流體力學的基本方程

流體力學的基本方程1第1頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日第六節(jié)伯努利（Bernoulli）能量方程元流的伯努利能量方程總流的伯努利能量方程流體的能量方程是能量守恒及轉(zhuǎn)換定律的具體體現(xiàn)。2第2頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日一、元流的伯努利方程

(流線上的伯努利方程)（一）伯努利方程的建立能量守恒定理：外力作功之和流體末動能流體初動能能量守恒定理可敘述為：時段dt內(nèi)流段動能的增量等于同時段內(nèi)外力對流段作功之總和。3第3頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日設有一定常、不可壓縮、質(zhì)量力只有重力的元流，取兩過水斷面1、2，其上流速和壓強分別為：在時段dt內(nèi)，元流1-2運動至1′-2′的位置。4第4頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日1、動能的增量由不可壓縮元流的連續(xù)方程：故整個流段在dt時間內(nèi)動能的增量為：5第5頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日重力所作的功等于位能的減少。摩擦力對流體作負功，它等于1-1′微段流體歷經(jīng)全程運動至2-2′，阻力所作的功。2、外力作功總和6第6頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日表示摩擦阻力對微元流段平均按單位重力流體計算沿全程所作的功。根據(jù)能量守恒定理得：兩邊同除以流體重量，則得單位重量流體的關(guān)系式：7第7頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日這就是重力作用下不可壓縮流體、定常元流的伯努利方程，它表明沿元流各斷面位置高度、壓強及流速三個運動參數(shù)之間的變化規(guī)律。對于理想流體而言：8第8頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日（二）伯努利方程式的意義1、幾何意義伯努利方程各項都具有長度量綱，幾何上可用某個高度來表示，常稱作水頭。

伯努利方程式表明在重力作用下不可壓縮的理想流體作定常流動時，單位質(zhì)量流體所具有的位置水頭，壓強水頭，速度水頭之和即總水頭（或總機械能）為一常數(shù)。位置水頭壓強水頭測壓管水頭速度水頭總水頭9第9頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日2、物理意義實際流體沿元流從一個斷面流到另一個斷面時，位能、壓強勢能、動能可以互相轉(zhuǎn)化，但在流經(jīng)前一個斷面時所具有的單位總機械能，應等于它在流經(jīng)后一個斷面時所具有的單位總機械能，與流體在流經(jīng)兩斷面之間過程中的單位阻力損失之和。換句話說，在定常條件下，沿流動方向，流體單位總機械能總是減小的，反映了機械能既轉(zhuǎn)換又守恒的關(guān)系，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流體動力學中的應用，又稱為能量方程。10第10頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

總機械能不變，并不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有消長，相互轉(zhuǎn)換，但總量不會增減。***************************************

對于理想元流，其任意兩個過水斷面的單位總機械能相等。由于是恒定流，通過元流各過水斷面的質(zhì)量流量相同，所以在單位時間里通過各過水斷面的總機械能（即能量流量）也相等。11第11頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日代表單位重力流體的位置勢能代表單位重力流體的壓強勢能代表單位重力流體的總勢能代表單位重力流體的動能代表單位重力流體的總機械能代表單位重力流體克服流動阻力而消耗掉的機械能12第12頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

水頭線將各項水頭沿程變化的情況幾何表示出來。測壓管水頭線總水頭線位置水頭線水平基準線3、伯努利能線圖（水頭線）理想流體恒定元流的總水頭線是水平的。13第13頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日位置水頭線實際流體總水頭線水平基準線測壓管水頭線oo理想流體總水頭線特點：實際流體恒定元流的總水頭線是下降的，其它水頭線可升可降。14第14頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日（三）元流伯努利方程的應用射出小孔的諸元流都通到大氣界面上，小孔中心B處的元流來自自由界面之上的A處（不必確定一點），對A、B兩點列伯努利方程：15第15頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日16第16頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

應用伯努利方程式，利用皮托管可以測定運動流體的速度?？倝汉挽o壓的概念：設在以均勻速度V水平流動的流體中有一障礙物，在受阻中心一點（駐點），流動完全停止，該點壓強記為P0，稱為總壓。在終止于駐點的元流上，障礙物遠前方未受到擾動的一點處，流速為V，壓強為P，稱為靜壓。對元流上駐點和未受擾動點列伯努利方程：故只要測出流動中一點的總壓和靜壓，則該點流速即可算出。17第17頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日AhⅡ管BⅠ管v代入伯努利方程

假設

Ⅰ、Ⅱ管的存在不擾動原流場。用于測量總壓的彎成90°的管子，稱為皮托管。由法國人皮托發(fā)明，并于1773年首次測量塞納河的流速。18第18頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

實際使用中，在測得h，計算流速v

時，還要加上畢托管修正系數(shù)c，即畢托管利用兩管測得總水頭和測壓管水頭之差——速度水頭，來測定流場中某點流速。

實用的畢托管常將測壓管和總壓管結(jié)合在一起。Ⅰ管——測壓管，開口方向與流速垂直。Ⅱ管——總壓管，開口方向迎著流速。Ⅱ管Ⅱ管測壓孔Ⅰ管Ⅰ管測壓孔********************************思考為什么？19第19頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日二、總流的伯努利方程1、總流伯努利方程的建立如圖所示為一總流，上、下游各取一過水斷面，在斷面上任取一元流，對該元流列伯努利能量方程：單位時間內(nèi)兩元流過水斷面間的能量關(guān)系有：20第20頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日將元流迭加，得單位時間內(nèi)總流過水斷面1-1和2-2間的能量關(guān)系式：上式可改寫為：21第21頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日根據(jù)連續(xù)方程，有：為得到便于應用的形式，需作以下處理：所以有：體積流量漸變流有兩個特點：（1）流線間的夾角很小，流線幾乎是平行的；（2）流線具有很大的曲率半徑，即流體慣性很小，可近似認為質(zhì)量力只有重力。22第22頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日流速分布越均勻，α越接近于1.0；流速分布越不均勻，α的數(shù)值越大。在一般的漸變流中的α值為1.05-1.10。為簡單起見，也常近似地取α=1.0。23第23頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日24第24頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

總流水頭線的畫法和元流水頭線是相仿的，其中位置水頭線一般為總流斷面中心線。恒定總流能量方程的幾何表示——水頭線

與元流一樣，恒定總流能量方程的各項也都是長度量綱，所以可將它們幾何表示出來，畫成水頭線，使沿流能量的轉(zhuǎn)換和變化情況更直觀、更形象。水平基準線位置水頭線測壓管水頭線總水頭線oo***********25第25頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日均勻流的過水斷面上粘性力的分量為零，只有壓差力與重力之間的平衡，所以動水壓強按靜水壓強的規(guī)律分布。均勻流的過水斷面上測壓管水頭是常數(shù)

只能在同一過水斷面上應用上述結(jié)論，因為x

方向的運動方程里有粘性力項，所以沿著流動方向動水壓強分布不同于靜水壓強，導致不同過水斷面上測壓管水頭可能是不同的常數(shù)。

漸變流近似于均勻流，所以漸變流過水斷面上的測壓管水頭可視為常數(shù)，任何一點的測壓管水頭都可以當作過水斷面的平均測壓管水頭。************^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^26第26頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日漸變流過水斷面上測壓管水頭的積分

急變流中同一過水斷面上的測壓管水頭不是常數(shù)，因為急變流中，位變加速度不等于零，過水斷面上有壓差力、重力和慣性力的分量，不再是僅有壓差力和重力相平衡的情況，慣性力也參與進來了，造成斷面測壓管水頭不等于常數(shù)。^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^27第27頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日漸變流過流斷面上測壓管水頭是常數(shù)31OO123228第28頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日23z1z3z2OO1急變流過流斷面上測壓管水頭不是常數(shù)離心力方向29第29頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日2、總流伯努利方程應用注意事項（1）總流伯努利方程式的應用條件不可壓縮流體的定常流動；質(zhì)量力只有重力；所取斷面應是漸變流斷面，但在其間可不必要求；沒有其它形式的能量的輸入輸出；上、下游兩過水斷面屬于同一個總流，無總流的分出、匯入。30第30頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日取定基準面后，位置水頭Z原則上與P/γ取在過水斷面上的同一點，一般為過水斷面的中心位置；P可取絕對壓強，也可取相對壓強，但方程兩端要一致；α值，紊流α=1，層流α=2；hω

=Σhf+Σhj：沿程阻力損失與局部阻力損失之和。

hf（沿程阻力損失）—與流道的形狀無關(guān)，取決于流體的屬性（粘性）。

hj（局部阻力損失）——與流道的形狀有關(guān)。（2）方程中各項的取值31第31頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日（1）沿程有能量輸入或輸出的伯努利方程式3、總流伯努利方程的擴充總流兩斷面間如果裝有泵、風機、水輪機等裝置，流體流經(jīng)這些裝置就會有能量交換，則總流的伯努利方程式為：HP——對流過總流兩斷面間每單位重流體輸入或輸出的能量?！?”——對應于水泵；“-”——對應于水輪機。32第32頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日1122ooz水泵管路系統(tǒng)==000z水泵33第33頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日水泵的功率單位時間水流獲得總能量分子水泵效率分母揚程揚程提水高度34第34頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日引水渠壓力鋼管水輪機122ooz1水輪機管路系統(tǒng)=z0=0035第35頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日水輪機功率單位時間水流輸出總能量水輪機效率揚程水輪機作用水頭不包括水輪機系統(tǒng)內(nèi)的損失36第36頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日（2）沿程有分流的伯努利方程式通過過流斷面1的流體，不是流向斷面2，就是流向斷面3，對斷面1-2，1-3分別列出伯努利方程式：37第37頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日將上面方程1乘以，方程2乘以，然后相加，且，最后得分流的伯努利方程式：38第38頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日（3）沿程有匯流的伯努利方程式同理可得匯流的伯努利方程式：39第39頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日4、總流伯努利方程的應用恒定總流伯努利能量方程表明三種機械能相互轉(zhuǎn)化和總機械能守恒的規(guī)律，由此可根據(jù)具體流動的邊界條件求解實際總流問題。(1)一個跌水的例子

取頂上水深處為1-1斷面，平均流速為v1，取水流跌落高度處為斷面2-2，平均流速為v2，認為該兩斷面均取在漸變流段中。基準面通過斷面2-2的中心點。1122oahv1v2o40第40頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日=a

+h=0=0

在水面點取值四周通大氣，取斷面形心處的位置水頭忽略空氣阻力寫出總流能量方程如已知a，h，v1，即可求出v2近似地取

整股水流的水面都與大氣相通，屬于無壓流動，因此在流動過程中我們僅看到位置勢能和動能之間的轉(zhuǎn)換。

%%%%%%%%%*******41第41頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

文透里管是一種常用的量測管道流量的裝置，它包括“收縮段”、“喉道”和“擴散段”三部分，安裝在需要測定流量的管道上。在收縮段進口斷面1-1和喉道斷面2-2上接測壓管，通過量測兩個斷面的測壓管水頭差，就可計算管道的理論流量Q，再經(jīng)修正得到實際流量。

d11d2221Qh1h2@@@@

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(2)文透里流量計42第42頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日d11d2221Qh1h2根據(jù)恒定總流連續(xù)方程：即：如圖所示，對1-1，2-2斷面列伯努利方程式：43第43頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日代入上式，得：所以理論流量為：44第44頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日

當管中流過實際液體時，由于兩斷面測管水頭差中還包括了因粘性造成的水頭損失，流量應修正為：

其中：稱為文透里管的流量系數(shù)，由實驗標定；K由幾何參數(shù)確定；由儀表讀數(shù)確定。式中：45第45頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日d11d2221Q2d22Qd111斜置上下游倒置思考文透里管可否斜置?可否上下游倒置?46第46頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日例題:47第47頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日取池面為1-1斷面，水泵入口處為2-2斷面，對1、2兩斷面列伯努利能量方程：解：48第48頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日如果泵的入口處壓強降低得很多的話，則泵的工作流體易發(fā)生相變，即水的汽化，降低了泵的使用壽命。49第49頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日作業(yè)：2-242-252-2850第50頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日第七節(jié)動量方程和動量矩方程動量方程——用于求解運動流體與固體邊壁之間相互作用力的問題。動量定理：物體運動時，動量的時間變化率，等于作用在該物體上所有外力的矢量和。數(shù)學表示為：51第51頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日一、恒定總流的動量方程假設條件：不可壓縮的流體作定常流動，總流1-2經(jīng)時段運動至1′-2′，則動量變化為：52第52頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日引入斷面平均流速，則按平均流速計算動量時，就應引入動量修正系數(shù)：53第53頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日所以：（2-107）54第54頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日動量方程（2-107）在三個坐標軸上的投影為：（2-108）（2-107）55第55頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日應用動量方程解題的注意事項：動量方程是一個矢量方程（選定坐標系）；動量方程中

是指外界作用在流體上的力；動量修正系數(shù)β的取值，對于圓管層流為4/3，對于圓管紊流和一般的工業(yè)管道，近似取為1；外力和速度的方向問題，它們與坐標方向相同時為正，與坐標方向相反時為負。而（2-108）式中左邊所固有的“-”號與速度的正、負無關(guān)，這個“-”號只表示流入，而不表示流入速度的方向。56第56頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日二、恒定總流動量方程式的應用在如圖所示的變徑彎管中，已知：

57第57頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日取1-1和2-2斷面及彎管內(nèi)表面為流管控制體。作用在流體質(zhì)點系的總外力包括：彎管對控制體內(nèi)流體的作用力：過流斷面上外界流體對控制體內(nèi)流體的作用力：假定管道在水平面內(nèi)，重力不予考慮，分別列X和Y方向的動量方程：58第58頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日由此解出流體對管道的作用力：計算結(jié)果如果為正，則流體對管道的作用力方向與原假設一致，否則，則與原假設相反。合力的大小和方向為：（2-110）59第59頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日特例1：直角變徑彎管60第60頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日特例2：直角等徑彎管61第61頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日特例3：反向等徑彎管62第62頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日特例4：逐漸收縮管63第63頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日特例5：等徑直管等徑直管中流體對管道的作用力實質(zhì)上就是作用在管壁上的摩擦力,將除以管壁的摩擦面積，即可得管壁上的切應力：64第64頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日只要測出相距為L的兩斷面上的壓強差，則可計算直管壁上的切應力和摩擦力。若列1、2兩斷面的伯努利方程，由于65第65頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日特例6：突然擴大管(A)突然擴大處流線不能轉(zhuǎn)折，在“死角”處產(chǎn)生旋渦，旋渦區(qū)內(nèi)的流體沒有主流方向的運動，因而流體對突然擴大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，而是作用在突然擴大臺肩圓環(huán)斷面上的靜壓力，此臺肩上的靜壓強是，靜壓力的方向向左，即：66第66頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日(B)再列1、2兩斷面上的伯努利方程，可得：(D)(C)由（C）、（D）兩式即可得出突然擴大管的局部水頭損失：包達定理67第67頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日表達一切局部阻力損失的普遍公式！68第68頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日彎管水平轉(zhuǎn)過60度d=500mmQ=1m3/s已知v1R’xP1P2R’y

R’v2oyx112260o

水流對彎管的作用力水流對彎管的作用力R求例

恒定總流動量方程應用舉例69第69頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日v1R’xP1P2R’y

R’v2oyx112260o代入解得R為R’的反作用力70第70頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日上下游斷面取在漸變流段上。動量方程是矢量式，式中作用力、流速都是矢量。動量方程式中流出的動量為正，流入為負。分析問題時，首先要標清流速和作用力的具體方向，然后選取合適的坐標軸，將各矢量向坐標軸投影，把動量方程寫成分量形式求解。在這個過程中，要注意各投影分量的正負號。本例要點71第71頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日本例中流體水平轉(zhuǎn)彎，鉛垂方向無動量變化，重力不出現(xiàn)。對于未知的邊界作用力可先假定一個方向，如解出結(jié)果為正值，說明原假設方向正確；如解出結(jié)果為負值，則作用力方向與原假設方向相反。方程中應包括作用于控制體內(nèi)流體的一切外力：兩斷面上的壓力、重力、四周邊界對水流的作用力。不能將任何一個外力遺漏。動量方程中出現(xiàn)的是彎管對水流的作用力，水流對彎管的作用力是其反作用力。72第72頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日112233αp1v1v2v3xyo三、求解恒定總流問題的幾點說明恒定總流的三大方程，在實際計算時，有一個聯(lián)合應用的問題，應根據(jù)情況靈活運用。

在有流量匯入或分出的情況下，要按照三大方程的物理意義正確寫出它們的具體形式。p2p373第73頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日112233αp1v1v2v3xyop2p3

連續(xù)方程：

動量方程（以x方向為例）：74第74頁，共83頁，2023年，2月20日，星期日112233αp1