數(shù)學(xué)分析講義 第一章 函數(shù)

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一、復(fù)習(xí)指導(dǎo)

（一）基本概念

1．函數(shù)的概念

2．復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)的概念

3．有界函數(shù)、無界函數(shù)的概念，遞增（嚴(yán)格遞增）函數(shù)、遞減（嚴(yán)格遞減）函數(shù)的概念，奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念，周期函數(shù)、基本周期的概念。

4．基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念5．鄰域、空心鄰域的概念

（二）基本理論

1．實數(shù)的性質(zhì)；2．函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)；3．反函數(shù)存在的條件

（三）復(fù)習(xí)要求

1．把握幾個重要的等式與不等式

（1）平均值不等式（算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值的關(guān)系）

1a1?a12a?a2?????annnaa???a?1?12n?????a1nn2

（2）柯西—許爾瓦茲不等式

nn?n?22代數(shù)形式：??aibi???ai??bi（注意證明方法）

i?1i?1?i?1?bbb22??積分形式：??f(x)g(x)dx???f(x)dx??g(x)dx（注意證明方法）aa?a?2（3）絕對值不等式：

a?b?a?b?a?b;a1?a2?????an?a1?a2?????an??1時，?1?h?n?1?nh

（4）貝努利不等式：當(dāng)h（5）幾個常用不等式

nn?1132n?1??????，n?1n?2242n12n?1（注意證明方法）

11?n?1n!2，

?n?1?n!????2?n1，n!?n2;2!?4!???(2n)!?[(n?1)!]n，ex?1?x，

2nn?1n

1?1?1?1??1??ln?1???，?1???e??1??n?1?n?n?n??n?1?2?????n?（注意證明方法）

（6）幾個常用等式

11n(n?1);12?22?????n2?n(n?1)(2n?1)，261

據(jù)此可求2

2?42?????(2n)2與12?32?????(2n?1)2

13?23?????n3?(1?2?????n)2

n(n?1)2???????n，其中??02!11max{a,b}?(a?b?a?b)，min{a,b}?(a?b?a?b)

221max{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?f(x)?g(x)]

21min{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?f(x)?g(x)]

2?1，則an?(1??)n?1?n??若a

2．理解函數(shù)的概念、函數(shù)的要素

3．探討函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、函數(shù)表達(dá)式與值域4．熟練判斷函數(shù)的相等5．把握函數(shù)的表示方法

6．理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇（偶）性與周期性，把握探討這些特性的思想方法與技能7．把握幾個特別分段函數(shù)的定義與基本性質(zhì)（1）符號函數(shù)

?1?sgnx??0??1?x?0x?0，易知x?x?sgnxx?0}，圖象見右圖定義域為R，值域為{?1,0,1此函數(shù)為遞增函數(shù)（但不嚴(yán)格遞增）、有界函數(shù)、奇函數(shù)。

此函數(shù)在x?0處無極限，在x?0處不連續(xù)，在x?0處不可導(dǎo)，在任何區(qū)間上都可積。（注意證明方法）

?1（2）狄利克雷函數(shù)D(x)???0x為有理數(shù)x為無理數(shù)

定義域為R，值域為{0,1}；有界函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)（任何有理數(shù)都是它的周期，但無基本周期）。此函數(shù)四處無極限、四處不連續(xù)、四處不可導(dǎo)。（注意證明方法）此函數(shù)在任何區(qū)間上都不可積。（注意證明方法）（3）黎曼函數(shù)

?1?R(x)??n??0m(|m|,n為互質(zhì)的正整數(shù)）nx為0,1或無理數(shù)x?定義域為R，值域為[0,1)內(nèi)的有理數(shù)，此函數(shù)為有界函數(shù)此函數(shù)在任何點(diǎn)的極限均為0，在無理點(diǎn)連續(xù)、在有理點(diǎn)不連續(xù)，四處不可導(dǎo)，此函數(shù)在區(qū)間[0,1]上可積且積分值等于0。（注意證明方法）（4）最大整數(shù)部分函數(shù)

f(x)?[x]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)

2

定義域為R，值域為全體整數(shù)，遞增函數(shù)圖象如右圖（5）非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)

f(x)?x?[x]

-1定義域為R，值域為[0,1)，

周期為1的周期函數(shù)，圖象如右圖

8．把握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程與分解9．把握函數(shù)思想及其應(yīng)用：

-2-o4（1）函數(shù)的思想，就是運(yùn)用函數(shù)的方法，必要時引入輔助函數(shù)，將常量視為變量、化靜為動、化離散為連續(xù)，將所探討的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決的一種思想方法（2）函數(shù)思想的應(yīng)用：

①以函數(shù)為橋梁，實現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式間的轉(zhuǎn)化例：證明方程方法：作函數(shù)

x?lnx?2?0在(0,??)內(nèi)至少有兩個實根。exf(x)??lnx?2，應(yīng)用根的存在定理。

e例：證明

|a?b||a||b|??1?|a?b|1?|a|1?|b|f(x)?x，通過探討單調(diào)性得證。1?x11f(0)?0，求證：??f(x)dx???f3(x)dx

??0?0?2方法：構(gòu)造輔助函數(shù)

例：設(shè)函數(shù)

f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且0?f?(x)?1，

2tt3方法：令F(t)???f(x)dx???f(x)dx，通過探討單調(diào)性知F(1)?F(0)得證。

??0?0?②以函數(shù)為背景，實現(xiàn)函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用例：求極限lim方法：求limxnn??n

n??x??x，再由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系得limnn=1

③化離散為連續(xù)，解決級數(shù)問題

例：求

1?nn?1(2n?1)2?的和.

?11x2ns()，方法：引入冪級數(shù)s(x)??，則?=n2n?1(2n?1)22n?1n?1?④引入輔助函數(shù)，證明有關(guān)問題例：設(shè)函數(shù)

f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，證明在(a,b)內(nèi)至少存在

3

一點(diǎn)?，使f?(?)?f(?)g?(?)?0

方法：作輔助函數(shù)：F(x)?f(x)eg(x)，利用故由羅爾定理。

二、分類題型與解題方法

（一）求函數(shù)的表達(dá)式

求以下函數(shù)的表達(dá)式（1）設(shè)（2）設(shè)

f(x)?x2?3x?5，求f(x)解答：f(x)?x2?x?3

2?f?1?x?1?xx，求

f(x)解答：1(1?1?x2)

x（3）設(shè)

f?x?1x??x2?1?5，求f(x)解答：x2?72xcx，其中a,b,c為常數(shù)且|a|?|b|，求

（4）設(shè)af(x)?bf(1x)?f(x)解答：f(x)?ca2?b2?a???bx??x?（5）設(shè)

?x?1?f(x)?f???2x，其中x?0、x?1，求f(x)

x???x?11，即x?，則x1?t解：令t2?1?f???f(t)?1?t?1?t?即

2?1?…….①f???f(x)?1?x?1?x?在①中令

1u?11?u?1??1?2(u?1)?，即x?，則得f?，??f???1?xu1?uuu?1u????11?x?1?2(x?1)?1….②；由①、②即已知等式可求出f(x)?x??f???x1?xx?x?x?1即

?1?f????1?x?（6）設(shè)解：設(shè)

f(x)?3x2?2limf(x)，求f(x)

x?1A?limf(x)，則f(x)?3x2?2A，兩邊當(dāng)x?1時取極限，limf(x)?lim3x2?lim2A

x?1x?1x?1即

A?3?2A，可得A??3，故f(x)?3x2?6

（7）設(shè)解：設(shè)

f(x)?x??f(x)dx?2，求f(x)

021A??f(x)dx，則f(x)?Ax2?2；兩邊在[0,1]上積分得：A?011A?23，即

A?3,故

f(x)?3x2?2

（8）設(shè)

f(x)?x2?2?f(x)dx，求f(x)解答：x2?2

0134

（9）設(shè)

f?(?x)?x[f?(x)?1]，求f(x)解答：x?1ln(1?x2)?arctgx?c

2（10）設(shè)

f(x)?x2?x?20f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x)解答：x2?4x?2

0133（11）設(shè)（12）設(shè)

f?(ex)?1?x，求f(x)解答：xlnx?cf(x)?x??x0f(x?t)dt，求f(x)

0xx0解：令x?t即

?u，則?f(x?t)dt??f(u)d(?u)??f(u)du

0x0xf(x)?x??（13）設(shè)

f(u)du，所以f?(x)?1?f(x)，故f(x)?Cex?1，又f(0)?0,故f(x)?ex?1

x02f(x)??f(t)dt?ex，求f(x)

，

2（14）設(shè)解：由

f(x)?exf[?(x)]?1?x且?(x)?0，求?(x)

f[?(x)]?e?(x)?1?x且?(x)?0，得?(x)?ln(1?x)

1?又有l(wèi)n(x)?0得1?x?1，即x?0,所以?(x)?ln(1?x)，x?0f(x)在x?0連續(xù)，f(1)?3且當(dāng)x?0,y?0時有?xy（15）設(shè)求

f(t)dt?x?y1f(t)dt?y?x1f(t)dt，

f(x)

x解：在已知等式兩邊對y求導(dǎo)得：xf(xy)?xf(y)??令

1f(t)dt

y?1，f(1)?3知xf(x)?3x??x1f(t)dt

3x求導(dǎo)得：所以

f(x)?xf?(x)?3?f(x)，即f?(x)?f?(t)dt??x1?x13dt，即f(x)?f(1)?3lnx,故f(x)?3(1?lnx)t（二）求函數(shù)的定義域

求以下函數(shù)的定義域（1）

y?lg(x?1)??1x?1解答：(1,??)

（2）

f(x)??22xsintdt解答：(??,??)t（3）

y?lgsin(?x)解答：{(2k,2k?1)|k?0,?1,?2,???}14y?ln(2x?1)?4?3x解答：(?,]

235

（4）

（5）

y?log(x?1)(16?x2)解答：(1,2)?(2,4)2x?12x?x2解答：?1,2]f(x)?arcsin?2,1??(17ln(2x?1)（6）

設(shè)

f(x)的定義域為[0,1]，求以下函數(shù)的定義域：

（1）（3）

2；（2）f(x)解答：[?1,1]；f(2x?3)解答：[32,2]f(x?a)?f(x?a)，其中a?0解答：當(dāng)0?a?11時為[1?a,a]，當(dāng)a?時為?22求以下函數(shù)的定義域：（1）設(shè)

?1,0?x?1，求f(x?3)、f(2x)的定義域解答：①?3?x??1，②0?x?1f(x)???2,1?x?2?2???x,x?0f(x)??x，?(x)?lnx，求f[?(x)]的定義域解答：x?0

???e,x?0（2）設(shè)

（三）判斷函數(shù)的相等

判斷以下函數(shù)是否相等:（1）

f(x)?x?11,g(x)?；解答：不相等

x?1x2?1（2）

f(x)?x2,g(x)?(x)2；解答：不相等f(x)?x?1,g(x)?x?2x?1x?2；解答：不相等

（3）

（4）（5）

f(x)?x2,g(x)?x4解答：相等

f(x)?1?2x,g(y)?1?2y解答：相等

（6）（7）

y?x2y?x2(???x???)與s?t2(???x???)與y?x2(???t???)解答：相等(0?x???)解答：不相等(???x???)解答：相等

（8）

?xy????xx?02與y?xx?0?1(x?0)與y????1|x|（9）y?x（10）

x?0，解答：相等

x?0y?log2x2，y?2log2x解答：不相等

6

（11）

y?sin2x，y?2sinxcosx解答：相等

2d?x（12）y?lnx，y???0|lnt|dt??解答：相等

?dx?（四）函數(shù)初等性質(zhì)的探討

探討以下函數(shù)在指定區(qū)間上的有界性

（1）

x2?1f(x)?4，x?R；

x?1x2?1x2?1??2解：（1）當(dāng)x?1時有0?41x?1x2?1x2?1x2?x2x2?1???1，故f(x)?4當(dāng)x?1時有0?4在R上有界22x?12x2xx?1（2）

f(x)?1x，x?(0,??)

解：由于.?M?0,取x0?11?(0,??)，可使f(x0)??M?1?MM?1x0，故

f(x)?1x在(0,??)

上無上界（3）（4）（5）

xsinx1x?R，；解答：因|f(x)|?，故有界；22x?1lnx1f(x)?,x?[,1]解答：因?ln4?f(x)?0，故有界；

x2f(x)?f(x)?tgx，x?[0,)解答：?M?0,取x0?arctg(M?1)，可使|f(x0)|?M，故無界

2?判斷以下函數(shù)的奇偶性：（1）

f(x)?ln(x?x2?1)；

??1????ln(x2?1?x)??f(x)f(?x)?ln(x?1?x)?ln??2?x?1?x?2解：（1）因

所以

f(x)?ln(x?x2?1)為奇函數(shù)

（2）

1??1f(x)?x?x??

?e?12??ex1?1?11??1????f(?x)??x??x????x?x??x1?????x2e?122e?1e?1??????解：因

?1?1??1?1?x??x?x???x??f(x),所以f(x)??2e?1??e?12?7

1??1x?x??為偶函數(shù)?e?12?

（3）

a?x?1ax?1；解答：奇（4）f(x)?x?x,解答：偶，f(x)??xa?1a?1f(x)?ln（5）

?1,1?x；解答：奇，（6）y??1?x??1,x?0;解答：奇，

x?0（7）

y??x0f(t)dt，其中f(x)為奇函數(shù)解答：偶，

（8）

1??1y?F(x)?x??，其中a?0,a?1，F(xiàn)(x)為奇函數(shù)解答：偶，

?a?12?y?sinx?cosx解答：非奇非偶

（9）

（五）求反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

將以下復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)：

（1）

y?|sinx?x2|；（2）y?arcsinln(x2?a2)

（3）

y?21?x2；（4）

y?coslg(x?2)?cosx?2?；（5）y??tglgarcsinx?

5求以下函數(shù)的反函數(shù)：（1）設(shè)

y?ax?bcx?d，在什么條件下其反函數(shù)就是它本身；

解答：（1）①ad?bc?0,a??d，②ad?bc?0,a?d且b?0,c?0

（2）

?x,?f(x)??x2,?2x,??ex,f(x)???x,???x?11?x?44?x???，求

f?1(x)解答：f?1?x,???x?1(x)=??x,1?x?16?logx,16?x????2求以下函數(shù)的復(fù)合函數(shù)：（1）設(shè)

?x?2,x?1，?(x)??2x?1?x?1,x?0x?0。求

f[?(x)]

解答：

?ex?2,x??1?f[?(x)]?x?2,?1?x?0；

??x2?1?e,0?x?2?x2?1,x?2?（2）設(shè)

x?0?1?x,x??1?2?x,，求f[f(x)]解答：f[f(x)]??f(x)??1,x?01,x??1??f(x)?x1?x2（3）設(shè)，求

fn(x)?f(f???f(x))解答：

???????n次x1?nx2

8

（六）雜題

證明以下各題：

（1）證明定義在對稱區(qū)間(?l,l)上的任何函數(shù)

解答：

f(x)都可以表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)和的形式。

f(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)?

22（2）證明奇函數(shù)與奇函數(shù)之和為奇函數(shù)，偶函數(shù)與偶函數(shù)之和為偶函數(shù)，奇函數(shù)與奇函數(shù)之積為偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)之積為奇函數(shù)，偶函數(shù)與偶函數(shù)之積為偶函數(shù)（3）定義在實數(shù)集上的連續(xù)實函數(shù)解答：先證

f滿足

f(x?y)?f(x)?f(y)，則對任意有理數(shù)x總有f(x)?f(1)?x

f(x1?x2?????xn)?f(x1)?f(x2)?????f(xn)，再證對任意正整數(shù)、整數(shù)、正整數(shù)的倒

數(shù)、一切有理數(shù)均成立。（4）設(shè)

f(x)滿足條件：??,??R，有|f(?)?f(?)|?(???)2，證明對任意a,b?R和n?N1(b?a)2n，有

|f(a)?f(b)|?解答：將[a,b]n等分，運(yùn)用已知不等式和絕對值不等式可證。

f(x)?f(y)|?|x?y|，且f(0)?0，

（5）若?x,y?R，有|求證

f(x)f(y)?xy,f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x)|?|x|，即f2(x)?x2，在已知等式的兩邊平方可得f(x)f(y)?xy,又由此

解答：由已知等式可得|式可得而

f(x?y)?f(1)?(x?y)?1?f(x)f(1)?f(y)f(1)?[f(x)?f(y)]f(1)

f(1)?1?0，可證出f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x)定義在(??,??)上，若f(f(x))存在唯一的不動點(diǎn)，證明函數(shù)f(x)也存在唯一的不動點(diǎn)。

（6）設(shè)函數(shù)

以下函數(shù)是否為初等函數(shù)：

（1）

y?|x|解答：是，由于y?x2y?D(x)???1?0；（2）

y?xsinx,(x?0)解答：是，由于y?esinx?lnx；

（3）

當(dāng)x為有理數(shù)當(dāng)x為無理數(shù)解答：不是；

?1?x（4）y???1?xx?02解答：是，由于y?1?xx?0n?1；

?xlna??x2?11?（5）f(x)?lim?1?dt?????0n??nt????證明以下各題：

，(a?0,a?1)解答：是，由于f(x)?a?x?1ln(x2?1)

9

（1）設(shè)函數(shù)

f(x),g(x)在[a,b]上遞增，則函數(shù)

?(x)?max{f(x),g(x)},?(x)?min{f(x),g(x)}在[a,b]上也遞增。