2022年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考II）及答案

2022年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i3．（5分）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′，BB′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為＝0.5，1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3＝（）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.94．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，，＞，則t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．65．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2（α+）sinβ，則（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣17．（5分）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和4，則該球的表面積為（）A．100π B．128π C．144π D．192π8．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，則f（k）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，0），則（）A．f（x）在區(qū)間（0，）單調(diào)遞減 B．f（x）在區(qū)間（﹣，）有兩個(gè)極值點(diǎn) C．直線x＝是曲線y＝f（x）的對(duì)稱軸 D．直線y＝﹣x是曲線y＝f（x）的切線（多選）10．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（p，0）．若|AF|＝|AM|，則（）A．直線AB的斜率為2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°（多選）11．（5分）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，AB＝ED＝2FB．記三棱錐E﹣ACD，F(xiàn)﹣ABC1，V2，V3，則（）A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1+V2 D．2V3＝3V1（多選）12．（5分）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36（X＞2.5）＝．14．（5分）曲線y＝ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．15．（5分）設(shè)點(diǎn)A（﹣2，3），B（0，a），若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓（x+3）2+（y+2）2＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．16．（5分）已知直線l與橢圓+＝1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，N兩點(diǎn)，且|MA|＝|NB|，則l的方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）證明：a1＝b1；（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù)．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC＝，求b．19．（12分）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患者的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%．從該地區(qū)中任選一人，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）．20．（12分）如圖，PO是三棱錐P﹣ABC的高，PA＝PB，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝521．（12分）已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2，0）x．（1）求C的方程；（2）過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．過(guò)P且斜率為﹣的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xeax﹣ex．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜﹣1，求a的取值范圍；（3）設(shè)n∈N*，證明：++…+＞ln（n+1）．

2022年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】解不等式求集合B，再根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可．【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：7≤x≤2，∴集合B＝{x|0≤x≤3}∴A∩B＝{1，2}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用集合的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解．【解答】解：（2+2i）（6﹣2i）＝2﹣8i+2i﹣4i8＝6﹣2i．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【解答】解：設(shè)OD1＝DC1＝CB8＝BA1＝1，則CC2＝k1，BB1＝k3，AA1＝k3，由題意得：k2＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣8.1，且，解得k3＝3.9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合閱讀材料，考查學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力，是基礎(chǔ)題．4．【分析】先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出＝（3+t，4），再由＜，＞＝＜，＞，利用向量夾角余弦公式列方程，能求出實(shí)數(shù)t的值．【解答】解：∵向量＝（3，＝（1，＝+t，∴＝（8+t，∵＜，＞＝＜，＞，∴＝，∴＝，解得實(shí)數(shù)t＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．【分析】利用捆綁法求出丙和丁相鄰的不同排列方式，再減去甲站在兩端的情況即可求出結(jié)果．【解答】解：把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有，甲站在兩端的情況有＝24種情況，∴甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48﹣24＝24種，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用排除法，可以避免討論，簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由已知結(jié)合輔助角公式及和差角公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求α﹣β，進(jìn)而可求．【解答】解：因?yàn)閟in（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+，所以sin（cos（α+，即sin（）＝3cos（α+，所以sin（）cosβ+sinβcos（）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（，所以sin（）＝0，所以＝kπ，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式，和差角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．7．【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圓的半徑，作出軸截面圖，根據(jù)幾何知識(shí)可求得球的半徑，進(jìn)而得到其表面積．【解答】解：由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，設(shè)球的半徑為R，則軸截面中由幾何知識(shí)可得，∴該球的表面積為4πR2＝4π×25＝100π．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積求解，同時(shí)還涉及了正弦定理的運(yùn)用，考查了運(yùn)算求解能力，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于較難題目．8．【分析】先根據(jù)題意求得函數(shù)f（x）的周期為6，再計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的每個(gè)函數(shù)值，由此可得解．【解答】解：令y＝1，則f（x+1）+f（x﹣6）＝f（x），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+4）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+4）＝﹣f（x），則f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期為4，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），又f（x+7）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．【分析】直接利用函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的判斷A、B、C、D的真假．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，所以+φ＝kπ，所以φ＝kπ﹣，因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令4x+＜x＜，故f（x）在（7，）單調(diào)遞減；x∈（﹣，），2x+，），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣，，故B錯(cuò)誤；令2x+＝kπ+，得x＝﹣，C顯然錯(cuò)誤；結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，直線y＝顯然與y＝sin（8x+，故直線y＝，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的求法，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】由已知可得A的坐標(biāo)，再由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：如圖，∵F（，0），3），∴A（，），由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，則，則B（，﹣），∴，故A正確；，|OF|＝，故B錯(cuò)誤；|AB|＝＞3p＝4|OF|；，，，，，∵|OA|8+|OB|2＜|AB|2，|AM|8+|BM|2＜|AB|2，∴∠AOB，∠AMB均為鈍角，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．11．【分析】利用等體積法，先求出幾何體的體積V，再求出三棱錐E﹣ACD，F(xiàn)﹣ABC的體積V1、V2，V3＝V﹣V1﹣V2，可得V1、V2、V3之間的關(guān)系．【解答】解：設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，∵ED⊥平面ABCD，∴|ED|為四棱錐E﹣ABCD的高，∵FB∥ED，∴|FB|為三棱錐F﹣ABC的高，∵平面ADE∥平面FBC，∴點(diǎn)E到平面FBC的距離等于點(diǎn)D到平面FBC的距離，即三棱錐E﹣FBC的高＝|DC|＝8，幾何體的體積V＝VE﹣ABCD+VE﹣FBC+VE﹣ABF＝×SABCD×|ED|+×S△FBC×|DC|+×S△ABF×|AB|＝4，V1＝×S△ACD×|ED|＝，V2＝×S△ABC×|FB|＝，V7＝V﹣V1﹣V2＝7．故C、D正確，A．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的體積，熟練掌握棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．12．【分析】原等式可化為，（x﹣）2+＝1，進(jìn)行三角代換，令，則，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別求出x+y與x2+y2的取值范圍即可．【解答】解：由x2+y2﹣xy＝8可得，（x﹣）2+＝6，令，則，∴x+y＝＝2sin（，6]，B對(duì)，∵x2+y2＝＝＝∈[，故C對(duì)，D錯(cuò)，故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），∴P（8＜X≤2.5）+P（X＞7.5）＝0.6，∴P（X＞2.5）＝6.5﹣0.36＝6.14，故答案為：0.14．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】當(dāng)x＞0時(shí)，y＝lnx，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，lnx0），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表達(dá)出切線的斜率，進(jìn)而表達(dá)出切線方程，再把原點(diǎn)代入即可求出x0的值，從而得到切線方程，當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可求出另一條切線方程．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，y＝lnx0，lnx6），∵y'＝，∴切線的斜率k＝，∴切線方程為y﹣lnx0＝（x﹣x0），又∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴﹣lnx0＝﹣3，∴x0＝e，∴切線方程為y﹣1＝，即x﹣ey＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，y＝ln（﹣x），∴切線方程也關(guān)于y軸對(duì)稱，∴切線方程為x+ey＝3，綜上所述，曲線y＝ln|x|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為x﹣ey＝0，故答案為：x﹣ey＝0，x+ey＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題．15．【分析】求出AB的斜率，然后求解直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線方程，利用圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，列出不等式求解a的范圍即可．【解答】解：點(diǎn)A（﹣2，3），a），kAB＝，所以直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線的向量為：，即：（7﹣a）x﹣2y+2a＝8，（x+3）2+（y+8）2＝1的圓心（﹣6，﹣2），所以，得12a2﹣22a+6≤7，解得a∈[，]．故答案為：[，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．16．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)為E，可得kOE?kAB＝?＝﹣，設(shè)直線l的方程為：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），可得E（﹣，），kOE＝﹣k，進(jìn)而得出k，再利用|MN|＝2，解得m，即可得出l的方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x3，y2），線段AB的中點(diǎn)為E，由+＝1，+，相減可得：＝﹣，則kOE?kAB＝?＝＝﹣，設(shè)直線l的方程為：y＝kx+m，k＜0，M（﹣，N（0，∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，∴﹣k?k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝7，∴＝2+m7＝12．∴3m2＝12，m＞7．∴l(xiāng)的方程為y＝﹣x+4y﹣2，故答案為：x+y﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），根據(jù)這兩式即可證明a1＝b1；（2）由題設(shè)條件可知2k﹣1＝2m，由m的范圍，求出k的范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2﹣b2＝a5﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+6d﹣4b1，則d＝7b1，由a2﹣b4＝b4﹣a4，得a2+d﹣2b1＝4b1﹣（a1+3d），即a1+d﹣2b3＝4d﹣（a1+3d），∴a1＝b1．（2）由（1）知，d＝7b1＝2a2，由bk＝am+a1知，，∴，即2k﹣1＝2m，又1≤m≤500，故2≤7k﹣1≤1000，則2≤k≤10，故集合{k|bk＝am+a5，1≤m≤500}中元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．【分析】（1）根據(jù)S1﹣S2+S3＝，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根據(jù)S＝acsinB，求△ABC面積．（2）由正弦定理得∴a＝，c＝，且ac＝，求解即可．【解答】解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，S2＝b2sin60°＝b2，S2＝c8sin60°＝c8，∵S1﹣S2+S6＝a3﹣b3+c6＝，解得：a6﹣b2+c2＝8，∵sinB＝，a6﹣b2+c2＝8＞0，即cosB＞0，∴cosB＝，∴cosB＝＝，解得：ac＝，S△ABC＝acsinB＝．∴△ABC的面積為．（2）由正弦定理得：＝＝，∴a＝，c＝，由（1）得ac＝，∴ac＝?＝已知，sinB＝，解得：b＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理解三角形，需靈活運(yùn)用正余弦定理公式．19．【分析】（1）利用平均數(shù)公式求解即可．（2）利用頻率分布直方圖求出頻率，進(jìn)而得到概率．（3）利用條件概率公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：＝5×0.001×10+15×6.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×2.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×6.006×10+85×0.002×10＝47.9歲．（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的頻率為：（7.012+0.017+0.023+8.020+0.017）×10＝0.89，∴估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率為2.89．（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間[40，此人患這種疾病為事件C，則P（C|B）＝＝≈0.0014．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖求平均數(shù)、頻率，考查條件概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）連接OA，OB，可證得OA＝OB，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)F，可證得OE∥PF，由此得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夾角公式得解．【解答】解：（1）證明：連接OA，OB，OP⊥平面ABC，又OA?平面ABC，OB?平面ABC，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，∴OA＝OB，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)F，又AB⊥AC，O為BF中點(diǎn)，在△PBF中，O，E分別為BF，則OE∥PF，∵OE?平面PAC，PF?平面PAC，∴OE∥平面PAC；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥OP，以AB，AF分別為x軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于PO＝3，PA＝5，又∠ABO＝∠CBO＝30°，則，∴，又AC＝ABtan60°＝12，即C（5，0），設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，設(shè)銳二面角C﹣AE﹣B的平面角為θ，則，∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)漸近線方程和a2＝b2+c2即可求出；（2）首先求出點(diǎn)M的軌跡方程即為yM＝xM，其中k為直線PQ的斜率，若選擇①②：設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得M為AB的中點(diǎn)，即可|MA|＝|MB|；若選擇①③：當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝m（x﹣2）（m≠0），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可PQ∥AB；若選擇②③：設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），設(shè)AB的中點(diǎn)C（xC，yC），求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得點(diǎn)M恰為AB中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線AB上．【解答】解：（1）由題意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程為x2﹣＝1，（2）設(shè)直線PQ的方程為y＝kx+m，（k≠0）3﹣＝6可得（3﹣k2）x3﹣2kmx﹣m2﹣5＝0，Δ＝12（m2+7﹣k2）＞0，∵x5＞x2＞0∴x6+x2＝＞0，x4x2＝﹣＞3，∴3﹣k2＜2，∴x1﹣x2＝＝，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，yM），則，兩式相減可得y1﹣y2＝6xM﹣（x5+x2），∵y1﹣y4＝k（x1﹣x2），∴4xM＝（x5+x2）+k（x1﹣x6），解得XM＝，兩式相加可得8yM﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），∵y7+y2＝k（x1+x8）+2m，∴2yM＝（x1﹣x2）+k（x6+x2）+2m，解得yM＝，∴yM＝xM，其中k為直線PQ的斜率；若選擇①②：設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x6，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y5），則，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，∴x8+x4＝，y2+y4＝，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足，解得XM＝＝（x4+x4），yM＝＝（y3+y4），∴M為AB的中點(diǎn)，即|MA|＝|MB|；若選擇①③：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)F（8，此時(shí)不在直線y＝，矛盾，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝m（x﹣2）（m≠2）3，y3），B的坐標(biāo)為（x8，y4），則，解得x3＝，y3＝，同理可得x2＝，y6＝﹣，此時(shí)xM＝（x3+x4）＝，∴yM＝（y3+y5）＝，由于點(diǎn)M同時(shí)在直線y＝x上?2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB．若選擇②③，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），則，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，設(shè)AB的中點(diǎn)C（xC，yC），則xC＝（x3+x5）＝，yC＝（y3+y4）＝，由于|MA|＝