運(yùn)籌學(xué)第2章答案

2.1某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補(bǔ)充A、B、C三種營養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位，C不少于180單位.此人準(zhǔn)備每天從六種食物中攝取這三種營養(yǎng)成分.已知六種食物每百克的營養(yǎng)成分含量及食物價(jià)格如表2-22所示.（1）試建立此人在滿足健康需要的基礎(chǔ)上花費(fèi)最少的數(shù)學(xué)模型；（2）假定有一個(gè)廠商計(jì)劃生產(chǎn)一中藥丸，售給此人服用，藥丸中包含有A，B，C三種營養(yǎng)成分.試為廠商制定一個(gè)藥丸的合理價(jià)格，既使此人愿意購買，又使廠商能獲得最大利益，建立數(shù)學(xué)模型.表2-22含量營養(yǎng)成分-\食物^一二三四五六雖曲與需要量80B24930251215N150C1872134100N180食物單價(jià)（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】(1)設(shè)》為每天第j種食物的用量，數(shù)學(xué)模型為minZ=0.5x+0.4x2+0.8x3+0.9七+0.3^+0.2x6〔13x+25x+14x+40x+8x+11x>8012345624x+9x+30x+25x+12x+15x>150<12345618x.+7x2+21x3+34x4+10x>180x、x、x、x、x、x>0123456則數(shù)學(xué)模型為攜義為第z?種單位營養(yǎng)的價(jià)格，maxw=80y+150y+180y〔13y+24y+18y<0.525y1+9y2+7y3<0.414y+30y+21y<0.8則數(shù)學(xué)模型為<40y+25y+34y<0.98y1+12y2+10y3<0.31y+15y+<0.2、y「y2,y3>02.2寫出下列線性規(guī)劃的對(duì)偶問題（1）<【解】min=3x^+5x+x一x+3x+6x>8123x^+x-x>4x,x,x>0123maxw=8y+4y'-y1+2y（1）<【解】3y1+y2<56y1-y2<1y,y>012(2)maxZ=2x-xix+2x=912—x—3x+12X無約束，1X3X2maxZ=x+3x310+2x12+4x【解】3x410X-1X2-x-4x3=847x+6x—2x—5x>10i234-Sx+6x+x<6i234X,X>0,x<0.x無約束(3)1231431233x—2x+尤—6x=912346x+5x—>6i34f+2x—無+2x<-2i2345<x<10—2xZ3x+6x-7x+max4(4)1無約束346y2對(duì)偶問題為:2.3考慮線性規(guī)劃minZ=12xx+4x12A：+5工<122x+3xiX,A：112minw=9y+10yib—y=2

122y-3y>12y>32y無約束；1-1mm【解】【解】minw=9y+3y+6y-y+y1234一2y+2y=313<y+5y-y=6123-6y-y+2y=-7123y無約束；y<0,y,>V123y>02w=8y+10y+6y12310y+7y+4y>1123J+6y-Sy>2123<-J一2y+6y<4123-4y-5y+y=-33y<0,y>02312y無約束；1maxZ3xi6xi—X+2X1>=—2.xi2x+x2+3x+6x-7x234-6x=934+20a：21X1X1XI1+5工-x>634x+2V—234102y+5y+lOy3y>54-20,y>05⑴說明原問題與對(duì)偶問題都有最優(yōu)解；通過解對(duì)偶問題由最優(yōu)表中觀察出原問題的最優(yōu)解;利用公式Ck求原問題的最優(yōu)解；D⑷利用互補(bǔ)松弛條件求原問題的最優(yōu)解.【解】(1)原問題的對(duì)偶問題為maxw=4y+2y+7yy]+y2+2y3<12<4y1+5y2+3y3<20、y.>0,j=1,2,3容易看出原問題和對(duì)偶問題都有可行解，如X=(2,1)、Y=(1,0,1),由定理2.4知都有最優(yōu)解。(2)對(duì)偶問題最優(yōu)單純形表為C(j)42700R.H.S.BasisC(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4對(duì)偶問題的最優(yōu)解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原問題的最優(yōu)解為X=(16/5,1/5),Z=42.441-41-(3)Cb=(7,4),b-1=55，X=(7,4)55=(16/5,1/5)3232L-55_L-55_(4)由七、y3不等于零知原問題第一、三個(gè)約束是緊的，解等式fx+4x=4\2x+3x=7112得到原問題的最優(yōu)解為X=(16/5,1/5)。2.4證明下列線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解minZ=x.-2x-2x2x1+x-2x=3<x1-2x+3x>2x,x>0,x無約束

‘123證明：首先看到該問題存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述問題的對(duì)偶問題為maxw=3y+2y'2y1+y2<1y廣2y2<-2-2'1+3'2=-2y>0,y無約束21由約束條件①②知七00,由約束條件③當(dāng)y230知七31,對(duì)偶問題無可行解，因此原問題也無最優(yōu)解(無界解)。2.5已知線性規(guī)劃maxZ=15x+20x+5xx+5x+x<55x+6x+x<6x+10x+x<7x>0,x>0,x無約束1123的最優(yōu)解X=（怎樣安排生產(chǎn)，使利潤最大.若增加1kg原材料甲，總利潤增加多少.設(shè)原材料乙的市場價(jià)格為1.2元/Kg怎樣安排生產(chǎn)，使利潤最大.若增加1kg原材料甲，總利潤增加多少.設(shè)原材料乙的市場價(jià)格為1.2元/Kg，若要轉(zhuǎn)賣原材料乙，工廠應(yīng)至少叫價(jià)多少，為什么？單位產(chǎn)品利潤分別在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，原生產(chǎn)計(jì)劃不變.4【解】其對(duì)偶問題是：minw=5y+6y+7y'y1+5y2+3y3>15y1+6y2+10y3>20y1+y2+y3=原材料分別單獨(dú)在什么范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，仍只生產(chǎn)A和C兩種產(chǎn)品.由于市場的變化，產(chǎn)品B、C的單件利潤變?yōu)?元和2原材料分別單獨(dú)在什么范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，仍只生產(chǎn)A和C兩種產(chǎn)品.由于市場的變化，產(chǎn)品B、C的單件利潤變?yōu)?元和2元，這時(shí)應(yīng)如何調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃.工廠計(jì)劃生產(chǎn)新產(chǎn)品D，每件產(chǎn)品D消耗原材料甲、乙、丙分別為2kg，2kg及1kg，每件產(chǎn)品D應(yīng)獲利多少時(shí)才有利于投產(chǎn).【解】(1)設(shè)氣、x2、x3分別為產(chǎn)品A、B、C的月生產(chǎn)量，數(shù)學(xué)模型為由原問題的最優(yōu)解知，原問題約束③的松弛變量不等于零（x*。0），%、x3不等于零，則對(duì)偶問題的約束①、約束③為等式，又由于xs3。0知y3=0；解方程[y1+5y2=15〔y+y=5

12得到對(duì)偶問題的最優(yōu)解Y=（5/2,5/2,0）；w=55/2=27.57.某工廠利用原材料甲、乙、丙生產(chǎn)產(chǎn)品A、B、C，有關(guān)資料見表2-23.表2-23材'產(chǎn)品一材料消耗集原材料有"每月可供原材料(Kg)品ABC甲211200乙123500丙221600每件產(chǎn)品利潤413

maxZ=4x+x+3x‘2x+1x+x<200x+2x+3x<5002x+x+x<600x>0,x>0,x>01123最優(yōu)單純形表:C(j)413000R.H.S.RatioXB-CBX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最優(yōu)解X=(20,0,160),Z=560oX廠應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A20件，產(chǎn)品C160種，總利潤為560元。由最優(yōu)表可知，影子價(jià)格為y=9,y=2,y=0,故增加利潤1.8元。15253因?yàn)閥2=0.4，所以叫價(jià)應(yīng)不少于1.6元。依據(jù)最優(yōu)表計(jì)算得8-3<△c<2,△c〈一,-1<△c<9125313cg[1,6],cG(-8,],ce[2,12]1253(5)依據(jù)最優(yōu)表計(jì)算得<△b<400,-400<△b<100,-400<△b500bg[,600],bg[100,600],be[200,+8).1323(6)變化后的檢驗(yàn)數(shù)為X2=1,X4=-2,X5=0。故x2進(jìn)基x1出基,得到最最優(yōu)解X=(0,200,0)，即只生產(chǎn)產(chǎn)品B200件，總利潤為600元。C①432000R.H.S.RatioXBCBX1X2X3X4X5X6X141[1/5]03/5-1/5020100X3203/51-1/52/50160800/3X60000-101400MC(j)-Z(j)010-200560X225103-10100M