的物理場(chǎng)稱(chēng)為，如重力場(chǎng)、磁場(chǎng)和穩(wěn)定電流場(chǎng)波場(chǎng)：在場(chǎng)源外區(qū)域滿(mǎn)足波動(dòng)方程或擴(kuò)散方程的物理場(chǎng)，如電磁場(chǎng)、彈性波場(chǎng)第3頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四選擇計(jì)算方法，編制計(jì)算程序，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。數(shù)學(xué)模擬方法求解地球物理正演問(wèn)題的一般步驟：第一步，地質(zhì)建模：據(jù)研究對(duì)象和問(wèn)題建立地球模型或地質(zhì)結(jié)構(gòu)模型；第二步，數(shù)學(xué)建模：據(jù)使用的物理手段和地球模型建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步，模擬計(jì)算：求解正演問(wèn)題地球物理模擬物理模擬相似原理投資大，選材難，結(jié)果真實(shí)，數(shù)學(xué)模擬法解析方法最簡(jiǎn)捷方便，僅適用少數(shù)簡(jiǎn)單模型數(shù)值模擬法正演主要工具效率高，機(jī)時(shí)少，周期短，費(fèi)用低。概念：將描述各種地球物理場(chǎng)的方程或表達(dá)式及初、邊值條件通過(guò)數(shù)值方法求出它們的數(shù)值解。第4頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四模型應(yīng)能夠反映主要地質(zhì)構(gòu)造和巖石、礦物特征，具有代表性或普遍性（共性）、針對(duì)性（目的性）、特殊性（特殊問(wèn)題）模型不宜太復(fù)雜，否則無(wú)法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；或者計(jì)算結(jié)果太復(fù)雜，難以分析、辨認(rèn)地質(zhì)特征與地球物理場(chǎng)特征之間的聯(lián)系。地球模型建立的要求：常用數(shù)值計(jì)算方法

有限差分法有限元法積分方程法快速離散傅里葉變換法擬譜法（偽、虛）譜法射線(xiàn)追蹤法計(jì)算速度快邊界刻化好涉及較復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，僅需在異常區(qū)求出未知場(chǎng)，經(jīng)濟(jì)，易于處理三維模擬問(wèn)題F域計(jì)算易刻化運(yùn)動(dòng)學(xué)特性微分方程法，適于模擬復(fù)雜的地質(zhì)情況用離散傅立葉變換求空間導(dǎo)數(shù)，可在大空間網(wǎng)格上得到精確波場(chǎng)值第5頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基本原理：差分原理。即，用各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商來(lái)近似替代該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)（微商），把要解的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組相應(yīng)的差分方程。然后，解出差分方程組(線(xiàn)性代數(shù)方程組)在各離散點(diǎn)上的函數(shù)值，便得到邊值問(wèn)題的數(shù)值解。一、有限差分法一般步驟：

（1）區(qū)域離散化網(wǎng)格剖分：確立合適網(wǎng)格步長(zhǎng)，邊界節(jié)點(diǎn)定位步長(zhǎng)選擇很重要——決定計(jì)算精度、速度（2）微分方程離散化——構(gòu)建差分方程邊界條件離散化——構(gòu)建邊界條件差分方程初始條件離散化——構(gòu)建初始條件差分方程（4）線(xiàn)性方程組形成與求解第6頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四位場(chǎng)計(jì)算舉例：1、位場(chǎng)所滿(mǎn)足的方程有源無(wú)源模擬二維地電斷面電場(chǎng)式中，u表示電位，f表示源項(xiàng)。2、區(qū)域網(wǎng)格剖分內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)第7頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、微分方程離散化，構(gòu)組差分方程i,ki+1,ki-1,ki,k-1i,k+1kiux,uxx,…和uz，uzz，…分別表示u對(duì)x和z的一階、二階導(dǎo)數(shù)等第8頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四含源分區(qū)均勻巖石中位函數(shù)二維差分方程無(wú)源分區(qū)均勻巖石中位函數(shù)二維差分方程第9頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、線(xiàn)性方程組的形成與求解式中[A]是方程組的系數(shù)矩陣。其與物性參數(shù)(如電阻率)分布有關(guān)；{u}是電位u的列向量，其分量為所有節(jié)點(diǎn)上的電位；{F}是常向量。當(dāng)給定電阻率分布（空間分布，模型結(jié)構(gòu)）及邊界條件后，解線(xiàn)性方程式便可求得電位的空間分布計(jì)算精度：主要決定于步長(zhǎng)h。一般說(shuō)來(lái)，網(wǎng)格劃分越細(xì)，即h值越小，計(jì)算值與理論值越接近。矛盾：減小步長(zhǎng)h將成倍增加計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)目，增加計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求和計(jì)算時(shí)間。降低了效率，增加了費(fèi)用解決計(jì)算速度與精度矛盾的較好方法：采用變步長(zhǎng)，即在近區(qū)將網(wǎng)格分得密些，遠(yuǎn)區(qū)影響較小，可分得稀些。第10頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四彈性波場(chǎng)計(jì)算舉例1、反射地震中波傳播方程在各向同性均勻介質(zhì)、平面波入射假設(shè)條件下，標(biāo)量波動(dòng)方程密度不均勻介質(zhì)彈性波標(biāo)量波動(dòng)方程激發(fā)問(wèn)題傳播問(wèn)題在二維情況下，（自由表面）邊界條件初始條件zz|z=0=ux=0，zx|z=0=uz=0第11頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四采用正方形網(wǎng)格元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，步長(zhǎng)h；m，n為當(dāng)前網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的橫向及垂向編號(hào);l時(shí)間取樣號(hào)2、區(qū)域離散化第12頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用差分方程式，由上至下，由左至右并隨時(shí)標(biāo)l增加計(jì)算空間任一點(diǎn)(m，n)的波場(chǎng)um，n，l+1便得到波傳播圖像，um，0，l是地面直達(dá)波和反射波場(chǎng)的合成記錄。差分方程式第13頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(1)時(shí)間取樣率t(t=lt)滿(mǎn)足t≤h/c(2)震源信號(hào)的主周期T<10h/c，否則有嚴(yán)重的頻散。

(3)由于地下介質(zhì)無(wú)限，而計(jì)算網(wǎng)格有限，計(jì)算網(wǎng)格的邊界必須是吸收邊界。

(4)震源必須作專(zhuān)門(mén)處理，即在源點(diǎn)加入f(t)信號(hào)。有限差分計(jì)算必須滿(mǎn)足的條件如下：有限差分計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)與不足：優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明快速不足：邊界刻劃能力弱。因只能使用矩形網(wǎng)格，對(duì)復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造不能準(zhǔn)確地模擬，如，反射地震中常見(jiàn)的傾斜界面、電法勘探中的局部不規(guī)則電性不均勻體等。第14頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基本方程式的有限差分格式（2D）第15頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四地質(zhì)模型有限差分波動(dòng)方程模擬結(jié)果演示實(shí)例第16頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四炮集1快照第17頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1234567蝴蝶結(jié)模型邊界產(chǎn)生的假象山頂激發(fā)波動(dòng)方程正演模擬記錄第18頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四炮集2快照第19頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1234567蝴蝶結(jié)山谷激發(fā)波動(dòng)方程正演模擬記錄第20頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、有限單元法突出優(yōu)點(diǎn)：界面刻畫(huà)能力強(qiáng)。對(duì)與復(fù)雜介質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān)的偏微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算適應(yīng)性強(qiáng)。其一般只對(duì)基本方程中的空間微分算子作逼近，而與時(shí)間微分有關(guān)的計(jì)算仍然多采用有限差分法?；驹恚鹤兎衷砘蜃钚?shì)能原理

認(rèn)為：對(duì)與勢(shì)場(chǎng)能量有關(guān)的泛函極小化等效于直接解相應(yīng)的場(chǎng)的方程對(duì)Laplace方程勢(shì)場(chǎng)能量表達(dá)式***滿(mǎn)足Laplace方程的勢(shì)場(chǎng)，同時(shí)也是滿(mǎn)足勢(shì)場(chǎng)能量F(u)取極小的場(chǎng)。有限差分法采用了直接解方程的辦法，有限元法采用了F(u)極小化逼近勢(shì)場(chǎng)第21頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四常用微分方程及其泛函Poisson方程：泛函：非其次Helmhotz方程：泛函：標(biāo)量波動(dòng)方程：泛函：頻域電磁波似穩(wěn)電磁場(chǎng)方程：泛函：第22頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、介質(zhì)剖分——采用單純形單剖分元所謂單純形，在平面上為三角形，三維空間為四面體由于三角元以公共邊界及頂點(diǎn)連接成網(wǎng)，勢(shì)的分布在穿過(guò)單元時(shí)保持連續(xù)。有限元法解二維Laplace方程舉例第23頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、將勢(shì)場(chǎng)u展成某種簡(jiǎn)單函數(shù)和系數(shù)的線(xiàn)性組合假定，單元內(nèi)勢(shì)可用線(xiàn)性(一階)方程表示，有

V=a+bx+cy沿三角元邊緣勢(shì)V可以由相應(yīng)兩角點(diǎn)勢(shì)值線(xiàn)性?xún)?nèi)插而來(lái)，如果兩個(gè)三角元共用一條邊，則位勢(shì)在跨單元時(shí)保持連續(xù)。為求各系數(shù)，設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)上勢(shì)為V1，V2，V3用Cramer準(zhǔn)則解線(xiàn)性方程組，求得系數(shù)a,b,c的表達(dá)式。代回原方程可得三角元內(nèi)任一點(diǎn)位勢(shì)的一階近似式第24頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三角元內(nèi)任一點(diǎn)位勢(shì)的一階近似式系數(shù)為A為三角元的面積，且有第25頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、單個(gè)元內(nèi)位勢(shì)能寫(xiě)成矩陣形式有至此，對(duì)單個(gè)元的近似已經(jīng)完成第26頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、三角元連接組合求取總勢(shì)能整個(gè)區(qū)域的勢(shì)能為單個(gè)三角元?jiǎng)菽苤偤?。根?jù)最小勢(shì)能準(zhǔn)則，使整個(gè)研究區(qū)域勢(shì)能極小化，就是使所有三角元組合后的勢(shì)能極小化兩個(gè)元組合方法：設(shè)一對(duì)元在連接前的頂點(diǎn)位勢(shì)可寫(xiě)成以下列向量下角標(biāo)dis表示組合前不連接的三角元。對(duì)應(yīng)這兩個(gè)元的未組合能量寫(xiě)為矩陣未組合能量第27頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)三角元連接前、后滿(mǎn)足以下關(guān)系下角標(biāo)con注記已聯(lián)接，對(duì)應(yīng)連接后的總能量變?yōu)檫B續(xù)近似的勢(shì)能分布被表示為與元頂點(diǎn)位勢(shì)向量有關(guān)的二次型第28頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5、方程求解計(jì)算記k為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(連接后多個(gè)三角形的頂點(diǎn))的編號(hào)，則Laplace方程的有限元近似解要將連接網(wǎng)中的勢(shì)能極小化?！兂闪饲髽O值問(wèn)題則勢(shì)能極小化為求邊值問(wèn)題，研究區(qū)域邊界上位勢(shì)(或其導(dǎo)數(shù))是已知的（邊界條件）。在對(duì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)先編區(qū)域內(nèi)部的號(hào)，后對(duì)邊界點(diǎn)編號(hào)，分區(qū)處理可簡(jiǎn)化方程，以下角標(biāo)f表示區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)，下角標(biāo)p表示邊界上節(jié)點(diǎn)整理得解線(xiàn)性矩陣方程式，求取研究區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的位勢(shì)Vf，有唯一解。其精度取決于三角元的尺度第29頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、積分方程法不足：積分方程方法涉及較復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)優(yōu)點(diǎn)：僅需在異常區(qū)求出未知場(chǎng)模擬一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)小異常體的響應(yīng)時(shí)，該方法比較經(jīng)濟(jì)多用于3D數(shù)值模擬12(r)Vr表示矢徑假設(shè)大地電磁場(chǎng)的源是來(lái)自高空的垂直入射到地面的平面電磁波，則頻域中無(wú)源麥克斯韋方程組表示地下任一點(diǎn)處的實(shí)際電導(dǎo)率值，且有=1，異常體外2，異常體內(nèi)總場(chǎng)第30頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義：二次場(chǎng)為實(shí)測(cè)場(chǎng)（總場(chǎng)）與一次場(chǎng)之差，并用上角標(biāo)s表示定義：一次場(chǎng)為均勻地球場(chǎng)，并以上角標(biāo)p表示，則一次場(chǎng)也滿(mǎn)足無(wú)源麥克斯韋方程組，有一次場(chǎng)方程組——可求解其是電導(dǎo)率為1的均勻介質(zhì)內(nèi)的場(chǎng)整理得二次場(chǎng)方程二次場(chǎng)方程組可轉(zhuǎn)換成積分方程，求解是散射電流，僅在異常體中才存在表明：二次場(chǎng)可以認(rèn)為是由異常體中的散射電流Js引起的。第31頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四建立二次場(chǎng)方程的積分方程二次電場(chǎng)可通過(guò)將散射電流源Js乘以適當(dāng)?shù)牟⑹父窳趾瘮?shù)G(r，r/)，并對(duì)異常體所占的體積做積分而得，如假設(shè)異常體內(nèi)的電導(dǎo)率為常數(shù)2，則可得到實(shí)測(cè)電場(chǎng)表達(dá)式為上式是一非齊次的第二類(lèi)矢量弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程式并矢格林函數(shù)g是對(duì)應(yīng)全空間的標(biāo)量格林函數(shù)

●P/(x,y,-z)●P(x,y,z)Q(x',y',z')rr'第32頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)值積分，求解將異常體剖分成N個(gè)線(xiàn)性尺寸為的立方體單元．并假設(shè)在每個(gè)單元內(nèi)電場(chǎng)是常數(shù)，則積分可用求和式來(lái)逼近，再經(jīng)一系列推導(dǎo)得到分塊矩陣方程式矩陣[M]的每個(gè)元素本身就是一個(gè)3X3階矩陣：Γmn是相對(duì)有限單元體積電流的并矢格林函數(shù)解方程，求出異常體內(nèi)每個(gè)單元中心處的電場(chǎng)值之后，再加上一次場(chǎng)值可求得異常體外任一點(diǎn)處的電場(chǎng)。對(duì)總電場(chǎng)方程應(yīng)用法拉第定律，可計(jì)算任意點(diǎn)的磁場(chǎng)H(r)第33頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四物理模擬方法基本原理：相似原理方法：按比例復(fù)制地質(zhì)模型

(通常比例尺為1:100和1:100萬(wàn)之間)；

模型的物性參數(shù)一般也應(yīng)按一定的比例改變；觀(guān)測(cè)裝置要微型化?？s小模型響應(yīng)能代表野外實(shí)際模型響應(yīng)模擬準(zhǔn)則：使實(shí)際模型場(chǎng)與模擬場(chǎng)具有相同的幅值和規(guī)律一、電磁場(chǎng)物理模擬的基本原理1．頻率域電磁場(chǎng)的模擬準(zhǔn)則野外條件下地電體參數(shù)方程模型條件下地電體參數(shù)方程第34頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期四室內(nèi)模型模擬系統(tǒng)尺寸與野外比例關(guān)系為1/l——幾何結(jié)構(gòu)比例尺

將比例關(guān)系代入野外方程得模型參數(shù)描述的野外方程

按照模擬準(zhǔn)則，要使模擬結(jié)果與實(shí)際一致，野外和模型磁場(chǎng)滿(mǎn)足的波動(dòng)方程應(yīng)完全相同，對(duì)比可以寫(xiě)出模擬準(zhǔn)則——參數(shù)比例尺上式兩邊為響應(yīng)參數(shù)k2r2，亦稱(chēng)綜合參數(shù),右端=1，表明：具有相同綜合參數(shù)的每個(gè)系統(tǒng)必定產(chǎn)生相同的電磁響應(yīng)，與、、及l(fā)的具體數(shù)值無(wú)關(guān)。因此