211二重積分概念

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很好的教案

其次十一章二重積分

1二重積分概念

教學(xué)目的把握二重積分的定義和性質(zhì)．教學(xué)內(nèi)容二重積分的定義和性質(zhì)．

(1)基本要求：把握二重積分的定義和性質(zhì)，二重積分的充要條件，了解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的可積性．

(2)較高要求：平面點(diǎn)集可求面積的充要條件．教學(xué)建議

(1)要求學(xué)生必需把握二重積分的定義和性質(zhì)，知道有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積．由于二元函數(shù)可積的充要條件與定積分類似，這方面的內(nèi)容可作簡(jiǎn)單介紹．

(2)對(duì)較好學(xué)生可詳細(xì)陳述二元函數(shù)可積的充要條件的證明，并布置有關(guān)習(xí)題．教學(xué)程序

一、平面圖形的面積

（一）、內(nèi)、外面積（約當(dāng)，黎曼外內(nèi)測(cè)度）的概念

直線網(wǎng)T分割平面圖形P，T的網(wǎng)眼中小閉矩形i的分類：（ⅰ）i含的全是P的內(nèi)點(diǎn),

（ⅱ）i含的全是P的外點(diǎn)（不含P的點(diǎn)）,（ⅲ）i內(nèi)含有P的邊界點(diǎn),記sPT為T的第ⅰ類i的面積的和．記SPT為T的第ⅰ和第三類i的面積的和．記IP=記IP=

supsPTT，稱為P的內(nèi)面積．

infSPTT，稱為P的外面積．

定義1若平面圖形P的內(nèi)面積IP等于它的外面積IP，則稱P為可求面積，并稱其共同值IP=IP=IP為P的面積（約當(dāng)，黎曼測(cè)度）

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定理21.1平面有界圖形P可求面積的充要條件是：對(duì)任給的0，總存在直線網(wǎng)T，使得

SPTsPT.（2）

證明[必要性]設(shè)平面有界圖形P的面積為IP．由定義1，有IP=P=IP．對(duì)任給的，由IP及P的定義知道，分別存在直線網(wǎng)T1與T2，使得

sPT1IP,SPT2IP

22，

記T為由T1與T2這兩個(gè)直線網(wǎng)合并的直線網(wǎng)，可證得

sPT1sPT，SPT2SPT，(3)

于是由（3）可得

sPTIP

2

,SPTIP

2，

從而得到對(duì)直線網(wǎng)T有SPTsPT，

[充分性]對(duì)任給的0，存在直線網(wǎng)T，使得（2）式成立．但

sPTPIPSPT，

所以IPPSPTsPT，

由的任意性，因此P=IP，因而平面圖形P可求面積．

推論平面有界圖形P的面積為零的充要條件是它的外面積IP0，即對(duì)任給的0，存在直線網(wǎng)T，使得，

SPT，

或?qū)θ谓o的0，平面圖形P能被有限個(gè)其面積總和小于的小矩形所覆蓋．定理21.2平面有界圖形P可求面積的充要條件是：P的邊界K的面積為零．

證明由定理21．1，P可求面積的充要條件是：對(duì)任給的0，存在直線網(wǎng)T，使得SPTsPT．由于

SKTSPTsPT，

所以也有SKT．由上述推論，P的邊界K的面積為零．

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定理21.3若曲線K為由定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)fx的圖象，則曲線K的面積為零

證明由于fx在閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)，從而一致連續(xù)．因而對(duì)任給的

0，總存在0，當(dāng)把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間xi1,xii1,,n并且滿足maxxixixi1i1,,n時(shí)，可使在每個(gè)小區(qū)間xi1,xi上的振幅都成立i

ba．現(xiàn)把曲線K按自變量xx0,x1,,xn分成n個(gè)小段，這時(shí)每一個(gè)小段

都能被以xi為寬，i為高的小矩形甩覆蓋．由于這個(gè)小矩形面積的總和為

x

ii1

n

i

ba

x

i1

n

i

，

所以由定理21．1的推論即得曲線K的面積為零．

還可證明得到：由參量方程xt,Ytt所表示的光滑曲線或按段光滑曲線，其面積為零．二、二重積分的定義及其存在性

背景：求某曲頂柱體的體積時(shí)，通過(guò)“分割、近似，求和、取極限〞的步驟，利用求柱體的體積的方法來(lái)得到結(jié)果．一類大量的“非均勻〞問(wèn)題都采用類似的方法，從而歸結(jié)出下面一類積分的定義．

定義設(shè)fx,y是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù)，用任意曲線把D分成n個(gè)可求面積的小區(qū)域：

1,2,,n,以i表示i的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成D的一個(gè)分割T，

以di表示i的直徑，稱

n

maxdi1in為分

f(i,i)i

,iTii割的細(xì)度，在每一個(gè)上任取一點(diǎn)（），作和式：i1

稱之為函數(shù)在上屬于分割的一個(gè)積分和．

，

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定義2設(shè)fx,y是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù)，J是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使對(duì)于D的任何分割T，當(dāng)它的細(xì)度時(shí)，屬于T的所有積分和都有

f(,)

i

i

i1

N

i

J

，

則稱fx,y在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)fx,y在D上的二重積分，記作

J=

fx,yd

D

，

其中fx,y稱為二重積分的被積函數(shù)，x,y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域．

fx,y0幾何意義：當(dāng)時(shí)，二重積分D

為曲頂，D為底的曲頂柱體的體積.

直角坐標(biāo)系下可表示為：

fx,yd

在幾何上表示以zfx,y

fx,ydfx,ydxdy

D

=

D

.

可積的必要條件：fx,y在可求面積的區(qū)域D上有界

函數(shù)fx,y在可求面積的區(qū)域D上有界時(shí)，T是D的一個(gè)分割，把D分成個(gè)可求面積的小區(qū)域1,,n，令

Misupfx,y

x,yi

，

miinffx,y

x,yi

，i1,,n

fx,y關(guān)于分割T的上和與下和：

STMiisTmii

II,.

N

N

定理21.4fx,y在D上可積的充要條件是：

STsT0

=0.

定理21.5fx,y在D上可積的充要條件是：對(duì)于任給的正數(shù)，存在D的某個(gè)分割T，使得STsT．

定理21.6有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必可積．

定理21.7設(shè)fx,y是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)．若fx,y的不

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連續(xù)點(diǎn)都落在有限條光滑曲線上，則fx,y在D上可積.

證明不失一般性，可設(shè)fx,y的不連續(xù)點(diǎn)全部落在某一條光滑曲線L

ln1

段：上．記L的長(zhǎng)度為l，于是對(duì)任給的0，把L等分成

L1,,Ln，

l

在每段Li上取—點(diǎn)Pi，使段與其一端點(diǎn)的弧長(zhǎng)為2n，以Pi為中心作邊長(zhǎng)為的

正方形i，則Lii，從而有面積為W，那么

Li

i1

n

記

i

i1

n

，則為一多邊形．設(shè)的

l2l2

Wn211l

，

現(xiàn)在把區(qū)域D分成兩部分．第一部分D1D．其次部分D21DD1．由于

fx,y在D2上連續(xù)，根據(jù)定理21.6與定理21.5，存在D2的分割T2，使得ST2sT2．又記

Msupfx,y

x,y

，

minffx,y

x,y

，以T表示由T2與

多邊形的邊界所組成的區(qū)域D的分割，則有

STsTST2sT2MWmWW．l1l，

其中是fx,y在D上的振幅．由于fx,y在D上有界，故是有限值．于是由定理21，5就證明白fx,y在上可積.三、二重積分的性質(zhì)

二重積分具有一系列與定積分完全相類似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下：1.若fx,y在區(qū)域D上可積，k為常數(shù)，則kfx,y在D上也可積，且

kfx,yd

D

=

fx,ydk

D

．

2．若fx,y,gx,y在D上都可積，則fx,ygx,y在D上也可積，且

fx,ygx,ydfx,ydgx,yd

D

=

D

D

.

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3.若fx,y在D1和D2上都可積，且D1與D2無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則fx,y在

D1D2也可積，且D1D2

fx,ydfx,ydfx,yd

=D1

+D2

.

4．若fx,y與gx,y在D上可積，且fx,y≤gx,y，x,yD，則

fx,ydgx,yd

D

≤

D

．

5．若fx,y在D上可積，則函數(shù)fx,y在D上也可積，且

fx,yd

D

≤

fx,yd

D

.

6.若fx,y在D上可積．且m≤fx,y≤M，x,yD則

mSD

fx,yd

D

MSD.

這里SD是積分區(qū)域D的