小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識(shí)

數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識(shí)復(fù)習(xí)

一、復(fù)習(xí)要求(由于招考題目?jī)H為高考知識(shí)，所以本內(nèi)容以均為高考知識(shí)點(diǎn))

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義：

2、掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；

3,理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；

4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；

5、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；

(2)集合的分類：

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；

②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集{丫|丫=六},表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x,y)|y=x2}表示開(kāi)口向上，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線;

(3)集合的表示法：

①列舉法：用來(lái)表示有限集或具有顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N.={0,1,2,3,?-?}；②描述法。

2、兩類關(guān)系：

(1)元素與集合的關(guān)系，用e或代表示；

(2)集合與集合的關(guān)系，用q,導(dǎo)，=表示，當(dāng)AqB時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)A@B時(shí)，稱A是B的真子集。

3、集合運(yùn)算

⑴交,并,補(bǔ)，定義：ACB={x|xGA且xGB},AUB={x|xGA,或xWB},GA={x|x￡U,且x任A},集合U表示全集；

(2)運(yùn)算律，如AC(BUC)=(APB)U(AAC),Cu(APB)=(CuA)U(QB),

Cu(AUB)=(GA)nCB)等。

4、命題：

(1)命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；

(2)復(fù)合命題的形式：P且q,P或q,非P;

(3)復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)

P、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)P為真時(shí)，非P為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。

(3)四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q"，逆命題為“若q則P"，逆否命題為"若非q則非p其中互為逆否的兩

個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。

5、充分條件與必要條件

(1)定義：對(duì)命題“若P則q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，P是q的充分條件，q是P的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是P的充分條件，P是q的

必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱P是q的充要條件；

(2)在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說(shuō)明：充分不必要條件，必要不充分

條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件P的所有對(duì)象組成集合A,滿足條件q的所有對(duì)象組成集合q,則當(dāng)A[B

時(shí)，P是q的充分條件。BqA時(shí)，p是q的充分條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件；

(3)當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。

6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。

7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會(huì)用集合的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、典型例題

例1、已知集合M={y|y=x*+l,xGR},N={y|y=x+1,xGR},求MCN。

解題思路分析：

在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡(jiǎn)集合，或者說(shuō)使集

合的特征明朗化。M={y|y=x2+l,xGR}={y|y才1},N=的特=x+l,xGR}={y|yGR}

MPlN=M={y|y2l}

說(shuō)明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M,N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合{y|y=f(x),x^A}應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通

過(guò)求函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合{(x,y)|y=x、l,xWR}是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x*l上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中

元素特征與代表元素的字母無(wú)關(guān)，例{y|y》l}={x|xel}。

例2、已知集合A={x|xJ3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且ADB=B,求實(shí)數(shù)m范圍。

解題思路分析：

化簡(jiǎn)條件得A={1,2},ACIB=B=BqA

根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類討論，B=6,B={1}或{2},B={1,2}

當(dāng)B=4時(shí)，△=n?-8<0

-2A/2<m<2V2

A=0

當(dāng)B={1}或⑵時(shí),m無(wú)解

1一m+2=0或4-2m+2=0

1+2=m

當(dāng)B={1,2}時(shí),

1x2=2

：?m=3

綜上所述，m=3或-2直<m<2后

說(shuō)明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個(gè)重要方面，如本題當(dāng)8={1}或{2}時(shí)，不能遺漏△=0。

例3、用反證法證明：已知x、yeR,x+y22,求證x、y中至少有一個(gè)大于1。

解題思路分析：

假設(shè)x〈l且y〈l,由不等式同向相加的性質(zhì)x+y<2與已知x+y32矛盾

...假設(shè)不成立

x、y中至少有一個(gè)大于1

說(shuō)明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證”若P則非q”為假，因在條件p下，q與非q是對(duì)立事件（不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)

成立），所以當(dāng)“若p則非q”為假時(shí)，“若p則q”一定為真。

例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。

解題思路分析：

利用“n”、"o”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系

D=C=B=A

DnA,D是A的充分不必要條件

說(shuō)明：符號(hào)“n”、“o”具有傳遞性，不過(guò)前者是單方向的，后者是雙方向的。

例5、求直線。：ax-y+b=0經(jīng)過(guò)兩直線2i：2x-2y-3=0和乙：3x-5y+l=0交點(diǎn)的充要條件。

解題思路分析：

從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。

由得L右交點(diǎn)P("?)

???。過(guò)點(diǎn)P

axl2-H+b=o

44

???17a+4b=ll

充分性：設(shè)a,b滿足17a+4b=11

.11-17a

.?bu=----------

4

代入0方程：ax-y+—―=0

4

1117

整理得：(y)-a(x----)=0

44

此方程表明，直線。恒過(guò)兩直線y-U=0,x-U=0的交點(diǎn)(”』)

4444

而此點(diǎn)為01與的交點(diǎn)

.??充分性得證

綜上所述，命題為真

說(shuō)明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用雙向傳輸，同時(shí)證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必

要性著手，再檢驗(yàn)充分性。

四、同步練習(xí)

(一)選擇題

1、設(shè)1?=＜履2+乂+2=0},a=lg(lglO),則{a}與M的關(guān)系是

A^{a}=MB、M§{a}C、{a}要MD、{a}

2、已知全集斤匕A={x|x-a|<2},B={x|x-l|>3),且AAB=4>,則a的取值范圍是

A、[0,2]B、(-2,2)C、(0,2]D、(0,2)

3、3知集合M={x|x=￡-3a+2,aWR},N、{x|x=b2-b,beR},則M,N的關(guān)系是

A、M^NB、M^NC、M=ND、不確定

4、設(shè)集合A={x|xCZ且TOWxW-1},B={xxGZ,且|x|W5},則AUB中的元素個(gè)數(shù)是

A、11B、10C、16D、15

5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是

A、15B、16C、31D、32

6、對(duì)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等“，下面判斷正確的是

A、所給命題為假B、它的逆否命題為真

C、它的逆命題為真D、它的否命題為真

7、"a#B”是cosaWcosB”的

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

8、集合A={x|x=3k-2,kCZ},B={y|y=32+1,2GZ},S={y|y=6m+l,mWZ}之間的關(guān)系是

A、S,B弓AB、S=B弓AC、S,B=AD、S1B=A

9、方程mx、2x+l=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是

A、0〈mWl或m〈0B、0<mWl

C、m<lD^mWl

10、已知p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a,b是整數(shù)，則p是q的

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

充要條件D、既不充分又不必要條件

(二)填空題

11、已知M=N={xl^^cN},貝ijMAN=。

22

12、在100個(gè)學(xué)生中，有乒乓球愛(ài)好者60人，排球愛(ài)好者65人，則兩者都愛(ài)好的人數(shù)最少是________人。

13、關(guān)于x的方程|x|-1x-11=a有解的充要條件是o

14、命題“若ab=0,則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為。

15、非空集合p滿足下列兩個(gè)條件：(1)p號(hào){1,2,3,4,5),(2)若元素aep,貝U6-aGp,則集合p個(gè)數(shù)是。

(三)解答題

16、設(shè)集合A={(x,y)|y=ax+l},B={(x,y)|y=|x|},若AAB是單元素集合，求a取值范圍。

17、已知拋物線C：y-x'+mx-l,點(diǎn)M(0,3),N(3,0),求拋物線C與線段MN有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件。

18>設(shè)A={x|x'+px+qR}W?,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若ADM=4),ACN=A,求p、q的值。

19、已知a=x2+,，b=2-x,c=x2-x+l,用反證法證明：a、b、c中至少有一個(gè)不小于1。

2

函數(shù)

一、復(fù)習(xí)要求

7、函數(shù)的定義及通性；

2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、函數(shù)的概念：

(1)映射：設(shè)非空數(shù)集A,B,若對(duì)集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b與之對(duì)應(yīng)，則稱從A到B的對(duì)應(yīng)為映射，記為f：A-B,f表示對(duì)

應(yīng)法則，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，則稱映射為單射，若B中每一個(gè)元素都有原象與之對(duì)應(yīng)，則稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱

為一一映射。

(2)函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A,B上的映射，此時(shí)稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|xdA}為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函

數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對(duì)應(yīng)法則決定了值域，是兩個(gè)最基本的因素。逆過(guò)來(lái)，值域也會(huì)限制定義域。

求函數(shù)定義域，通過(guò)解關(guān)于自變量的不等式(組)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。要熟記基本初等函數(shù)的定義域，通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)，其定義域是每個(gè)初等

函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域，不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的要求。理解函數(shù)定義域，應(yīng)緊密聯(lián)系對(duì)應(yīng)法則。函數(shù)

定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。

函數(shù)對(duì)應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見(jiàn)的表現(xiàn)形式。求已知類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，抽象函數(shù)的解析式

常用換元法及湊合法。

求函數(shù)值域是函數(shù)中常見(jiàn)問(wèn)題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直接法的途徑有單調(diào)性，基本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為

△法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值(極值)更加方便。

在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分都存在著求取值范圍這?典型問(wèn)題，它的一-種典型處理方法就是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。

2、函數(shù)的通性

(1)奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時(shí)，應(yīng)在化簡(jiǎn)解析式后進(jìn)行，同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形，

如f(-x)±f(x)=O,七"=±1(f(x)#O)。

f(x)

奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對(duì)稱。

函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。

利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化判斷奇偶性的步驟。

(2)單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì))；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則。

函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等。

(3)周期性：周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結(jié)論：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),aWb,則T=2|a-b|。

(4)反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一，在求反函數(shù)之前首先要判斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)f'(X)的性質(zhì)

與f(x)性質(zhì)緊密相連，如定義域、值域互換，具有相同的單調(diào)性等，把反函數(shù)f'(x)的問(wèn)題化歸為函數(shù)f(x)的問(wèn)題是處理反函數(shù)問(wèn)題的重要思想.

設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,則

f'[f(x)]=x,xGA

f[f'(x)]=x,xGC

8、函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過(guò)程中，充分發(fā)揮圖象的工具作用。

圖象作法：①描點(diǎn)法；②圖象變換。應(yīng)掌握常見(jiàn)的圖象變換。

4、本單常見(jiàn)的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。在具體的對(duì)應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性，掌握這些具體對(duì)應(yīng)法則

的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。

對(duì)于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法(變量代換法)解題。聯(lián)系到具體的函數(shù)模型可以簡(jiǎn)便地找到解題思路，及解

題突破口。

應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)犍。

5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。

三、典型例題

例1、已知f(x)=&t史，函數(shù)y=g(x)圖象與y=「(x+l)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求g(ll)的值。

X-1

分析：

利用數(shù)形對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可知y=g(x)是y=f'(x+l)的反函數(shù),從而化g(數(shù)問(wèn)題為已知f(x)。

y=f'(x+1)

x+l=f(y)

/.x=f(y)T

y=f-'(x+l)的反函數(shù)為y=f(x)-l

即g(x)=f(x)-l

...g(ll)=f(ll)-l=-

2

評(píng)注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，當(dāng)f(x)存在反函數(shù)時(shí)，若b=f(a),則@=〃(13)。

例2、設(shè)f(x)是定義在(-8,+8)上的函數(shù)，對(duì)一切xWR均有f(x)+f(x+2)=0,當(dāng)-1<XW1時(shí)，f(x)=2x-l,求當(dāng)l〈xW3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。

解題思路分析：

利用化歸思想解題

f(x)+f(x+2)=0

f(x)=-f(x+2)

,/該式對(duì)一切xGR成立

，以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)

當(dāng)1<XW3時(shí)，-Kx-2<1

二f(x-2)=2(x-2)-l=2x-5

f(x)=-f(x-2)=-2x+5

f(x)=-2x+5(1<XW3)

評(píng)注：在化歸過(guò)程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過(guò)程中還體現(xiàn)了整體思想。

例3、已知g(x)=-xJ3,f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)xG[T,2]時(shí)，f(x)的最小值,且f(x)+g(x)為奇函數(shù),求f(x)解析式。

分析：

用待定系數(shù)法求f(x)解析式

設(shè)f(x)=ax'+bx+c(aWO)

則f(x)+g(x)=(a-l)x2+bx+c-3

由已知f(x)+g(x)為奇函數(shù)/T=°

[c-3=0

.fa=l

[c=3

/.f(x)=x2+bx+3

下面通過(guò)確定f(x)在[T,2]上何時(shí)取最小值來(lái)確定b,分類討論。

f(x)=(X+—)2+3--,對(duì)稱軸X=--

242

(1)當(dāng)-bW-4時(shí)，f(x)在[-1,2]上為減函數(shù)

2

...(f(x))min=f(2)=2b+7

2b+7=l

，b=3(舍)

(2)當(dāng)-Be(-1,2),-4<b<2時(shí)

2

(f(x))min=f(-$=-?+3

?b2°,

??------+3=1

4

b=±2y/2(舍負(fù))

(3)當(dāng)—b22B^,￡6)在［-1,2］上為增函數(shù)

2

A(f(x)?in=f(l)=4-b

...4-b=l

b=3

/.f(x)=x2-V2X+3,或f(x)=x3+3X+3

評(píng)注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下，仍需討論何時(shí)

取得最小值。

例4、定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(O)WO,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>l,且對(duì)任意的a、bGR,有f(a+b)=f(a)f(b),

(1)求證：f(0)=1；

(2)求證：對(duì)任意的xCR,恒有f(x)>0；

(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；

(4)若f(x)?f(2x-x2)>l,求x的取值范圍。

分析：

(1)令a=b=O,則f(0)=[f(0)]2

Vf(O)WO

...f(o)=l

(2)令a=x,b=~x

則f(O)=f(x)f(-x)

f(—x)----

f(X)

由已知x>0時(shí)，f(x)>l>0

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,f(-x)>0

又x=0時(shí),f(0)=l>0

:.對(duì)任意x《R,f(x)>0

(3)任取X2〉Xi,則f(X2)>0,f(xi)>0,x2-Xi>0

^4=f(X2)-f(-X1)=f(X2-Xj)>l

f(x。

f(x2)>f(Xl)

???f(x)在R上是增函數(shù)

(4)f(x),f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-X2+3X)

又1=f(0),f(x)在R上遞增

:.由f由x-x2)>f(0)得:3X-X2>0

???0<x<3

評(píng)注：根據(jù)f(a+b)=f(a)?f(b)是恒等式的特點(diǎn)，對(duì)a、b適當(dāng)賦值。利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號(hào)“f”得到關(guān)于x的代數(shù)不等式，是處理抽象函數(shù)不

等式的典型方法。

例5、已知lgx+lgy=21g(x-2y),求log&二的值。

分析：

在化對(duì)數(shù)式為代數(shù)式過(guò)程中，全面挖掘x、y滿足的條件

x>0,y>0

由已知得<x-2y>0

xy=(x-2y)2

x=4y,—=4

y

x

l°gViq=l°g&4=4

例6、某工廠今年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件，1.2萬(wàn)件，L3萬(wàn)件，為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用

一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用y=ab*+c(其中a,b,c為常數(shù))或二次函數(shù)，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)

件，請(qǐng)問(wèn)用哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說(shuō)明理由。

分析：

設(shè)f(x)=px?+qx+r(p￥0)

f(l)=p+q+r=l

貝II,f(2)=4p+2q+r=1

f(3)=9p+3q+r=1.3

p=0.05

q=0.35

r=0.7

??.f(4)=-0.05X42+0.35X4+0.7=1.3

設(shè)g(x)=abx+c

g(l)=ab4-c=1

貝ll<g(2)=ab2+c=1.2

g(3)=ab3+c=1.3

a=—0.8

A］b=0.5

c=1.4

g(4)=-0.8X0.54+1.4=1.35

V11.35-1.37|<|1.3-1.371

，選用y=-0.8X(0.5)x+l.4作為模擬函數(shù)較好。

四、鞏固練習(xí)

(一)選擇題

1、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+l)=-f(x),且在［-1,0］上單調(diào)遞增，設(shè)a=f⑶，b=f(而，c=f⑵,則a,b,c大小關(guān)系是

A^a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a

2、方程k)ga(x+2)=Q(a>0且aWl)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是

A、0B、1C、2D、3

3、y=g產(chǎn)xi的單調(diào)減區(qū)間是

A、(-8,1)B、(1,+8)C、(-8,-1)U(1,+8)D、(-8,+OO)

9、函數(shù)y=logI(x2-4x+12)的值域?yàn)?/p>

A、(-8,3]B、(-8,-3]c、(-3,+8)D、(3,+8)

10、函數(shù)y=logalaxT|(a#b)的圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,則a等于

A、-B、--C、2D、-2

22

6、有長(zhǎng)度為24的材料用一矩形場(chǎng)地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長(zhǎng)度為

A、3B、4C、6D、12

(二)填空題

7、已知定義在R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)=x,則f(")=。

2

8、已知y=log.(2-x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是。

9、函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇1,3],則flx'+l)的定義域是o

10、函數(shù)f(x)=x『bx+c滿足f(l+x)=f(「x),且f(0)=3,則f(b*)與f(c*)的大小關(guān)系是__________。

11、已知f(x)=log3x+3,xe[1,9],則產(chǎn)己(x)『+f(x?)的最大值是__________。

12、已知A={y|y=x?-4x+6,y￡N},B={y|y=-x2-2x+18,y￡N},則AAB中所有元素的和是.

13、若6(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=m巾(x)+ng(x)+2在(0,+°°)上有最大值,則f(x)在0)上最小值為

14、函數(shù)ynogKx'l)(x>0)的反函數(shù)是。

15、求值：-------------+-----1---—+-------5------=__________。

l+xa-b+xa-cl+xb-c+xb-al+xc-a+xc-b

(三)解答題

16、若函數(shù)f(x)=苧乂的值域?yàn)閇T，5],求a,c。

x~+c

17、設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

18、已知0<a〈l,在函數(shù)y=log"X(x'l)的圖象上有A,B,C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+2,t+4

(1)若ZUBC面積為S,求S=f(t)；

(2)判斷S=f(t)的單調(diào)性；

(3)求S=f(t)最大值。

…2

19、設(shè)f(x)=a-------,xGR

2、+1

(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a,f(x)在(-8,+8)上是增函數(shù)；

(2)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，求a；

(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k,解不等式fT(x)>k)g,*。

k

20、設(shè)0<a<l,函數(shù)f(x)=k>ga^~^的定義域?yàn)閇m,n],值[logaa(nT),logaa(m-l)],

x+3

(1)求證:m>3；

(2)求a的取值范圍。

數(shù)歹U

一、復(fù)習(xí)要求

11、等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及性質(zhì);

2、一般數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和計(jì)算。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、數(shù)列，是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊

性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集；第二，值域是有順序的，不能用集合符號(hào)表示。

研究數(shù)列，首先研究對(duì)應(yīng)法則——通項(xiàng)公式：a?=f(n),nGN+,要能合理地由數(shù)列前n項(xiàng)寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其次研究前n項(xiàng)和公式S“：S?=a1+a2+-a?,

S,n=1

由S“定義，得到數(shù)列中的重要公式：an=1o

電-S11Tn>2

一般數(shù)列的a“及S”，除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求S“還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。

2、等差數(shù)列

(1)定義，｛aj為等差數(shù)列u*a『「a產(chǎn)d(常數(shù))，neN(<=>2an=ar.i+anM(n22,nGNO；

(2)通項(xiàng)公式：an=an+(n-1)d,an=am+(n-m)d；

前n項(xiàng)和公式：S.=na|+當(dāng)二衛(wèi)d=

(3)性質(zhì)：a“=an+b,即a”是n的一次型函數(shù)，系數(shù)a為等差數(shù)列的公差；

S,Fan2+bn,即S“是n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；

若瓜｝,瓜｝均為等差數(shù)列，則｛a“±nJ,｛之a(chǎn)k｝，g+c｝(k,c為常數(shù))均為等差數(shù)列；

1=1

當(dāng)m+n=p+q時(shí)，a.n+a?=aP+aq,特例：ai+an=a2+an-i=a3+an-2=---；

當(dāng)2n=p+q時(shí)，2為=a^+aq；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S2n-i=(2n-l)an；S奇二中，S偶=E—中。

22

3、等比數(shù)列

(1)定乂：一四-二q(q為常數(shù),a1HO)；為'a-a”(n》2,n￡N.)；

an

nl,rl

(2)通項(xiàng)公式:an=aiq,an=a(nq";

叫q=1

n

前n項(xiàng)和公式：Sn=<aI(l-q)_aI-anq；

-qw]

1-q1-q

(3)性質(zhì)

當(dāng)m+n=p+q時(shí)，a,?a?=apaq,特例：aiaFasa”-尸a3a廿…，

當(dāng)2n=p+q時(shí),a^apa"，數(shù)列｛k&｝,｛￡aj成等比數(shù)列。

i=l

4、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用

(1)基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)、公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等;

(2)靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算；

(3)若｛a.｝為等差數(shù)列，則｛a%｝為等比數(shù)列(a>0且aWl)；

若｛a0｝為正數(shù)等比數(shù)列,則｛loga｝為等差數(shù)列(a>0且aWD。

三、典型例題

例1、已知數(shù)列瓜｝為等差數(shù)列，公差d#0,其中akK,a，…，aK恰為等比數(shù)列，若k1=l,k=5,k=17,求ki+k2+…+k“。

1Kk2kn23

解題思路分析：

從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手

設(shè)｛an｝首項(xiàng)為a”公差為d

.ai,as,au成等比數(shù)列

a/=aiai7

(ai+4d)2=ai(ai+16d)

ai=2d

設(shè)等比數(shù)列公比為q,則q=^=色上里=3

a1a1

對(duì)a卜“項(xiàng)來(lái)說(shuō)，

k-4-1

在等差數(shù)列中：akn=3]+(kn-l)d=——a]

在等比數(shù)列中：a%=a|qe=a|3-T

n-1

kn=2-3-1

1n-1n-1

k,+k2+---kn=(2-3°-1)+(2-3-1)+???+(2-3-1)=2(1+3+???+3)-n

=3n-n-1

注：本題把ki+k?+…+k”看成是數(shù)列｛kJ的求和問(wèn)題，著重分析｛k“｝的通項(xiàng)公式。這是解決數(shù)列問(wèn)題的一般方法，稱為“通項(xiàng)分析法”。

例2、設(shè)數(shù)列｛a?｝為等差數(shù)列,S”為數(shù)列｛?｝的前n項(xiàng)和,已知8=7,S倡=75,T”為數(shù)列｛泣q｝的前n項(xiàng)和,求兀。

解題思路分析:

法一：利用基本元素分析法

7x6,一

S7=7aj+-------a=7

設(shè)｛an｝首項(xiàng)為ai,公差為d,則2

15x14.?

Su=15a,+---------d=75

2

a(=-2

d=l

?n(n-l)

??S=-2+----------

n2

&=_2+3

n222

此式為n的一次函數(shù)

｛^｝為等差數(shù)列

n

?T_12a

??T=-n----n

n44

法二：⑸｝為等差數(shù)列，設(shè)S.=Ar?+Bn

2

S7=Ax7+7B=7

2

S15=Axl5+15B=75

A=-

解之得：2

B=--

2

???S=-n2--n,下略

n22

注：法二利用了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例3、正數(shù)數(shù)列E｝的前n項(xiàng)和為S”，且2Kr=an+1,求:

(1)數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)3=——,數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)的和為&,求證：B?<1.

aa

nn+l2

解題思路分析：

(I)涉及到a“及S”的遞推關(guān)系，一般都用an=S「S“T(n>2)消元化歸。

2A=a0+l

4S?=(a?+l)2

4Se=(anT+l)2(n》2)

_2

4(SnS?i)=(an+l)-(a?i+l)'

4a“=a”--ai>-「+2a”-2a“T

整理得:(a?-i+a?)(a?-a?-i-2)=0

.an>0

3n-Hn-1=2

???｛aj為公差為2的等差數(shù)列

在2￡7=an+l中，令n=l,a：=l

??an=2nl1

11

(IDbn=------------------=-(—------------)

n(2n-l)(2n4-1)22n-l2n+1

?D1「/11、/11、J1n1z11、111

??Bn=-[(--------)+(-----------)+???+(------------)]=-(-------------)=--------<-

2a,a2a2a3anan+i2a,an+)22an+12

注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由4s.=(a.+l)2推出4S“T=(ae+l)2,它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法。在數(shù)列中一般用nT,n+1等去代替n,

實(shí)際上也就是說(shuō)已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于n的恒等式，代換就是對(duì)n賦值。

例4、等差數(shù)列｛a.｝中，前m項(xiàng)的和為77(m為奇數(shù))，其中偶數(shù)項(xiàng)的和為33,且a「a.=18,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

分析：

利用前奇數(shù)項(xiàng)和和與中項(xiàng)的關(guān)系

令m=2nT,n￡N,

貝I[S2e=(2n-l)an=77

[s偶=(n-l)an=33

,2n-l77

“n-1-33

???n=4

:.m=7

，an=ll

??ai+dm=2a1二22

又ai-an=18

/.ak20,am=2

???d=-3

/.an=-3n+23

(1)a",已知E+bz+b產(chǎn)藍(lán),bbb：,=1,求等差數(shù)列的通項(xiàng)a“。

例5、設(shè)區(qū)｝是等差數(shù)列，bn

8

解題思路分析：

???瓜｝為等差數(shù)列

????｝為等比數(shù)列

從求解也)著手

2

Vbib3=b2

Ab--

28

b2二一

2

LL17

bI+b[=—

138

b[1b2=—4

bj=2b|

或，4

b3

4b2=2

n-13-2nn-12n5

???bn=2(^-)=2或bn=l-4=2~

，a—logib”

2

an=2n-3或atl=-2n+5

注：本題化歸為｛bj求解，比較簡(jiǎn)單。若用｛aj求解，則運(yùn)算量較大。

例6、已知｛①｝是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和,

2

(1)用Sn表小Sn+l；

S-c

（2）是否存在自然數(shù)c和k,使得八+1c〉2成立。

Sk-c

解題思路分析:

⑴r=4（號(hào)）

???Sz=4(”/)=；Sn+2

3

⑵，>2:父-2)<0⑺

Sk-cc—Sk

???…亨<4

???Sk-(|sk-2)=2-|sk>0

3

???式(*)o-Sk-2<c<Sk①

,/SQS；

33

-S-2>-S,-2=1

2k21

又S《4

由①得：c=2或c=3

當(dāng)c=2時(shí)

?.?Si=2

???k=l時(shí)，c〈Sk不成立，從而式①不成立

..3c°_5

?-So-2=—>c

242

**?由S《Sk+i得：——2<—■Si..I—2

22

/.當(dāng)k22時(shí)，-S-2>c,從而式①不成立

2卜k

當(dāng)c=3時(shí),Si2,S2=3

/.當(dāng)k=l,2時(shí)，C<Sk不成立

J式①不成立

31333

???|Sk-2=-^>c,|sk-2<|sk+1-2

???當(dāng)k23時(shí)，-S-2>c,從而式①不成立

2卜k

綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使&±L二￡>2成立

Sk

例7、某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為資金發(fā)給n位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相等)從大到小，

由1到n排序，第1位職工得資金B(yǎng)元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基

n

金。

(1)設(shè)ak(IWkWn)為第k位職工所得資金額，試求a”a3,并用k,n和b表示市(不必證明)；

(2)證明：ak<aw(k=l,2,n-1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義。

解題思路分析：

談懂題意，理清關(guān)系，建立模型

第1位職工的獎(jiǎng)金％=B

n

第2位職工的獎(jiǎng)金a2=1(1-L)b

nn

第3位職工的獎(jiǎng)金a3=1(1—L2b

nn

第k位職工的獎(jiǎng)金ak='(1-'廠］

nn

1k-1

⑵ak-ak+1=-V(--)b>0

n-n

此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則。

例8、試問(wèn)數(shù)列｛iglOOsin-T'｝的前多少項(xiàng)的和最大,并求這個(gè)最大值(lg2=0.3010)

4

解題思路分析：

法一:an=2+(-lgV2)(n-l)

｛a0｝為首項(xiàng)為2,公差為-IgVI的等差數(shù)列

2

.Sn=2n+(-1g2)=-0.07525n+2.07525n

??2

=-0.07525(n-13.8)2+13.82x0.07525

n￡N*

n=14時(shí)，(S“)*=14.35

法二：ai=2>0,d=-lgV2<0

二｛aj是遞減數(shù)列，且S“必為最大值

為20

設(shè)

ak+l“°

.2+(k-l)(-lgV2)>0

2+k(-lg>/2)<0

k<14.2

k>13.2

k=14

?**(Sn)max=S14=14.35

四、同步練習(xí)

(一)選擇題

1、已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<log11ab<1,則m取值范圍是

A、m>lB、l<m<8C、m>8D>0<m<l或m>8

2、設(shè)a>0,b>0,a,Xi,x2,b成等差數(shù)列，a,yi,y2,b成等比數(shù)列,則xi+沏與yi+y2的大小關(guān)系是

A、xi+x2Wy1+y2xi+x22yi+y2

C、xi+x2<yi+y2D、xi+x2>yi+y2

已知Sn是｛aj的前n項(xiàng)和,S?=P"(PeR,n€N+),那么數(shù)列｛a“｝

A、是等比數(shù)列B、當(dāng)PW0時(shí)是等比數(shù)列

C、當(dāng)P#0,P#1時(shí)是等比數(shù)列D、不是等比數(shù)列

13、｛aj是等比數(shù)列，JLan>0,a2ai+2a3a5+aia6=25,貝ijas+as等于

A、5B、10C、15D、20

14、已知a,b,c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y=axz+2bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A、0B、1C、2D、1或2

15、設(shè)mdM,log2m的整數(shù)部分用F(m)表示，則F(l)+F(2)+…+F(1024)的值是

A、8204B、8192C、9218D、8021

7、若x的方程xJx+a=0和xJx+b=0(a#b)的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為工的等差數(shù)列，則a+b的值為

4

31

72

8、在100以內(nèi)所有能被3整除但不能被7整除的正整數(shù)和是

A、1557B、1473C、1470D、1368

9、從材料工地運(yùn)送電線桿到500m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50m埋栽?根電線桿，已知每次最多只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)載20根電線桿的任務(wù),

最佳方案是使運(yùn)輸車運(yùn)行

A、11700mB、14700mC、14500mD、14000m

10、已知等差數(shù)列｛aj中，展|=山|,公差d〈0,則使前n項(xiàng)和S“取最大值的正整數(shù)n是

A、4或5B、5或6C、6或7I)、8或9

(二)填空題

11、已知數(shù)列｛aj滿足ai+2a2+3a3+???+nan=n(n+1)(n+2),則它的前n項(xiàng)和Sn=。

12、設(shè)等差數(shù)列｛a/共有3n項(xiàng)，它的前2n項(xiàng)之和為100,后2n項(xiàng)之和為200,則該等差數(shù)列的中間n項(xiàng)的和等于________。

13、設(shè)數(shù)列｛aj,｛b.｝(b?>0),neN.滿足an=lg』+lgb2+i+lgbn(ndN.),則｛aj為等差數(shù)列是｛bj為等比