大一上微積分課件

一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值四、函數(shù)圖形的描繪第三---五節(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用三、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)五、小結(jié)一、函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity)定理1．單調(diào)性的判別法證應(yīng)用拉氏定理,得注：(1)若把這個判別法中的閉區(qū)間換成其他區(qū)間(包括無窮區(qū)間)，結(jié)論也成立。

(2)定理是嚴(yán)格單調(diào)的充分條件,它的逆命題未必成立。例如，f(x)=x3.

（3）如果在某區(qū)間內(nèi)當(dāng)f'(x)有有限個點(diǎn)的值為零，而在其余點(diǎn)處均為正(或負(fù))，那么f(x)在該區(qū)間上仍然是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的。例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．2．單調(diào)區(qū)間(monotonicalinterval)求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在一些部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:yx1x2x3o

x4x5x6x導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(x1、x2)和不可導(dǎo)點(diǎn)(x3、x4、x5)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．例2解單調(diào)區(qū)間為例3解單調(diào)區(qū)間為注意:區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4（等號僅在個別點(diǎn)成立?。。┙鈫握{(diào)增加例5證3．利用單調(diào)性證明不等式例6證所以由零點(diǎn)定理，至少存在一個二、函數(shù)的極值(extremum)1．函數(shù)極值的定義定義

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).2．函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，在的去心鄰域可導(dǎo)，又或不存在,則(不是極值點(diǎn)情形)(是極值點(diǎn)情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下例2解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).定理3(第二充分條件)證同理可證(2).例3解圖形如下注意:若f’’(x)=0或不存在,第二充分條件失效，但f(x)在x0可能取得極值，仍可用第一充分條件判別.見課本例4.27求極值的步驟:三、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)問題:如何研究曲線的彎曲方向?1．曲線的凹凸性(concaveorconvex)圖形上任意兩點(diǎn)的弦總是位于曲線弧的下方圖形上任意兩點(diǎn)的弦總是位于曲線弧的上方凹凸定義BAoBAo2．凹凸性的判定定理1例1解注意到,3.曲線的拐點(diǎn)(apointofinflection)及其求法①

拐點(diǎn)的定義②拐點(diǎn)的求法方法:例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)注意:例4解小結(jié)1.曲線的彎曲方向——凹凸性；凹凸性的判定.2.改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法.思考題思考題解答四、函數(shù)圖形的描繪1.利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步2．漸近線(asymptotes)(1)鉛直漸近線(verticalasymptotes)例如有鉛直漸近線兩條:(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:(horizontalasymptotes)(3)斜漸近線(inclinedasymptotes)斜漸近線求法:注意:3．函數(shù)作圖舉例例1解非奇非偶函數(shù),且無周期性.列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)作圖例2解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)例4解