排列組合題型歸納

#總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q=1或q豐1討論。.錯(cuò)位相減法求和例2.已知數(shù)列iJ1,3a,5a2,…,(2n-1)an-1(a豐0)，求前n項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1,3,5,…2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,…,an-1對應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。解：S=1+3a+5a2+ +(2n-1)an-1G)aS=a+3a2+5a3+ +(2n-1)an(2)nn(1)-(2):(1-a)S=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)ann當(dāng)a豐1時(shí),(1當(dāng)a豐1時(shí),(1-a)Sn=1+2a(1-an-1)(1-a)12-(2n-1)n1+a-(2n+1)an+(2n-1)an+1(1-a)2當(dāng)a=1時(shí),Sn.裂項(xiàng)相消法求和例3.求和S—n2242 + + +1?33-5(2n)2(2n-1)(2n+1)解：解：ak(2k-1)(2k+1)思路分析:分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和.(2k)2 (2k)2-1+1一==1+(2k-1)(2k+1) (2k-1)(2k+1)S=a+a+S=a+a+ +an1 2)]=n+1(1-，)=2^2 2n+1 2n+11練習(xí):求S=-+na + + +——a2a3an答案：S=\

nn(n+1)2,

a(an-1)-n(a-1)

an(a-1)2(a=1).倒序相加法求和例4求證：C0+3C1+5C2+…+(2n+1)Cn=(n+1)2n思路分析：由Cm=Cn-m可用倒序相加法求和。TOC\o"1-5"\h\zn n證：令S=C0+3C1+5C2+…+(2n+1)Cn (1)nn n n n(2) Cm=Cn-mnn則S=(2n+1)Cn+(2n-1)Cn-1+…+5C(2) Cm=Cn-mnn(1)+(2)有：2S=(2n+2)C0+(2n+2)C1+(2n+2)C2+…+(2n+2)CS=(n+1)[C0+C1+C2+…+Cn]=(n+1)-2n等式成立

還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5.已知數(shù)列打[a=-2[n-(-1)〃],求S。nn n思路分析：a=-2n-2(-1)〃，通過分組，對n分奇偶討論求和。n解：a=-2n+2(-1)〃，若n=2m,則S=S =-2(1+2+3+…+2m)+2藝(-1)kn n 2mk=1S=-2(1+2+3+…+2m)=-(2m+1)2m=-n(n+1)n若n=2m-1,則S=S=S-a =-(2m+1)2m+2[2m-(-1)2m]=-(2m+1)2m+2(2m-1)n 2m-1 2m 2m=-4m2+2m-2=-(n+1)2+(n+1)-2=-n2-n-2f-n(n+1) (n為正偶數(shù))-n2-n-2(n為正奇數(shù))預(yù)備：已知)=，尸，2,2+…+卜，且」1，a2,a3,…%成等差數(shù)列,口為正偶數(shù),又f(1)=n2,f(-1)=n，試比較f(1)與3的大小。(a(a+a)n一1 n一=n22n—d=n2f(1)=a+a+aH ba=n2TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 nf(-1)=-a+a—a+…一a+a12 3 n-1 na+a+(n-1)d=2n,a1,1,a1…d=2f(f(x)=x+3x2+5x3h h(2n-1)xn可求得f(1)=3-(1)n-2-(2n-1)(1)n，f(1)=1+3(1)2+5(1)3+.??+(2n-1)(1)n乙 乙 乙 乙 乙???n為正偶數(shù)，，f(j)<3(四)鞏固練習(xí)：.求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和S：nTOC\o"1-5"\h\z 5 111 15,55,555,5555,…，-(10n-1),…； (2)-—,——,——, ,—~~―,；9 1x32x43x5 n(n+2)1a= , ； (4)a,2a2,3a3,,nan, ；n nn+n++1 ... ...(5)1x3,2x4,3x5,,n(n+2), ； (6)sin21+sin22+sin23+ +sin289.n個(gè) 5 0 n個(gè).o...o o解：(1)S=5+55+555++555=-(9+99+999++999)n 9

=5[(10—1)+(102—1)+(103—1)+ +(10n—1)]=|[10+102+103+ +10n—n]=51(10n—1)—5n.???1/11、(2)?- =-(-— ),n(n+2) 2nn+20 1「「1、/1、/1、 /?S=5[(1-)++(t-)+q-，+(--

n2 3 24 35n1 n++1—Jn(3)Va=

n1 1 1)]-(1+ — —c2 2n+1n+27n+、n+1 ('1'n+n++1)(*'n+1—7n)???S???Sn—2++<1+<3+X2+=(v;2—1)+(V3—v-2)(4)S=a+2a2+3a3+nn++1+<n+(、:n+1—<n)=n++1—1.當(dāng)a-1時(shí)，S-1+2+3+…+n-n(n+1),n 2當(dāng)a豐1時(shí)，S-a+2aY+3a3+ +nan,naS=a2+2a3+3a4+—+nan+1,n「、c a(1—an)兩式相減得(1—a)S=a+a2+a3+…+an—nan+1= —nan+1,n 1—anan+2—(n+1)an+1+a(1—(1—a)2(5)?.?n(n+2)=n2+2n,n(n+1)(2n+7)?原式—(1 + 3+22+32+…+n2)+2x(1+2+3+…+n)— + 36(6)設(shè)S-sin21+sin22+sin23+ +sin289,又?.,S-sin289+sin288+sin287+ +sin21,,89TOC\o"1-5"\h\zJ2S-89,S-89. 。2 ……’6n—55為奇數(shù))2.已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)a=〈 一ms、，求其前n項(xiàng)和S.n n 〔2n (n為偶數(shù)) n解：奇數(shù)項(xiàng)組成以a-1為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列，1偶數(shù)項(xiàng)組成以a-4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列；2 .n+1一，一…一.n—1一當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有一$—項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有一$一項(xiàng)，號(1+6n-5)+4(1-4修)2 +1—4(n+1)(3n—2) 4(2n-1—1)???S???Snn](1+6n—5)2. ，一…一， ,n一當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有5項(xiàng)，n4(1—42)n(3n—2)4(2n—1)+— -