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文檔簡介
本文格式為Word版,下載可任意編輯——《固體物理學答案》第四章晶體的缺陷
1.求證在立方密積結構中,最大的間隙原子半徑R之比為
r
0.414R
[解答
]
對于面心立方結構,如圖4.1所示,1原子中心與8原子中心的距離,等于1原子中心與2原子中心的距離,對于立方密積模型,
圖4.1面心立方晶胞
由于1原子與8原子相切,所以1
原子與2原子也相切,同理,1,2,3,4原子依次相切,過1,2,3,4原子中心作一剖面,得到圖4.2.1與2間的距離為
圖4.2通過面心立方晶胞上下左右面心的剖面圖
2R
即R
2a,2
2
a.與1,2,3,4相切的在1,2,3,4間隙中的小球的半徑r由下式?jīng)Q定4
a2R2r,
12()a.
24r
10.414.于是有R
即r
2.假設把一個Na原子從Na晶體中移到表面上所需的能量為1eV,計算室溫時肖特基缺陷的濃度.[解答]
對于肖特基缺陷,在單原子晶體中空位數(shù)為
n1Ne
u1
BT
式中N為原子數(shù),u1為將一個原子由晶體內的格點移到表面所需的能量,取室溫時T
u1
n11.60*1019BT
eexp1.38*1023*300肖特基缺陷的相對濃度N
300K
,得到溫時
e38.61.72*1017
3.在上題中,相鄰原子向空位遷移時必需越過0.5eV的勢壘,設原子的振動頻率為10的擴散系數(shù).計算溫度100C時空位的擴散系數(shù)提高百分之幾.
[解答]
由《固體物理教程》(4.32)式可知,空們擴散系數(shù)的表示式為
12
Hz試估計室溫下空位
12
av01e(u1E1)/kbT,(1)2
式中a為空們騰躍一步所跨的距離,v01為與空們相鄰的原子的振動頻率,u1為形成一個空位所需要的能n1Ne
BT
u1
1D1
量,
'
E1為相鄰原子抽空位遷移時必需越過的勢壘高度,已知晶體是體心立方結構,晶格常數(shù)
a4.282A空位每跳一步的距離為aa'/2,v011012Hz,u11eV,E10.5eV將上述
數(shù)據(jù)代入(1)式,得到T300K,373K時空位擴散系數(shù)分別為
1923110
*1012*e1.5*1.6*10/(1.38*10*300)m2/sD1300K**4.282*1022
4.584*1033m2/s
2
D2
373K
19231310
*1012*e1.5*1.6*10/(1.38*10*373)m2/s**4.282*1022
2
3.874*1028m2/s
于是得到
D1373KD1300K
D1300K
8.451*104.
從上式可知,溫度100C時空位的擴散系數(shù)比室溫下空位的擴散系數(shù)提高4個數(shù)量級.
4.對于銅,形成一個不肖特基缺陷的能量為1.2eV,形成一個填隙原子所需要的能量為4eV.估算接近1300K(銅的熔點)時,兩種缺隙濃度時的數(shù)量級差多少.[解答]
根據(jù)《固體物理教程》中(4.19)(4.20)式可知,空位和填隙原子的數(shù)目分別為n1
Neu1/kBT,
n2Neu21/kBT.
在其次式中已取間隙位置數(shù)等于原子數(shù),由上述兩式得單位體積銅中空位和填隙原子的濃度分別為
N0u1/kBT
e,mN
C2n20eu21/kBT.
mN
C2n20eu21/kBT.
m
式中m為摩爾質量,為質量密度,將C1n1
u11.2eV1.2*1.602*1019J,u24eV4*1.602*1019J,m63.54*103kg/mo1,N06.022*1023/mo1,
8.92*103kg/m3,T1300K,
kB1.381*1023J/K代入C1和C2得
6.022*1023*8.9*1031.2*1.602*1019/(1.381*1023*1300)3
C1em
63.54*103
8.454*1028*e10.708m31.891*1024m3
6.022*1023*8.9*1034*1.602*1019/(1.381*1023*1300)3
C2em3
63.54*10
8.454*1028*e35.69m32.674*1013m3.
從以上兩式可以看出,接近1300K(銅的熔點)時,肖特基缺陷和填隙原子缺陷濃度相差11個數(shù)量級.
5.在離子晶體中,由于,電中性的要求,肖特基缺陷都成對地產生,令n代表正負離子空位的對數(shù),E是形成一
對肖特基缺陷所需要的能量,N為整個離子晶體中正負離子對的數(shù)目,證明n[解答]
由N個正離子中取出n個正離子形成n個空位的可能方式數(shù)為
NeE/2kBT.
W1
N!
(Nn)!n!N!
.
(Nn)!n!
2
同樣.由個負離子中取出個負離子形成個空位的可能方式數(shù)也為
W2
因此,在晶體中形成對正,負離子空位的可能方式數(shù)為
N!
WW1W1(Nn)!n!
與無空位時相比,晶體熵的增量為
SkB1nW2kB1n
N!
(Nn)!n!
N!
,
(Nn)!n!
若不考慮空位的出現(xiàn)對離子振動的影響,晶體的自由能
FF0nETSF0nE2kBT1n
其中F0是只與晶體體積有關的自由能,利用平衡條件
F0nT
及斯特林公式1nN!N1nNNN1nN
得
F
E2kBTN1nN(Nn)n1n
nnT
Nn
E2kBT1n0.
n
n
eE/2kBT.由此得
Nn
由于Nn,因此得nNeE/2kBT.
6.試求有肖特基缺陷后,上題中的體積的相對變化V/V.V
為無缺陷時的晶體體積.
[解答]
肖特基缺陷是晶體內部原子跑到晶體表面上,而使原來的位置變成空位,也就是說,肖特基缺陷將引起晶體體積的增大,設每個離子占據(jù)體積為v則當出現(xiàn)n對正、負離子空位時,所增加的體積為V而晶體原體積為V
2nv.
2Nv.
E/2kBT
由以上兩式及上題中的結果nNeVn
eE/2kBT.得VN
7.設NaC1只有肖特基缺陷,在800C時用X射線衍射測定NaC1的離子間距,由此確定的質量密度算得的
分子量為58.430,而用化學方法測定的分子量為58.454.求在800C時缺陷的相對濃度.
[解答]
即使在800C時,晶體是的缺陷數(shù)目與正常格點上的原子數(shù)目相比也是很少的,因此,在忽略熱膨脹的影響的狀況下,X射線測得的離子間距可視為正常離子間的距離,設NaC1晶體的離子間距為d,則晶格常數(shù)為2d,一個晶胞內包含4個NaC1分子,再設晶體總質量是M,無缺陷時體積為V0有缺陷時體積V,用X射線方法確定的分子質量可表示為
(2d)3V
M
.
用化學方法測得的分子質量可視為真實的分子質量,可表示為
(2d)3V0
M
.
設用射線方法和化學方法測定的分子量分別為
A',A,則進一步得
2d3M
N0A',V2d3M
N0A,V0
基中N0為阿伏加德羅常數(shù),由以上兩式得
AVV1
V0A'V0
.
以
n
N
表示缺陷時的相對濃度,利用上題結果
Vn
VN
得缺陷的相對濃度
nA58.454
'114.1*104.NA58.430
8.對以下晶體結構,指出最密原子排列的晶列方向,并求出最小滑移間距.(1)體心立方;(2)面心立方.[解答]
(1)體心立方晶系原胞坐標系中的晶面族(h1h2h3)的面間距
dh1h2h3
a
(h2h3)(h3h1)(h1h2)
2
2
2
.
可以看出,面間距最在的晶面族是{001},將該晶面指數(shù)代入《固體物理教程》(1.32)式,得到該晶面族對應的密勒指數(shù)為{001}.面間距最大的晶面上的格點最密,所以,密勒指數(shù){001}晶面族是格點最密的面,面間距在的晶面間的結合力小,所以格點最密的面便是滑移面.最密的線一定分布在格點最密的面上.由圖4.3虛線標出的(110)晶面簡單算出,最密的線上格點的周期為
a.2
3
a.2
具有簡單晶格的晶體滑移時,是一個晶格周期一個晶格周期的一步步滑移,因此,最小滑移間距為
圖4.3體心立方晶胞
(2)面心立方晶系原胞坐標系中的晶面族(h1h2h3)的面間距
dh1h2h3
a
(h1h2h3)(h1h2h3)(h1h2h3)
2
2
2
可以看出,面間距最大的晶面族是{111}.由第一章第15題可知,對于面心立方晶體,晶面指數(shù)(h1h2h3)與晶面指數(shù)(hkl)的轉換關系為
將晶面指數(shù){111}代入上式,得到該晶面族對應的密勒指數(shù)也為{111}.面間距最大的晶面上的格點最密,所以密勒指數(shù)晶面族是格點最密的面,即{111}晶面族是滑移面。格點最密的線一定分布在格點最密的面上,由圖4.4虛所標出的(111)晶面上的格點簡單算出,最密的線上格點的周期為
2a.2
具有簡單晶格的晶體滑移時,是一個晶格周期一個晶格周期的一步步滑移,因此最小滑移間距為
2a.2
圖4.4面心立方晶胞
9.銅是面心立方結構,原子量設為W,絕對零度時晶格常數(shù)為a,設熱缺陷全為肖特基缺陷,測得銅在溫度
T,下的質量密度為,或者測定出膨脹系數(shù)為,求形成一個肖特基缺陷所需要的能量.
[解答]
肖特基缺陷跑到晶體表面上,使晶體體積增大,設溫度T為時的肖特基缺陷數(shù)目為n1銅原子總數(shù)為N,絕對零度時銅的體積為V0溫度為T時的體積為V,利用第6題的結果,則有由熱膨脹知識可知
VV0n1
eu/kBT.V0N
Na3
(1T).VV0(1T)4
由以上兩式得u1kBT1nT再從VNW,是原子質量單位,
NW
又得V.
由以上諸式可得
NW
Na3
4W4
1eu/kBT.33Naa
44W
kBT1n1a3.
于是,形成一個肖特基缺陷所需要的能量又可表示為u1
其實(1)與(2)式是統(tǒng)一的,設絕對零度時銅的質量密度為0由NW
V0V0V001T1TV
得
01T
由于銅是面心立方結構,一個晶胞內包4個銅原子,所以
4W14W1
3(0)1T3
aa
將上式代入(2)式得u1
kT1nT.
也就是說,若能斷定晶體只有肖特基缺陷,只要測得晶體在溫度T下的質量密度,或者測定出晶體的體膨脹系數(shù)為,均可求出形成一個肖特基缺陷所需要的能量.
10.有一簡單晶格的晶體,原子在間隙位置上的能量比在格點上高出1eV,試求有千分之一的原子變成間隙原
子時的溫度[解答]
將間隙位置數(shù),格點數(shù)及原子數(shù)三者視為近似相等,并設為N.在N個子格點中形成n個空位的可能方式數(shù)為W1
N!
.
(Nn)!n!N!
(Nn)!n!
2
n個填隙原子在N個間隙位置上排列的可能方式數(shù)為W2
因此同時形成n個空們和n個填隙原子的可能方式數(shù)為
N!
WW1W2
(Nn)!n!
由此導致的晶體的熵的增加量為S晶體的自由能F
.
kB1nW2kB1n
N!
(N)!n!
N!
(Nn)!n!
F0nETSF0nE2kBT1n
式中F0是只與晶體體積有關的自由能,u表示原子位于間隙位置比在正常格點高出的能量,利用平衡條件
F0nT
及斯特林公式nN!
N1nNNN1nN
NnF
得u2kT1n0B
nnT
n
eu/2kBT.于是有
Nn
n
eu/2kBT由于實際上Nn,因此N
u1
從而得T.
2kB1n(N/n)
J,kB1.381*1023J/K,n103N,
代入上式得T840K.
11.AB型離子晶體,只有正負離子空位和A填隙離子三種熱缺陷,負電性的正離子空位,其電荷是
vv
由負離子空位的正電荷抵消,還是由間隙正離子的正電荷抵消,取決于(uu)kBT或vivvi
分別為正負離子空位和正填隙離子的形成能,利用是電性條件證明,u,u(uu)kBT其中u
將u=1eV=1.602*10
19
(1)當(u(n)s(2)當(u(n(3)
v
v
v
vu)kBT時,只有肖特基缺陷
v
vvv(n)sNNe
vv
(uu)/kBT
1
2
iu)kBT時,只有弗侖克爾缺陷
)f(n)fNNe
i
v
1
viu)/kBT2i(u
n(n)(n)
v2(n)nvs
nv
v
v2s
1v22
;f
;
i
n
i2
(n)fvnv
i
;
[解答]
設N,N和N分別表示正負離子總數(shù)和間隙正離子總數(shù),n,n,n分別表示正負離子空位數(shù)和正填隙離子數(shù),
u,u和u分別為正負離子空位和正填隙離子的形成能,則晶格系數(shù)的自由能
vvvvii
FF0nununu
vvi
N!N!N!
.(1)kBT1nv
vvvvviii
(Nn)!n!(Nn)!n!(Nn)!n!
v
v
i
v
v
v
i
其中F0是只與體積有關的自由能,由電中性條件
vi
qnqn0(2)vvi
得nnn,(3)
vvi
其中q是正負離子空位和正填隙離子的等效電荷,這里假定它們的等效電荷都相等.u,u,u既是(1)
qn
v
式的變量,又是(2)式的變量.因此,在求自由能的微小值時應考慮電中性的約束條件,為此,在(2)式左端乘以參量,并代入(1)式得F
vvvvii
F0n(uq)n(uq)n(uq)
vvi
N!N!N!
.(4)kBT1nv
vvvvviii
(Nn)!n!(Nn)!n!(Nn)!n!
利用自由能的微小值條件
FFF
0,0,0,vvi
nnn
v(uq)/kBT
,(5)Ne
i
q)/kBTi(u
可得熱缺陷數(shù)目為n
i
v
v
nNe
,(6)
vv(uq)/kBT
.(7)nNe
v
再將以上三式代入(3)式,得e
q/kBT
v
1N
v
Ne
v
vv(uu)/kBT
Ne
i
1
vi(uu)/kBT2
.
將上式再代入n的表示式,得
n
v
Ne
v
vu/kBT
1vvvi
v(ui(uNeu)/kBTNeu)/kBT
Nv
1
2
NNe
1
viu)/kBT2i(u
.(8)
vv
(1)從(8)式可以看出,當B時,
1
vvu)/kBT2vvv(u
.
vv
(9)式說明,當B時,填隙離子的數(shù)目可以忽略。也就是說,在晶體在可近似認為
vv
只有肖特基缺陷,(9)式中便是形成一對正負離子空位缺陷所需的能量便是肖特基缺陷,
v
vvu)/kBTv(u
NNe
(uu)kT
v
nNNe
(uu)kT
(uu)
vs
vs
中的正離子的空位數(shù)目,由于正負離子的空位數(shù)目相等,所以,在只有肖特基缺陷狀況下
(n)(n)NNe
(2)從(8)式還可以看出,當(un
v
v
v
1
vvu)/kBT2v(u
.
iu)kBT時,(8)式變成
.NNe
vv
(10)式說明,當(uu)kBT時,負離子空位的數(shù)目,可以,忽略,也就是說..在晶體中可近似認為只
vi
有正離子的弗侖克爾缺陷.(10)式中(uu)便是正常格點上的一個正離子跳到間隙位置所需的能
v
量,n便是弗侖克爾缺陷中的正離子的空位數(shù)目,對弗侖克爾缺陷,空位數(shù)等于填隙離子數(shù)所以
vivi(n)f(n)fNNe
v
i
1
vi(uu)/kBT2
vi(uu)/kBT
1
2
.
(3)在一般狀況下,(8)式化成n
v
NNe
vv
vv(uu)/kBT
NNe
v
v
1
vi(uu)/kBT2
n
v
(n)(n)
vs
1v2.s
由(5)式與(7)式的乘積得
v
nNNe
.
vv
vvu)/kBTv(u
v2(n)s
v2
(n)s
即nv
n
由(5)式與(6)式的乘積得n即n
iv
ivi(uu)/kBTi2nNNe(n)f,
v
i
i2
(n)f
n
v
.
12.若計及缺陷對最近鄰離子振動頻率的影響,采用愛因斯坦模型,求高溫時離子晶體中成對出現(xiàn)的肖特基缺陷對的數(shù)目,設任一離子有m個最近鄰,與空位相鄰離子的振動頻率都一致。[解答]
設晶體中共有N對正,負離子,n對正負離子空位,形成一對缺陷,所需能量為E。由第5題的有關結果知,當不考空位對離子振動的影響時,晶體的自由能F
F0nE2kBT1n
N!
.
(Nn)!n!
此外,由《固體物理教程》(3.152)式可知,在高溫條件下,晶體原子的振動對自由能的貢獻為
F2kBT1n(1ei/kBT).
i1
6N
若采用愛因斯坦模型,則各振動頻率一致,再考慮到高溫時有1e
2/kBT
kBT
,
可得kBT
1n(1e
i1
6N
i/kBT
)6NkBT1n(1e
.
/kBT
)
6NkBT1n
kBT
根椐題意,可設空位使最近鄰的m個離子的振動頻率從變?yōu)?在整個晶體中共有2nm個離子振動頻率為,其他2N-2nm個離子的振動頻率仍為,頻率的不同引起的自由能的變化為
'
'
'
F2[6nmkBT1n3(2N2nm)kBT1n]6NkBT1n
kBTkBTkBT
'
6nmkBT1n
.
由以上諸式得晶體的總的自由能
FF1F2F2
N!'
F0nE2kBT1n6NkBT1n6nmkBT1n
(Nn)!n!kBT
F
根據(jù)平衡條件0,
nT
并應用斯特林公式1nN!N1nN,得
n2'6mF
EkBT1n0
nNnT
.
n
即'eE/kBT.
Nn由于實際上Nn,于是
3m
E/kBT
nN.e'
13.對單原子晶體,在尋常溫度下,肖特基缺陷數(shù)目與最近鄰原子的振動頻率的改變有關,試用愛因斯坦模型,證明平衡時肖特基缺陷數(shù)目
/kBTu1/kBT1e,nNe
1e/kBT
并探討TE和TE的極限狀況,其中u1是肖特基,缺陷形成能,m是空位的最近鄰原子數(shù),
3m
3m
和為最近鄰無空位和有空位時原子的振動頻率
[解答]
設含有N個原子的簡單晶體中,存在n個空位,當原子振動頻率不變時,晶體的自由能為
F1F0nu1TSF0nu1kBT1n
N!
(Nn)!n!
依照愛因斯坦模型,有空位缺陷時晶體的振動對自由能的貢獻為
/kBT/kTB
F23(Nnm)kBT1n(1e)3nmkBT1n(1e).
2kBT2kBT
根據(jù)平衡條件
(F1F2)F0,nnTT
并應用斯特林公式1nN!N1nN,得
nFukT1n3m1BNn2nT
/kBT
1e
3mkT1n0.B/kBT1e
能量u1比電子能量或大得多,將上式中
3m2
忽略掉,則有
/kBTNu1/kBT1ee
/kBTNn1e
由Nn,得
3m
.
/kBTu1/kBT1enNe
/kBT1e
3m
.
引進愛因斯坦溫度E在高溫時,即T1e
kB
,
E時,有
,1e/kBTkBTkBT
/kBT
.
u/kT
于是nNe1B.
由于
3m
,因此上式說明高溫下空位更簡單形成
在低溫狀況下,即T
u/kT
E時有
1e/kBT1e
/kBT
1,
于是nNe1B.
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