橢圓復(fù)習(xí)教案

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高二文科數(shù)學(xué)橢圓復(fù)習(xí)教案

（一）橢圓標準方程問題：

例1、?ABC的底邊BC?16，AC和AB兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心G的軌跡和頂點A的軌跡．

分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用橢圓定義求解．

（2）由G的軌跡方程G、A坐標的關(guān)系，利用代入法求A的軌跡方程．

BC中點為原點建立直角坐標系．解：（1）以BC所在的直線為x軸，設(shè)G點坐標為?x，y?，

由GC?GB?20，知G點的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．因a?10，

c?8，有b?6，

x2y2??1?y?0?．故其方程為

10036x?2y?2??1?y??0?．①（2）設(shè)A?x，y?，G?x?，y??，則

10036??xx?，?x2y2?3??1?y?0?，由題意有?代入①，得A的軌跡方程為其軌跡是橢圓（除900324?y??y?3?去x軸上兩點）．

說明：對于求橢圓標準方程的題型主要有兩種，一種是利用標準方程中胡a、b、c、e的幾何意義及其關(guān)系，求得相應(yīng)胡值，得到橢圓胡標準方程，一種是待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件列方程組，然后解此方程組，從而求出待定系數(shù)。當然，在此類問題中還有求動點軌跡方程的題，特別是根據(jù)題目條件可以確定該動點軌跡是橢圓的題，可通過確定橢圓的相關(guān)系數(shù)來確定該動點問題。對于一般的動點問題，則習(xí)慣采用代入法來求其軌跡方程，如本例題中的（2）。具體解法為：首先設(shè)動點的坐標為(x,y)，設(shè)已知軌跡上的點的坐標為(x0,y0)，然后根據(jù)題目要求，使x，y與x0，y0建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出x0和y0代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于x，y的方程，化簡后即我們所求的方程．這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必需把握．

知識遷移：

0?，a?3b，求橢圓的標1、已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P?3，準方程．

2、已知動圓P過定點A??3，0?，且在定圓B：?x?3??y2?64的內(nèi)

21

部與其相內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程．

（二）直線與橢圓綜合的位置關(guān)系及弦長問題：例2、已知橢圓4x2?y2?1及直線y?x?m．（1）當m為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為

210，求直線的方程．52解：（1）把直線方程y?x?m代入橢圓方程4x2?y2?1得4x2??x?m??1，即5x?2mx?m?1?0．???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得

222???55．?m?222mm2?1x1x2?（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1，x2，由（1）得x1?x2??，．55m2?1210?2m??根據(jù)弦長公式得：1?1???．解得m?0．方程為??4?55?5?22y?x．

說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式?；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式．用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程．

例3、已知長軸為12，短軸長為6，焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點F1作傾斜解為

?的直線交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長．3

分析：可以利用弦長公式AB?1?kx1?x2?2(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]求得，

也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求．解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．

AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]．b?3，由于a?6，所以c?33．因

為焦點在x軸上，

2

x2y2??1，左焦點F(?33,0)，從而直線方程為y?3x?9．所以橢圓方程為

369由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x?723x?36?8?0．設(shè)x1，x2為方程兩根，所以

2x1?x2??72313，

x1x2?36?813，

k?3，從而

AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?

(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解．

48．13x2y2??1，設(shè)AF由題意可知橢圓方程為1?m，BF1?n，則AF2?12?m，369BF2?12?n．

在?AF1F2中，AF22?AF1?F1F2?2AF1F1F2cos222?3，

即(12?m)?m?36?3?2?m?63?所以m?21；24866AB?m?n?n?．同理在?BF中，用余弦定理得，所以．F12134?34?3

(法3)利用焦半徑求解．

先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的兩根x1，x2，它們分別是A，B的橫坐標．

再根據(jù)焦半徑AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，從而求出AB?AF1?BF1．

說明：對同一道題，從不同角度分析研究，可能會得到不同啟示，得出大量種不同的解法，從而使學(xué)生的思維向不同方向、不同層次發(fā)展，沖破思維的單一性，固定性，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。此題在講解中采用一題多解的形式，擴散學(xué)生的解題思維，根據(jù)學(xué)生的差異性（學(xué)生的知識把握程度以及學(xué)生的接受能力與理解能力等等）來選擇性講解，按學(xué)生最終的把握狀況識記。當中，方法3選擇性講，對于一般性學(xué)生，若學(xué)校老師在上課中沒有提到焦半徑的概念，則無需講解。知識遷移：

2x2y2??1上的點M到焦點F1的距離為2，N為MF1的中點，則ON（O為坐1、橢圓

259標原點）的值為（）A．4B．2C．8D．

32說明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做

3

橢圓．(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即MF1?MF2?2a，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關(guān)距離．（三）弦中點問題：

x2y2??1所截得的線段的中點，求直線l的方程．例4、已知P(4,2)是直線l被橢圓

369

分析：此題考察直線與橢圓的位置關(guān)系問題．尋常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出x1?x2，x1x2(并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設(shè)而不求〞y1?y2，y1y2)的值代入計算即得．的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．

解：方法一：設(shè)所求直線方程為y?2?k(x?4)．代入橢圓方程，整理得

(4k2?1)x2?8k(4k?2)x?4(4k?2)2?36?0①

設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1、x2是①的兩根，∴

x1?x2?8k(4k?2)

4k2?11x1?x24k(4k?2)k???，．∴所求直線方程為2224k?1∵P(4,2)為AB中點，∴4?x?2y?8?0．

方法二：設(shè)直線與橢圓交點A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)為AB中點，∴x1?x2?8，

y1?y2?4．

又∵A，B在橢圓上，∴x1?4y1?36，x2?4y2?36兩式相減得

2222(x1?x2)?4(y1?y2)?0，

即(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0．∴為x?2y?8?0．

方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y)，另一個交點B(8?x,4?y)．∵A、B在橢圓上，∴x?4y?36①。(8?x)?4(4?y)?36②

22222222y1?y2?(x1?x2)1???．∴直線方程

x1?x24(y1?y2)24

從而A，B在方程①－②的圖形x?2y?8?0上，而過A、B的直線只有一條，∴直線方程為x?2y?8?0．

說明：培養(yǎng)學(xué)生解題思維的概括性與深刻性是數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)之一。在解題中思考解題思路、解題的基本規(guī)律是提高學(xué)生思維概括性的有效途經(jīng)。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考察的解析幾何問題，“設(shè)而不求〞的方法是處理此類問題的有效方法．在此題講解中著重介紹設(shè)而不求的解題方法與具體做法，保證學(xué)生能夠完全接受。

若已知焦點是(33,0)、(?33,0)的橢圓截直線x?2y?8?0所得弦中點的橫坐標是4，則如何求橢圓方程？

x2?11??y2?1，例5、已知橢圓（1）求過點P?，?且被P平分的弦所在直線的方程；2?22?（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

（3）過A?2，1?引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點P、Q，O為原點，且有直線OP、OQ斜率滿足kOP?kOQ??求線段PQ中點M的軌跡方程．分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標的方法．

解：設(shè)弦兩端點分別為M?x1，y1?，N?x2，y2?，線段MN的中點R?x，y?，則

①－②得?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．

由題意知x1?x2，則上式兩端同除以x1?x2，有?x1?x2?2?y1?y2?1，2?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2，??x1?x2?2x，?y?y?2y，?12①②③④y1?y2?0，

x1?x2將③④代入得x?2yy1?y2?0．⑤

x1?x2（1）將x?11y?y21??，故所求直線方程為2x?4y?3?0．⑥，y?代入⑤，得122x1?x22222將⑥代入橢圓方程x?2y?2得6y?6y?11?0，??36?4?6??0符合題意，442x?4y?3?0為所求．

5

（2）將

y1?y2（橢圓內(nèi)部分）?2代入⑤得所求軌跡方程為：x?4y?0．

x1?x2y1?y2y?1代入⑤得所求軌跡方程為：x2?2y2?2x?2y?0．（橢圓內(nèi)部分）?x1?x2x?2（3）將

2x12?x22???y12?y2?2，⑦（4）由①＋②得：

222將③④平方并整理得x1?x2?4x2?2x1x2，⑧22y1?y2?4y2?2y1y2，⑨

4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2，⑩將⑧⑨代入⑦得：

4??再將y1y2??1?1?x1x2代入⑩式得：2x2?x1x2?4y2?2??x1x2??2，2?2?y2?1．此即為所求軌跡方程．即x?122說明：此題前面三問均是采用設(shè)弦端坐標的方法，也即“設(shè)而不求法〞（點差法），而在第（4）問的應(yīng)用中略有區(qū)別，需引起注意。知識遷移：

x2y2??1，求：已知橢圓

164（1）以P(2,?1)為中點的弦所在的直線方程；（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程；

（3）過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦中點的軌跡方程．綜合練習(xí)：

x2y21、已知橢圓方程2?2?1?a?b?0?，長軸端點為A1，A2，焦點為F1，

abF2，P是橢圓上一點，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面

積（用a、b、?表示）．

分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角?的兩鄰邊，從而利用S??1absinC求面積．26

x2y2??1的焦點為焦點，2、以橢圓過直線l：x?y?9?0上一點M123作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點M應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．

分析：橢圓的焦點簡單求出，依照橢圓的定義，此題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．

x2y2?1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y?4x?m，橢圓C3、已知橢圓C：?43上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱．

說明：涉及橢圓上兩點A，B關(guān)于直線l恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的