第九章第二節(jié)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

2023/4/12第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

在討論了狀態(tài)方程的描述、標準形和模型轉(zhuǎn)換后，本章將討論線性多變量系統(tǒng)的運動分析，即線性狀態(tài)方程的求解。對于線性定常系統(tǒng)，為保證狀態(tài)方程解的存在性和唯一性，系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B中各元必須有界。一般來說，在實際工程中，這個條件是一定滿足的。

2.1引言

2.2線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）

2.3矩陣指數(shù)函數(shù)－狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

2.4線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解本章小結(jié)

2023/4/122.1引言

運動分析的目的：是要提示系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和基本特性。運動分析分為：定量分析：對系統(tǒng)的運動規(guī)律進行精確研究，即定量地確定系統(tǒng)由外部激勵作用所引起的響應。定性分析：著重對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有重要意義的幾個關鍵性質(zhì)，如能控性、能觀測性和穩(wěn)定性等進行定性研究。運動分析的數(shù)學實質(zhì)就是從其數(shù)學模型出發(fā)，來定量地和精確地定出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律，以便為系統(tǒng)的實際運動過程作出估計。2023/4/12線性定常系統(tǒng)的運動可分為：1、自由運動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用時，由初始條件引起的運動稱自由運動。

狀態(tài)方程：齊次方程2、強迫運動：線性定常系統(tǒng)在控制作用下的運動，稱為強迫運動。

狀態(tài)方程：非齊次方程x2023/4/122.2線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解又稱為自由解、零輸入響應，或者是自由運動、自治運動。狀態(tài)方程：若給定初始時刻時的狀態(tài)向量值：則任意時刻的狀態(tài)即可確定：此即齊次狀態(tài)方程的解。若初始時刻則其解為：證明：與標量微分方程的求解類似，先假設齊次狀態(tài)方程的解X（t）為t的向量冪級數(shù)形式，即：假設2023/4/12則：代入齊次狀態(tài)方程得：兩邊比較系數(shù)，有：2023/4/12其中，把代入得：上式括號內(nèi)是一個n×n矩陣，它是一個矩陣指數(shù)函數(shù)，記為，即：于是，齊次狀態(tài)方程的解可表示為：2023/4/122.3矩陣指數(shù)函數(shù)－狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣齊次矩陣微分方程的自由解實際上反映了從初始狀態(tài)到任意時刻的狀態(tài)向量的一種變換關系，變換矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)，它不是常量矩陣，而是時間的函數(shù)，這意味著隨著時間的推移，狀態(tài)向量將在狀態(tài)空間中移動，所以也稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。通常記為，表示X（0）到X（t）的轉(zhuǎn)移矩陣。這樣，線性系統(tǒng)的自由解又可表示為因此，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以從任意初始時刻的狀態(tài)向量，求得任意時刻t的狀態(tài)向量。2023/4/12狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的幾何意義由圖中3個式子也可以得到如下關系式或者：2023/4/12二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)1、組合性（分解性）2、3、可逆性2023/4/124、導數(shù)5、對于n×n方陣，當且僅當AB＝BA時，有三、幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)1、若A為對角陣2023/4/122、若A能通過非奇異變換對角化，即若有則3、若A為Jordan矩陣2023/4/12【例2－1】2023/4/124、若四、的計算1、根據(jù)定義直接計算【例2－2】已知系統(tǒng)矩陣求2023/4/12解：此法步驟簡單，適合用計算機計算，但無法得到解析解。2、標準型法（a）A的特征值互異（對角線標準型）2023/4/12【例2－3】已知系統(tǒng)矩陣試求解：（1）求A的特征值特征值互異（2）求A的變換矩陣2023/4/12（3）求（b）A有重特征值2023/4/12當A同時具有重特征值和互異特征值時，可根據(jù)（a）（b）原則求出【例2－4】已知求解：（1）求特征值（2）選定非奇異變換陣2023/4/12（3）求2023/4/123、拉氏變換法證明：由齊次微分方程：兩邊取拉氏變換得：再取拉氏反變換得：又：故：2023/4/12【例2－5】已知試用拉氏變換法求解：2023/4/12對上式取拉氏反變換即得：4、待定系數(shù)法（凱萊－哈密爾頓定理法）（1）凱萊－哈密爾頓定理方陣A滿足其自身的特征方程。若A陣的特征方程為：則有：由凱萊－哈密爾頓定理可以得到：同理：2023/4/12以此類推都可以用表示（2）這樣就可以在的定義式中消去A的n及n以上的冪次項。比如：其特征方程為：2023/4/12根據(jù)凱萊－哈密爾頓定理有：2023/4/12（3）待定系數(shù)的計算(I)A的特征值同樣滿足:所以,可以將n個特征值帶入上式,組成方程組:聯(lián)立求得系數(shù)2023/4/12（II）A的特征值互異時（II）A的特征值有重根，均為時。2023/4/122023/4/12【例2－6】已知，用待定系數(shù)法求解：特征值：2023/4/12【例2-7】，求解：（1）求A的特征值2023/4/12（2）求待定系數(shù)（3）求2023/4/122023/4/12【例2-8】求解：（1）求特征值（2）求待定系數(shù)2023/4/12（3）求2023/4/122.4線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解一、零狀態(tài)響應給定初始狀態(tài)為零的線性定常系統(tǒng)的強迫方程：由上述（1）式所描述的線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應表達式為：證明：將（1）式寫成兩邊同時左乘2023/4/12考慮到：對上式兩邊從0到t積分，得到：又X（0）＝0，2023/4/12【例2-9】給定線性定常系統(tǒng)為：其中，為單位階躍輸入解：（1）求

2023/4/122023/4/12二、同時考慮初始狀態(tài)x0，外輸入作用u的的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)運動規(guī)律。狀態(tài)方程為：其解為：零輸入響應（自由運動）零狀態(tài)響應（強制運動）2023/4/12【例2-10】系統(tǒng)狀態(tài)方程為：求解方程。解：由上例知2023/4/122023/4/12三、由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求系統(tǒng)矩陣A1、問題：已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，確定系數(shù)矩陣A。2、方法：

1）證：

2）證：2023/4/123）3、舉例：【例2-11】已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為試求系統(tǒng)矩陣A。2023/4/12解：法一：2023/4/12法二：2023/4/12法三：2023/4/12本章小結(jié)

在這一章里主要闡述了兩個方面的內(nèi)容：一、線性連續(xù)系統(tǒng)的運動分析（一）線性定常系統(tǒng)運動分析

1運動的分類自由運動強迫運動2運動解的形式自由運動的解：其中為狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。強迫運動的解：2023/4/12