21剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)

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第2章剛體力學(xué)2.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)2.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算平行軸定理2.3用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理解題2.4剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能2.5定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒*2.6進(jìn)動(dòng)和陀螺儀(不講，做演示)

剛體：在運(yùn)動(dòng)和受力過(guò)程中，形狀不發(fā)生變化的物體。剛體只是一個(gè)物理模型，實(shí)際上不存在。把剛體想象地分割成大量質(zhì)元，剛體可看成是由這些質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系——在整個(gè)運(yùn)動(dòng)和受力過(guò)程中，這種質(zhì)點(diǎn)系中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離都保持不變。剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可通過(guò)把牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用到這種特別的質(zhì)點(diǎn)系上得到。2

2.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)2.1.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2.1.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.1.3剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)

2.1.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體的運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：剛體中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連線在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行。剛體平動(dòng)時(shí)各個(gè)質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀況完全一致可以用剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)表達(dá)剛體的平動(dòng)

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：垂直紙面向外為正

viriairi轉(zhuǎn)軸

轉(zhuǎn)動(dòng)平面

垂直于轉(zhuǎn)軸的平面；轉(zhuǎn)動(dòng)平面：除轉(zhuǎn)軸上的質(zhì)元之外，剛體各個(gè)質(zhì)元都在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓5周運(yùn)動(dòng)——應(yīng)預(yù)先規(guī)定轉(zhuǎn)軸的正方向

2.1.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)慣性系中固定轉(zhuǎn)軸z上的任意一點(diǎn)，剛體這一質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量變化定理：

M:剛體所受對(duì)該點(diǎn)的合外力矩元對(duì)該點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。

dLMdt

L:剛體對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量，等于剛體所有質(zhì)6

向z軸作投影：

dLMdt

dLzMzdtMz:剛體所受對(duì)z軸的合外力矩Lz:剛體繞z軸的角動(dòng)量，等于剛體所有質(zhì)元繞z軸作圓周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量之和：

Lzi

2ΔmiriΔmiriIi2

剛體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

Imirii

2

Ir2dm剛體繞z軸的角動(dòng)量：

LzIddLzIIMzdtdt

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：剛體繞慣性系中固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與所受對(duì)該軸的合外力矩成正比，與剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比

MzI在同樣力矩的作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度就越小，角速度就越不簡(jiǎn)單改變。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小9

對(duì)軸的力矩的計(jì)算：

把外力分解成轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力和垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的分力。垂直分力與轉(zhuǎn)軸平行，對(duì)O點(diǎn)力矩垂直于轉(zhuǎn)軸，則對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為零。外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，就是轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)該轉(zhuǎn)軸的力矩：

Mzrfsin

rfhf10

過(guò)質(zhì)心軸：通過(guò)剛體質(zhì)心的直線證明：重力對(duì)過(guò)質(zhì)心軸的合力矩等于零剛

體各個(gè)質(zhì)元所受重力對(duì)任意一點(diǎn)O的合力矩：MrimigmirigiirCmirimiMrCmgmg

剛體各個(gè)質(zhì)元所受重力對(duì)O點(diǎn)的合力矩，等于整個(gè)剛體的重力作用于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。假使O為質(zhì)心，rC=0,M=0,即證。11

2.1.3剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)中，所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)都平行于某一平面。平面平行運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心運(yùn)動(dòng)+繞垂直于運(yùn)動(dòng)平面的過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)人從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式一致：

MCIC剛體的角速度(與轉(zhuǎn)軸選取無(wú)關(guān))12

證明：假使過(guò)質(zhì)心軸沒(méi)有加速度，相對(duì)剛體質(zhì)心靜止的參考系是慣性系，MC=IC顯然成立。假使過(guò)質(zhì)心軸有加速度aC,還要考慮慣性力的力矩。質(zhì)元所受慣性力mi(aC),與重力的形式一致。因此，加速度a