燦爛的古希臘數(shù)學(xué)

燦爛的古希臘數(shù)學(xué)第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日古希臘的地理范圍，除了現(xiàn)在的希臘半島外，還包括整個愛琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細(xì)亞等地。公元前5、6世紀(jì)，特別是希、波戰(zhàn)爭以后，雅典取得希臘城邦的領(lǐng)導(dǎo)地位，經(jīng)濟(jì)生活高度繁榮，生產(chǎn)力顯著提高，在這個基礎(chǔ)上產(chǎn)生了光輝燦爛的希臘文化，對后世有深遠(yuǎn)的影響。第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史可以分為三個時期。第一期從伊奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止，約為公元前七世紀(jì)中葉到公元前三世紀(jì)；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時期，結(jié)束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)。第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日1.1萬物皆數(shù)米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉(xiāng)，泰勒斯是公認(rèn)的希臘哲學(xué)鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學(xué)會古代流傳下來的知識，并加以發(fā)揚(yáng)。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學(xué)學(xué)派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬物的根源。第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

當(dāng)時天文、數(shù)學(xué)和哲學(xué)是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數(shù)學(xué)。他曾預(yù)測一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰(zhàn)爭，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)是開始了命題的證明，它標(biāo)志著人們對客觀事物的認(rèn)識從感性上升到理性，這在數(shù)學(xué)史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學(xué)派的著名學(xué)者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達(dá)哥拉斯有很大的影響。第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

畢達(dá)哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個政治、宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)合一的秘密團(tuán)體。后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達(dá)哥拉斯被殺害，但他的學(xué)派還繼續(xù)存在兩個世紀(jì)之久。第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日畢達(dá)哥拉斯學(xué)派企圖用數(shù)來解釋一切，不僅僅認(rèn)為萬物都包含數(shù)，而且說萬物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理)聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日這個學(xué)派還有一個特點(diǎn)，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來。他們找到用三個正整數(shù)表示直角三角形三邊長的一種公式，即勾股定理。在一個直角三角形，斜邊的平方是兩條直角邊的平方和。這個定理中國人（周朝的商高）和巴比倫人早在畢氏提出前一千年就在使用，但一般人仍將定理歸屬於畢達(dá)哥拉斯，是因?yàn)樗C明了定理的普遍性。畢氏認(rèn)為尋找證明就是尋找認(rèn)識，而這種認(rèn)識比任何訓(xùn)練所累積的經(jīng)驗(yàn)都不容置疑，數(shù)學(xué)邏輯是真理的仲裁者。

第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日它的重要意義可以概括為以下幾個方面：（1）它的證明是論證數(shù)學(xué)的發(fā)端；（2）它是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理；（3）它導(dǎo)致了不可公度量的發(fā)現(xiàn)，由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對數(shù)的理解；（4）它是歐式（歐幾里得）幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的使用價值。第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日畢達(dá)哥拉斯又注意到從1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等，這既是算術(shù)問題，又和幾何有關(guān)，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。

公元前五世紀(jì)，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學(xué)及數(shù)學(xué)等知識，于是“智人學(xué)派”應(yīng)運(yùn)而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學(xué)、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

在數(shù)學(xué)上，他們提出“三大問題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。

希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

這個學(xué)派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8、16、32、…邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽的割圓術(shù)思想不謀而合。第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

公元前三世紀(jì)，柏拉圖在雅典建立學(xué)派，創(chuàng)辦學(xué)園。他非常重視數(shù)學(xué)，但片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實(shí)用價值。他主張通過幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因?yàn)閹缀文芙o人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日這個學(xué)派培養(yǎng)出不少數(shù)學(xué)家，如歐多克索斯就曾就學(xué)于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅(qū)。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德也是古代的大哲學(xué)家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開辟了道路。第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日1.2幾何學(xué)無王者之路公元前四世紀(jì)以后的希臘數(shù)學(xué)，逐漸脫離哲學(xué)和天文學(xué)，成為獨(dú)立的學(xué)科。數(shù)學(xué)的歷史于是進(jìn)入一個新階段——初等數(shù)學(xué)時期。

這個時期的特點(diǎn)是，數(shù)學(xué)(主要是幾何學(xué))已建立起自己的理論體系，從以實(shí)驗(yàn)和觀察為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)過渡到演繹的科學(xué)。由少數(shù)幾個原始命題(公理)出發(fā)，通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數(shù)學(xué)的基本精神。第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

在這一時期里，初等幾何、算術(shù)初等代數(shù)大體己成為獨(dú)立的科目。和17世紀(jì)出現(xiàn)的解析幾何學(xué)、微積分學(xué)相比，這一個時期的研究內(nèi)容可以用“初等數(shù)學(xué)”來概括，因此叫做初等數(shù)學(xué)時期。

埃及的亞歷山大城，是東西海陸交通的樞紐，又經(jīng)過托勒密王的加意經(jīng)營，逐漸成為新的希臘文化中心，希臘本土這時已經(jīng)退居次要地位。幾何學(xué)最初萌芽于埃及，以后移植于伊奧尼亞，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到發(fā)源地。經(jīng)過這一番培植，已達(dá)到豐茂成林的境地。第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

從公元前四世紀(jì)到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，希臘數(shù)學(xué)以亞歷山大為中心，達(dá)到它的全盛時期。這里有巨大的圖書館和濃厚的學(xué)術(shù)空氣，各地學(xué)者云集在此進(jìn)行教學(xué)和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數(shù)學(xué)知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內(nèi)在聯(lián)系，整理在一個嚴(yán)密的系統(tǒng)之中，才能建成宏偉的大廈?！稁缀卧尽敷w現(xiàn)了這種精神，它對整個數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)界的一代宗師

歐幾里得大約生于公元前325年，他是古希臘數(shù)學(xué)家，他的名字與幾何學(xué)結(jié)下了不解之緣，他因?yàn)榫幹稁缀卧尽范劽谑溃P(guān)于他的生平事跡知道的卻很少，他是亞歷山大學(xué)派的奠基人。早年可能受教于柏拉圖，應(yīng)托勒密王的邀請?jiān)趤啔v山大授徒，托勒密曾請教歐幾里得，問他是否能把證明搞得稍微簡單易懂一些，歐幾里得頂撞國王說：“在幾何學(xué)中是沒有皇上走的平坦之道的。”他是一位溫良敦厚的教育家。第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日另外有一次，一個學(xué)生剛剛學(xué)完了第一個命題，就問：“學(xué)了幾何學(xué)之后將能得到些什么？”歐幾里得隨即叫人給他三個錢幣，說：“他想在學(xué)習(xí)中獲取實(shí)利?！弊阋姡瑲W幾里得治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，反對不肯刻苦鉆研投機(jī)取巧的思想作風(fēng)。第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日在公元前6世紀(jì)，古埃及、巴比倫的幾何知識傳入希臘，和希臘發(fā)達(dá)的哲學(xué)思想，特別是形式邏輯相結(jié)合，大大推進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展。在公元前6世紀(jì)到公元前3世紀(jì)期間，希臘人非常想利用邏輯法則把大量的、經(jīng)驗(yàn)性的、零散的幾何知識整理成一個嚴(yán)密完整的系統(tǒng)，到了公元前3世紀(jì)，已經(jīng)基本形成了“古典幾何”，從而使數(shù)學(xué)進(jìn)入了“黃金時代”。柏拉圖就曾在其學(xué)派的大門上書寫大型條幅“不懂幾何學(xué)的人莫入”。歐幾里得的《幾何原本》正是在這樣一個時期，繼承和發(fā)揚(yáng)了前人的研究成果，取之精華匯集而成的第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日千古佳作——《幾何原本》歐氏《幾何原本》推論了一系列公理、公設(shè)，并以此作為全書的起點(diǎn)。共13卷，目前中學(xué)幾何教材的絕大部分都是歐氏《幾何原本》的內(nèi)容。勾股定理在歐氏《幾何原本》中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被稱作畢達(dá)哥拉斯定理，但是追究其發(fā)現(xiàn)的時間，在我國和古代的巴比倫、印度都比畢達(dá)哥拉斯早幾百年，所以我們稱它勾股定理或商高定理。第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日在歐氏《幾何原本》中，勾股定理的證明方法是：以直角三角形的三條邊為邊，分別向外作正方形，然后利用面積方法加以證明，人們非常贊同這種巧妙的構(gòu)思，因此目前中學(xué)課本中還普遍保留這種方法。據(jù)說，英國的哲學(xué)家霍布斯一次偶然翻閱歐氏的《幾何原本》，看到勾股定理的證明，根本不相信這樣的推論，看過后十分驚訝，情不自禁地喊道：“上帝啊，這不可能”，于是他就從后往前仔細(xì)地閱讀了每個命題的證明，直到公理和公設(shè)，最終還是被其證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)、清晰所折服。第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日歐氏《幾何原本》的部分內(nèi)容與早期智人學(xué)派研究三個著名幾何作圖問題有關(guān)，特別是圓內(nèi)接正多邊形的作圖方法。歐氏的《幾何原本》只把用沒有刻度的直尺畫直線，用圓規(guī)畫圓列為公理，限定了“尺規(guī)”作圖。于是幾何作圖就出現(xiàn)了“可能”與“不可能”的情況。在這里歐幾里得只給出了正三、四、五、六、十五邊形的作法，加上連續(xù)地二等分弧，可以擴(kuò)展到正2n、3×2n、5×2n、15×2n邊形。因此，我們可以想象歐幾里得一定還嘗試過別的正多邊形的作圖方法，只是沒有作出來而已。第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日所以歐氏《幾何原本》問世后，正多邊形作圖引起了人們的極大興趣。歐氏《幾何原本》中的比例論，是全書的最高成就。在這之前，畢達(dá)哥拉斯派也有比例論，但并不適用于不可公度的量的比，歐幾里得為了擺脫這一困境，在這里敘述了歐道克索斯的比例論。定義了兩個比相等即定義了比例，適用于一切可公度與不可公度的量，它挽救了畢氏學(xué)派的相似形等理論，是非常重要的成就。第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日據(jù)說有一位捷克斯洛伐克的牧師布爾查諾，在布拉格度假時，突然間生了病，渾身發(fā)冷，疼痛難耐。為了分散注意力便拿起了歐氏的《幾何原本》，當(dāng)他閱讀到比例論時，即被這種高明的處理所震撼，無比興奮以致完全忘記了自己的疼痛。事后，每當(dāng)他的朋友生病時，他就推薦其閱讀歐氏《幾何原本》的比例論。第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日

證明和演繹推理，完整的體現(xiàn)了亞里士多得的數(shù)學(xué)邏輯思想，成為公理化方法建立演繹體系的最早典范，更是數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練的最好教材。但是，它在某些方面還存在著邏輯上的缺陷，并曾經(jīng)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上著名的“第五公設(shè)試證”活動，19世紀(jì)初因此而誕生了羅巴切夫斯基幾何。羅氏幾何的誕生，打破了歐氏幾何一統(tǒng)空間的觀念，促進(jìn)了人類對幾何學(xué)廣闊的領(lǐng)域作進(jìn)一步的探討。第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日隨后，展開了大規(guī)模的歐氏《幾何原本》公理系統(tǒng)的邏輯修補(bǔ)工作。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特，用近代的觀點(diǎn)集修補(bǔ)之精華，在1879年發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》，提出了歐氏幾何一個完整的簡潔的公理系統(tǒng)，使歐氏幾何達(dá)到了高度的抽象化、邏輯化、數(shù)學(xué)化，把公理化方法推向了現(xiàn)代化，建立起了一種統(tǒng)一的公理體系。這也是歐氏《幾何原本》對幾何學(xué)發(fā)展作出的重大貢獻(xiàn)。第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日歐氏《幾何原本》一出世就迅速而且徹底地取代了在它之前的一切同類型著作，甚至使它們就此消聲匿跡。最早的中譯本是1607年（明代萬歷35年）由意大利傳教士利瑪竇和徐光啟合譯出版的，只譯了15卷本的前6卷，它是我國第一部數(shù)學(xué)翻譯著作。取名為《幾何原本》，中文“幾何”的名稱就是從這里開始的。而后9卷的引入是在兩個半世紀(jì)后的1857年由清朝的學(xué)者李善蘭和英國人韋列亞力翻譯補(bǔ)充的。第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日1.3我將撬動地球“給我一個支點(diǎn)，我將撬動地球?！?/p>

阿基米德與歐幾里得同是亞歷山大時期的偉大的數(shù)學(xué)家。他代表了亞歷山大時期的最高數(shù)學(xué)成就，他的許多創(chuàng)造在今天仍然具有重要的科學(xué)價值。他懷著把科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來的思想，創(chuàng)造了許多機(jī)器，這些機(jī)器在他的祖國敘拉古的守衛(wèi)戰(zhàn)中起了很大的作用。阿基米德的墓碑上刻有他最引為自豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形——球及其外切圓柱，足見他對數(shù)學(xué)的熱愛。第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日阿基米德生于敘拉古城（今意大利西西里島），父親是天文數(shù)學(xué)家，阿基米德從小就受到良好的家庭教育，他11歲時到了智慧之都——亞歷山大城。在那里追隨歐幾里得的門生學(xué)習(xí)。阿基米德才智高超，回到敘拉古以后，就專心于數(shù)學(xué)研究。這些研究使他在力學(xué)（靜力學(xué)，液體力學(xué)）和技術(shù)方面也有了一些發(fā)現(xiàn)。第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日阿基米德的數(shù)學(xué)著作的最大特點(diǎn)是：用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法對力學(xué)和物理學(xué)問題進(jìn)行詳盡的研究。這是數(shù)學(xué)闡述的典范，在一定程度上類似于現(xiàn)代雜志的論文。寫得完整、簡練，顯示出巨大的創(chuàng)造性、計(jì)算技能和證明的嚴(yán)謹(jǐn)性。第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日阿基米德第一個提出圓周長、圓面積和扇形面積的準(zhǔn)確公式。并提出了這些公式中的一個常數(shù)π的近似值。他在這些計(jì)算中已經(jīng)利用了窮竭法——圓可以被它的內(nèi)接多邊形所“窮竭”，即兩者的面積之差可以小于任意給定的量。第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日他不僅要求出圓周對直徑的比的近似值，而且還要確定這樣所造成的誤差的極限。為此他寫了一本份量不多但是非常重要的著作“圓的量度”。圓的周長介于邊數(shù)相同的內(nèi)接多角形和外切多角形的周長之間。把這個內(nèi)接多角形和外切多角形的邊數(shù)一次又一次地加上去就能無限制地接近圓周的長度。阿基米德從正三角形開始，極其巧妙地算到了正96邊形，得到所謂阿基米德值π=22/7，用小數(shù)來表示就得到準(zhǔn)確度達(dá)0.01的近似值（3.14）。第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日現(xiàn)在我們絕大多數(shù)時候用阿基米德值來計(jì)算圓周長、圓面積和球體積。這個偉大的發(fā)現(xiàn)的重要意義是十分明顯的。阿基米德所用的方法是以窮竭法的最簡單的形式提出來的，我們有充分的理由把這種方法認(rèn)作是積分計(jì)算——現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的方法的先驅(qū)。窮竭法是極限理論的最初形式。阿基米德把它作為一種工具，算出了各種曲線圍成的面積和各種曲面圍成的體積，并且得出的結(jié)果與初等微積分課本所用的定積分計(jì)算的結(jié)果相符。第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日阿基米德在“圓的度量”中奠定了積分計(jì)算的基礎(chǔ)，而在“論螺線”這篇著作中引入數(shù)學(xué)史上第一個足夠微小的三角形。它在本質(zhì)上扮演著17世紀(jì)提出的微分三角形的角色，成為把握微分概念和方法的關(guān)鍵。如果說萊布尼茲和牛頓是現(xiàn)代微積分之父的話，那阿基米德就要算是它的“老祖宗”了。第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日阿基米德除了是偉大的數(shù)學(xué)家，還是杰出的力學(xué)家與軍事家。他使用天平，用實(shí)驗(yàn)的方法研究機(jī)械學(xué)。首次使用了“重心”概念，他一生發(fā)明的實(shí)用機(jī)械共有40多種，被譽(yù)為“力學(xué)之父”。著名的“阿基米德原理”和“阿基米德螺線”等仍然收入現(xiàn)行中學(xué)物理和數(shù)學(xué)課本中。第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日我們學(xué)過的浮力定律據(jù)說是在這樣的情況下發(fā)現(xiàn)的。希倫王懷疑王冠被首飾匠偷摻了銀子，國王請阿基米德去測定首飾匠剛剛為其做好的王冠是純金的還是摻有銀子的混合物，并且告誡他不得毀壞王冠。起初，阿基米德茫然不知所措。直到有一天，當(dāng)自己泡大一滿盆洗澡水里時，溢出水量的體積等于他身體浸入水中的那部分體積。第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日就說明王冠是純金的；假如摻有銀子的話，王冠的體積就會大一些。他興奮地從浴盆中躍出，全身赤條條地奔向皇宮，大喊著：“我找到了！找到了！”他為此而發(fā)明了浮力原理。這個故事可能會令我們發(fā)笑，但阿基米德那種全神貫注于自己研究的精神卻很值得我們學(xué)習(xí)。第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期日古代的歷史學(xué)家把阿基米德描寫成一位天才的軍事工程師。據(jù)說，在保衛(wèi)敘拉古反擊羅馬的圍攻中，他運(yùn)用他提出的杠桿原理，第一個使用滑輪組，配合其它的簡單機(jī)械，設(shè)計(jì)了靈巧的機(jī)械裝置。他發(fā)明了可調(diào)整射程且?guī)Щ顒由錀U的