關(guān)于生物心率與體重之間的關(guān)系建立初等模型

《數(shù)學(xué)模型》課程設(shè)計(jì)專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名：****學(xué)號(hào)：******指導(dǎo)教師：****日期：2013年6月關(guān)于生物心率與體重之間的關(guān)系建立初等模型一．問題提出：生物學(xué)家認(rèn)為，對(duì)于休息狀態(tài)的熱血?jiǎng)游?，消耗的能量主要用于維持體溫，能量與從心臟到全身的血流量成正比，而體溫主要通過身體表面散失，建立一個(gè)動(dòng)物（體重：g）與心率單位：次/min之間關(guān)系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢驗(yàn).動(dòng)物 體重/g 心率/（次?）田鼠25670家鼠200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072馬45000038二．問題分析1.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，心率大小的影響因素不止一兩個(gè)，由于很多因素我們無法控制，如在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下和休息狀態(tài)下，心率的大小明顯不同；而隨著年齡的增長(zhǎng)，心率也會(huì)改變……為了簡(jiǎn)化問題，我們假設(shè)所討論的結(jié)果是在休息的狀態(tài)下，顯而易見，這樣的假設(shè)比較粗略。2.從問題的提出可以看到，對(duì)于熱血?jiǎng)游飦碚f，消耗能量與全身血流量成正比，體溫從體表散失，于是有：體表散熱率=心跳產(chǎn)熱率。而動(dòng)物消耗的能量主要用于維持體溫，而體熱量通過表面積散失，則有：能量∝動(dòng)物的表面積，能量∝血流量3.建模的目的在于找出體重與心率之間的近似數(shù)量關(guān)系。顯然，由上表可看出：體重越大，其心率就越??；反之，動(dòng)物的體重越小，其心率就越大。三．問題假設(shè)本次模型只考慮在外界溫度不變動(dòng)物休息狀態(tài)下的、身體正常的情況下的心率問題。假設(shè)生物的體積與長(zhǎng)度的立方完全成正比，表面積與長(zhǎng)度的平方也是完全成正比。假設(shè)體表散熱率等于心跳產(chǎn)熱率假設(shè)每分鐘總的血流量等于心率與每分鐘心臟到全身的血流量的乘積假設(shè)供血能力與體重成正比假設(shè)每分鐘通過血液提供的能量與每分鐘總血流量成正比符號(hào)說明符號(hào)說明S 生物身體的表面積L生物的長(zhǎng)度V 生物的體積W生物的體重Q每分鐘為維持體溫而流失的能量E每分鐘通過血液提供的能量T每分鐘總血流量n生物的心率q每次心跳從心臟到全身的血流量表面積S與長(zhǎng)度L的比例系數(shù)體積V與長(zhǎng)度L的比例系數(shù)體積V與體重W的比例系數(shù)能量Q與表面積S的比例系數(shù)q與W，n的比例系數(shù)能量E與總血流量T的比例系數(shù)K心率q與血流量W的比例系數(shù)五．模型建立根據(jù)以往的數(shù)學(xué)知識(shí)可知：表面積S∝長(zhǎng)度L的平方，體積V∝長(zhǎng)度L的立方.即：。于是，有………………①生物的體積V與體重W成正比，即，將其代入①式可得：……②為維持體溫而流失的能量Q與動(dòng)物的表面積有關(guān)，且是一種正比關(guān)系，則有………………③將③式代入②式，可得出：…………………④由假設(shè)體表散熱率等于心跳產(chǎn)熱率，即Q=E，則有：…………………⑤由于假設(shè)供血能力與體重成正比，則有：……………⑥由于假設(shè)每分鐘總的血流量等于心率與每分鐘心臟到全身的學(xué)流量的乘積，則有：T=nq,由⑥式，可得：…………………⑦由于假設(shè)每分鐘通過血液提供的能量與每分鐘總血流量成正比，則有：……………⑧將⑤式與⑦式代入⑧式，可得：即：………………⑨⑨式就是通過比例關(guān)系所推導(dǎo)得出的數(shù)學(xué)模型。模型求解要利用⑨由W來計(jì)算n，則首先得確定其中的參數(shù)。由于要確定這六個(gè)參數(shù)需要進(jìn)行測(cè)量以及查閱相關(guān)資料，而迫于時(shí)間限制，可以用另一種簡(jiǎn)便的方法：將⑨式改寫成（其中，），這樣，我們只需要確定參數(shù)K就可以得出n與W之間的比較粗糙的關(guān)系。>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];>>plot(W,n,'ro');>>title('已給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖')>>xlabel('生物的體重');>>ylabel('生物的心率');由圖可看出這些數(shù)據(jù)組成的散點(diǎn)圖是一個(gè)曲線，其數(shù)學(xué)模型是，若對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，則有：，令y=lg(n),a=lg(K),,由此可得模型為：，是一個(gè)直線，可用最小二乘法擬合出a的值。下面用matlab畫出改造數(shù)據(jù)后的散點(diǎn)圖。>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];>>x=log10(W);>>y=log10(n);>>plot(x,y,'r*');>>title('改造數(shù)據(jù)后的散點(diǎn)圖')由此可以看出，與前面的分析符合，改造后的數(shù)據(jù)大致與一個(gè)直線擬合，由之前學(xué)過的數(shù)值分析，可直接利用最小二乘法的結(jié)果求出a的值。若要用最小二乘法擬合出數(shù)據(jù)的逼近直，則：所以，此次模型所要求得的：>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];>>x=log10(W);>>y=log10(n);>>a=(sum(x.^2)*sum(y)-sum(x.*y)*sum(x))/(8*(sum(x.^2))-sum(x)^2)a=3.2631>>plot(x,y,'r*',x,a-1/3*x,'g')所以：，下面就根據(jù)所求出的模型作圖，與題目所給的數(shù)據(jù)比較。>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];>>N=1.8328*10^3.*W.^(-1/3);>>plot(W,n,'ro',W,N,'b')>>xlabel('生物的體重');>>ylabel('生物的心率');>>title('擬合后的曲線與原數(shù)據(jù)的比較')結(jié)論解釋由上面的圖可看出，第5，6，7這幾個(gè)點(diǎn)擬合的不夠好，下面是將生物的體重代入模型與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得出的表格>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];>>N=1.8328*10^3.*W.^(-1/3);>>NN=626.8088313.4044145.4694107.182858.985049.749844.471623.9172動(dòng)物體重 實(shí)際心率模型結(jié)果田鼠25670626.8088家鼠200420313.4044兔2000205145.4694小狗5000120107.1828大狗300008558.9850羊500007049.7498人700007244.4716馬4500003823.9172由上表可看出，雖然曲線軌跡比較接近原數(shù)據(jù)，可是將模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，差別還是很大的。此次模型是先通過比例關(guān)系推導(dǎo)出的模型：，然后為了簡(jiǎn)便，將模型簡(jiǎn)化為，最后又用最小二乘法求出比例系數(shù)K。而且，假設(shè)條件比較粗糙，又缺乏足夠的數(shù)據(jù)支持，所以，得到的結(jié)果不夠滿意。優(yōu)缺點(diǎn)與存在問題模型的優(yōu)點(diǎn)：建立模型時(shí)假設(shè)環(huán)境不變，減少影響結(jié)果的因素，使得問題簡(jiǎn)化，便于分析求解。由于本課程是關(guān)于心率與體重的關(guān)系，所以二者之間的關(guān)系不能直接觀測(cè)出，而建立模型使得問題迎刃而解。利用matlab編程進(jìn)行求解，所得結(jié)果數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確，利用matlab畫圖利于比較實(shí)際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果的差異。模型的缺點(diǎn)：建立模型時(shí)，假設(shè)熱血?jiǎng)游镌谛菹顟B(tài)時(shí)消耗的能量全部轉(zhuǎn)換為熱量，忽略了其他熱量的散失方式。假設(shè)外界環(huán)境不變，但不能確定外界環(huán)境是否一直保持不變。假設(shè)動(dòng)物表面積、體積、與長(zhǎng)度成正比，是非常粗略的。模型推廣通過對(duì)生物體重與心率這個(gè)模型的研究，雖然結(jié)果不太令人滿意，但是二者之間的大概關(guān)系很容易看出來，體重越大，心率越小。在實(shí)際醫(yī)療問題中，通過控制體重來預(yù)防心臟病，預(yù)防心臟病的發(fā)病率?？梢酝ㄟ^