線性代數(shù)部分講義

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性代數(shù)部分講義第一章行列式一、知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖?概念不同行不同列元素乘積的代數(shù)和（共n!項(xiàng)）??經(jīng)轉(zhuǎn)置行列式的值不變???某行有公因數(shù)k,可把k提到行列式外????性質(zhì)?某行所有元素都是兩個數(shù)的和，則可寫成兩個行列式之和?兩行互換行列式變號??????某行的k倍加至另一行，行列式的值不變?n???A??aijAij(按i行展開)??j?1代數(shù)余子式?展開式?n??A??aijAij(按j行展開)??i?1?????三角化法???數(shù)字型?公式法???遞推法??行???計(jì)算???列??用行列式性質(zhì)??抽象型?用矩陣性質(zhì)式?????用特征值A(chǔ)?????i?????Ax?0有非零解??反證法????證A?0?r?A??n??0是A的特征值?????A??A???Ax?0有非零解??伴隨矩陣求逆法?????線性相關(guān)（無關(guān)）判定?應(yīng)用?可逆的證明????克萊姆法則?????特征值計(jì)算?點(diǎn)評：（1）二、三階行列式aca1b1c1bd?ad?bca3b3?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2c3a2b2c2這樣的計(jì)算方法對4階及4階以上行列式不適用.(2)對行列式的性質(zhì)3要理解正確,例如a1?b1c1d1a2?b2c2d2a3?b3c3d3a1?c1d1a2c2d2a3d3b1d1b2c2d2b3c3d3c3?c1對于n階矩陣A??aij?,B??bij?,有A?B??aij?bij?,由于行列式A?B中每一行都是兩個數(shù)的和,所以若用性質(zhì)3把行列式A?B拆開,則A?B應(yīng)當(dāng)是2個n階行列式之和,不要錯誤的認(rèn)為A?B?A?B.n

二重要定理定理1.1n階行列式a11D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann等于它的任意一行的所有元素與它們各自對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D?ak1Ak1?ak2Ak2???aknAkn?k?1,2,?,n?.?1.3?公式?1.3?稱為行列式按第k行的展開公式.定理1.2n階行列式D等于它的任意一列的所有元素與它們各自對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D?a1kA1k＋a2kA2k＋?＋ankAnk?k?1,2,?,n?.?1.4?公式?1.4?稱為行列式按第k列的展開公式.定理1.3設(shè)n階行列式a11D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann元素aij的代數(shù)余子式為Aij,當(dāng)i?k?i,k?1,2,?,n?時，有ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0?1.5?當(dāng)j?k?j,k?1,2,?,n?時，有a1jA1k?a2jA2k???anjAnk?0?1.6???注??在n階行列式a11D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann中劃去元素aij所在的第i行、第j列，由剩下的元素按原來的排法，構(gòu)成一個n-1階的行列式a11?ai?1,1ai?1,1?an1????a1j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1i＋ja1j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1?a1n?ai?1,nai?1,n?ann??

?稱其為aij的余子式，記為Mij.而稱?－1?即Aij??－1?i＋jMij為aij的代數(shù)余子式，記為Aij,Mij?1.2?三主要公式?1?上?下?三角行列式的值等于主對角線元素的乘積a11a12a22???a1na2n?ann?a11a21?an1a22?an2???ann?a11a22?ann,?1.7??2?關(guān)于副對角線的行列式a11a21?an1??-1?a12a22?0n?n?1?2??a1,n-1a2,n-1?0an10?0?00?an1??0a2,n-1?an,n-1a1na2n?ann??a1na2,n-1?anl.?1.8??3?兩個特別的拉普拉斯展開式a11?an10?0a11??an1c11?cn1b11?bm1???1??a11mn?a1n?ann0?c11?cn1b11?bm1b11??bm1a11?an10?0a1n?ann?c1m?cnmb1m?bmmb1m?a11??an1c11?cm1?a1n?annc1n?cmn0?0b11?bm1?0?????????0b1m?bmm??0a1n?annc1m?cnmb1m?bmm?????.?1.9?????bmma1n?ann0?0??0b11?bm1b1m??bmm?1.10?????0?0b1m?bmma11?an1c11?cm1????a1n?annc1n?cmm?????b11??bm10??an1??4?范德蒙行列式1x1x1?x1n-121x2x2?x2n-12???1xnxn?xn2???x1?j?i?ni?xj??1.11??n-1?5?特征多項(xiàng)式設(shè)A??aij?是3階矩陣，則A的特征多項(xiàng)式??-A????a11?a22?a33???s2??A?1.12?32其中s2?a11a21a12a22?a11a31a13a33?a22a32a23a33

四.方陣行列式?1?若A是n階矩陣，則kA?kA;?1.12?AB?AB;?1.13?n?1n?2?若A,B都是n階矩陣，則?3?若A是n階矩陣，則A*?A;?1.14??1?4?若A是n可逆階矩陣，則A-1?A?1.15??5?若A是n階矩陣，?i?i?1,2,?,n?是A的特征值，n則A???i?1i;?1.16??6?若A?B,則A?B.?1.17?五.克萊姆法則若線性方程組?a11x1?a12x2???a1nxn?b?1?a21x1?a22x2???a2nxn?b?2??????an1x1?an2x2???annxn?bn的系數(shù)行列式a11a12?a1nD=a21a22?a2n?0an1an2?ann則方程組有惟一解xD1n1=D,x2=D2D,?,xn=DD其中a11?a1j-1b1a1j+1?nD=?ba21?a2j-1b2a2j+1?jiAij=i?1????an1?anj-1bnanj+1?推論若齊次線性方程組?a11x1?a12x2???a?1nxn?0?a21x1?a22x2???a2nxn?0????????an1x1?an2x2???annxn?0的系數(shù)行列式不為0，則方程組只有零解.?1.18?a1na2n?ann

數(shù)字型行列式a111.已知a21a31a12a22a32a13a23?3,則a33a11a12a132a31?5a212a32?5a222a33?5a233a213a22???3a23?A?18;?B??18;?C?-9;?D?27.x?22.記行列式2x?23x?34x數(shù)為?A?1;?B?2;?C?3;?D?4.??a13.四階行列式00b40a2b300b2a30b100a4的值等于x?12x?13x?24x?3x?22x?24x?55x?7x?32x?33x?54x?3為f?x?,則方程f?x??0的根的個?A?a1a2a3a4-b1b2b3b4?B?a1a2a3a4?b1b2b3b4?C??a1a2-b1b2??a3a4-b3b4??D??a2a3-b2b3??a1a4-b1b4???14.計(jì)算11aa1?x5.?x00a16.a2a3a417.1111200-1x00103011a1a2x?x00-1x01004?______.1a11a30x?x00-1x?________.a111a400x?_______.?_______.

含參數(shù)行列式11.若500123426001x3437x413x614835116x?11?0,則??____.?0,則x?____.?0,則x?____.??32.若1?1??51?2??32?k?0,則??____.??33.若k?4??1?2??3抽象行列式1.?,?,?1,?2,?3均為4維列向量，已知A???1?2?3?5,B???1?2?3?-1,則A?B??A?4?B?6?c?32?D?48??2.已知?1,?2,?3,?,?均4維列向量，若4階行列式?1?2?3?＝a,????1?2?3＝b,那么4階行列式2??1?2?3??A?2a?b?B?2b?a?C??2a?2b?D??2a?2b??3.設(shè)A,B均為n階矩陣,A?2,B??3,則AB?AB?1?4.設(shè)A?0???2234-1**?112AB*T?____.?____?1?1*?*5,A是A的伴隨矩陣，則A?____.?22??

其次章矩陣?概念m?n個數(shù)排成的m行n列的表格?A?B,kA??運(yùn)算--AB?方陣的冪?TA???b1j??????????????????b2j????????c?i?iai1ai2?ain?????ij????????????????????????bnj??????jj????設(shè)A是n階矩陣，假使存在n階矩陣B使得???定義?AB?BA?E?單位矩陣???????成立，則稱A是可逆矩陣或非奇異矩陣，B是A的逆矩陣.?????用定義???行?逆矩陣???A?E?????E?A?1???????1*??求法?用伴隨A?1?A?A??????1?1?1?1?A00A???0?A0B???????用分塊?,????????1??1???0BB0?0BA0???????????矩陣?????計(jì)算初等變換法定義法?秩?性質(zhì)rAB?minrA,rB;如A可逆，則rAB?rB????????????????????A11A21?An1??????A12A22?An2???,AA*?A*A?AE?伴隨矩陣--A?????????????A1nA2n?Ann??????T?對稱矩陣--A?A?a?a?ijji??T?反對稱矩陣--A??A?aii?0,aij??aji??特別矩陣?正交矩陣--AAT?ATA?E?A-1?AT?????1??????a-1n1????a1??a1?????1????n?對角矩陣??????,???,a????12212?????a2?n?????an?a3???????1????????a??3??????1?用非零常數(shù)k乘矩陣的某一行?列?;??初等變換??2?互換矩陣某兩行?列?的位置;???3把某行列的k倍加至另一行列;?????????

二.主要公式?1?轉(zhuǎn)置?AT?T?A;T?A?B??kA?T?A?B;TTT?kA;T?AB??BA.TT?2?可逆?A?1??1?A?1kA?1?kA??1?k?1?0?;?AB??AA?1?1?B?1A;?T??A1A1A;?T??1;?1?A?1?A.?3?伴隨AA?AA?AE;A?AA;A???1???An?1;?1?A?A????1??A??A????1AA;?TT?;r?A???n假使r?A??n,???1假使r?A??n?1,?0假使rA?n?1.????4?秩r?A??r?AT?;當(dāng)k?0時,r(kA)?r(A);r?A?B??r?A??r?B?r(AB)?min?r?A?,r(B)?若A可逆,則r(AB)?r(B),r(BA)?r(B).若A是m?n矩陣,B是n?s矩陣,AB?0,則r(A)?r(B)?n(5)分塊矩陣?A??????An???B????1nn?B???若B,C分別是m階,n階可逆矩陣,則?B??00??C??B?1???00??0,?1??C??CB??0??1?0???1?BC??0??1

三矩陣運(yùn)算1.已知??（121），??（1T120），A???，則A?____.TT4?2?2.已知A?1??1?4226??n3，則A?____.?3??TT3.設(shè)?是3維列向量，?是?的轉(zhuǎn)置，若???1??1??1??11?11??T?1，則???_____.?1??2023??234，則A?_____,A?_____.?0??01?30??n0，則A?_____.?1??0301??1??0，B?0????02??0?10??0?4.若A?0??0??1?5.設(shè)A?2??0??2?6.已知A?0??2?則X40??0，若X滿足AX?2B?BA?2X，?0???_____.?0?7.設(shè)A?1??0?則B2023?1000???10B?PAP，其中P為3階可逆矩陣，??1???2A?_____.2四可逆矩陣?2?1.若A?1???1??01?2.設(shè)A?12??2?2?123???10，則A?_____.?1??2???10，則A?_____.?0???1?2?1?，B?A?3A?2E，則B?_____.3?035?13.設(shè)矩陣A???2

1??1TT4.設(shè)???，，0?，，0?是1?n矩陣，A?E???，B?E?a??,其中E是n階單位矩陣，A2??2的逆矩陣是B，則a?______.?15.若A是n階矩陣，滿足A?3A?2E?0，則?A?E?2?______.?1??26.設(shè)A???0???003?40005?60??0?，E為4階單位矩陣，且B??E?A??1?E?A?，則0??7???E?B??1?______.7.設(shè)A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB?2A?B，?2?B?0??2?0402???10，則（A?E）?______.?2??五矩陣的秩1.求矩陣A的秩，其中a,b是參數(shù)，?1?0A???2??3??2?2.設(shè)A?6??4?t?______3.已知n??3?階矩陣?1?a?A??a????a?的秩為n?1，求a.a1a?aaa1?a????a??a?a????1??3t64??1????2，B?3?2?????0?3???11351?1a11??b?.4??7??34?，若秩r?A?AB??2，則

六矩陣方程?0?1.x0??1?120?1??2??2?4???0???02061???2,則x?______.?6??2??4??11??12.已知X?XA?B，其中A??，B????11??3則X?______.?1?3.設(shè)矩陣A?0??1?0261??26滿足AX?E?A?X，則X?______.?1??4.已知A，B均3階矩陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E其中E是3階單位矩陣，則X?______.?A??A?B22??1?B??A?B??1?1?A?B??1?C??A?B??1?A?B??D?條件不足，不能確定5.若XA?1?1???3A?X，其中A?0???3??10?10?1??0，則X?______.?1??6.若?2E?C?1?B?0??0?B?AT?C?1，其中2100??2?1??210?3??1??2，C?0????01??

則A?______.第三章n維向量一、知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖??概念：若存在不全為0的k1?，k1，使k1?1???ks?s＝0???（?，?s）x＝0有非0解??1，?2，??????充要條件?（r?1，?2，?，?s）?s???線性相關(guān)????判定??某?ii可由?1,??i-1,?i?1,?,?s表出??????充分條件?n?1個n維向量??????多數(shù)向量能用少數(shù)向量表示?????概念:假使k1?1???ks?s＝0,則必有k1?0,?,ks?0????（?，?s）x?0只有零解??1，??判??n維向量???（r?1，?，?s）?s?線性無關(guān)?????i,?i不能由其余的表示?????階梯形向量組?定???????????概念?極大線性無關(guān)組??求法??????向量組的秩-矩陣的秩定義在向量組?1，?2，?，?s中,如存在r個向量?i1,?i2,?,?ir,線性無關(guān),再加進(jìn)任一個向量?j?j?1.2.?,s?就線性相關(guān),則稱?i1,?i2,?,?ir是向量組?1，?2，?，?s的一個極大線性無關(guān)組.定義向量組?1，?2，?，?s的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)r稱為這個向量組的秩.二、重要定理定理3向量組?1，?2，?，?s線性相關(guān)?x1???x2?齊次線性方程組??1，?2，?，?s????0有非零解???????xs???向量組的秩r??1，?2，?，?s??s.推論1n個n維向量?1，?2，?，?n線性相關(guān)的充分必要條件是行列式?1，?2，?，?n?0.推論2n?1個n維向量一定線性相關(guān).定理3.2假使向量組?1，?2，?，?s的一個部分組線性相關(guān),那么向量組?1，?2，?，?s亦線性相關(guān);反之,假使?1，?2，?，?s線性無關(guān),那么它的任一部分組都線性無關(guān).定理3.3設(shè)?1，?2，?，?s是m維向量,?1,?2,?,?s是n維向量,令??s???1???2??1???,?2???,?,?s???,??1???2???s?其中?1,?2,?,?s,是m?n維向量.假使?1，?2，?，?s線性無關(guān),則?1,?2,?,?s,線性無關(guān);反之,若?1,?2,?,?s線性相關(guān),則?1，?2，?，?s線性相關(guān).

三、線性相關(guān)1.以下向量組中，線性無關(guān)的是（A）（1，，23，4）(2,3,4,5),(0,0,0,0).(B)(a,b,c,),(b,c,d),(d,e,f),(f,g,h)(C)(a,1,b,0,0),(c,0,d,6,0),(a,0,c.5,6)?1?2.設(shè)三階矩陣A?2???3TTTTTTTTTT，TT210?2?T?2,三維列向量??（a,1,1)，已知A?與?線性相關(guān)，則a??4??TTTT3.若?1?（1，，23，1），?2?(1,1,2,?1),?3?(2,6,a,5)?4?(3,4,7,?1)線性相關(guān)，則a?___.4.若?1?(1,3,4,-2,),?2?(2,1,3,t),?3?(3,?1,2,0)線性相關(guān),則t?_____.5.已知向量組?1，?2，?3線性無關(guān)，則以下向量組中，線性無關(guān)的是（A）?1??2，?2??3，?3??1（B）?1??2，?2??3，?1?2?2??3，（C）?1?2?2，2?2?3?3，3?3??1（D）?1??2??3，2?1?3?2?22?3，3?1?5?2?5?36.已知向量組?1，?2，?3線性無關(guān)，向量組?1?a?2，?1?2?2??3，a?1??3線性相關(guān)，則a=____?2??1??1??0??????????0???1??0??0?7.設(shè)?1???,a2???,a3???,a4????0??2??7??0??????a1???a2???a4???a3??其中?1，?2，?3，?4為任意實(shí)數(shù)，則?A??1，?2，?3必線性相關(guān)?B??1，?2，?3必線性無關(guān)?C??1，?2，?3，?4必線性相關(guān)?D??1，?2，?3，?4必線性無關(guān)8.設(shè)有任意兩個n維向量組?1,?,?m和?1,?,?m.若存在兩組不全為零的數(shù)?1,?,?m和k1,?,km,使(?1?k1)?1???(?m?km)?m?(?1?k1)?1??(?m?km)?m?0,則?，?m都線性相關(guān)?A??1,?,?m和?1，?，?m都線性無關(guān)?B??1,?,?m和?1，

?C??1??1,?,?m?D??1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m,線性無關(guān)??m,?1??1,?,?m??m,線性相關(guān)四.向量組的秩1.向量組?1?（1，3，6，2），?2??2，1，2，?1?，?3??1，?1，a，?2?的TTT秩為2，則a?______.TTTT2.向量組?1??1，1，1，1?，?2???1，1，?1，1?，?3???1，1，1，?1?，?4???1，?1，11?的極大線性無關(guān)組是______；TTT3.已知向量組?1??1，1，1，3?，?2??1，3，?5，?1?，?3???2，?6，10，a?，?4??4，1，6，a?10?線性相關(guān)，則向量組?1，?2，?3，?4的極大線性無關(guān)組是______.4.設(shè)向量組?1，?2，?，?s的秩為r，則（）.T?A?必定r?s；?B?向量組中任意小于r個向量的部分組無關(guān)；?C?向量組中任意r個向量線性無關(guān)；?D?向量組中任r?1個向量必線性相關(guān).5.設(shè)A是m?n矩陣，且其列向量組線性無關(guān)，B是n階矩陣，滿足AB?A,則秩r?B?____.?A?等于n?B?小于n?C?等于1?D?不能確定.6.設(shè)A是m?n矩形，B是n?m矩陣，則（）.?A?當(dāng)m?B?當(dāng)m?C?當(dāng)n?D?當(dāng)n?n，必有行列式AB?0.?n，必有行列式AB?0.?m，必有行列式AB?0.?m，必有行列式AB?0.7.設(shè)A為m?n矩陣，秩r?A??m?n，不正確的命題是（）.?A?A的行向量組線性無關(guān).?B?A中有m個線性無關(guān)的列向量.?C?A的列向量組線性相關(guān).?D?A中任m個列向量線性無關(guān).

第四章線形方程組一、知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖??Ax?b??有解判定r?A??rA?解的結(jié)構(gòu)?矩????導(dǎo)出組?陣?初等行變換階梯形?通解?形...?...?...?有非0解r?A??n?基礎(chǔ)解系???式???Ax?0????方???若?1，?2是Ax?b的解，則?1?a2是Ax?0的解?程??解的性質(zhì)?若?1，?2是Ax?0的解，則k1?1?k2?2是Ax?0的解組??若?是Ax?b的解，?是Ax?0的解,則???是Ax?b的解?????????特解，通解?解的結(jié)構(gòu)??自由變量????????解的結(jié)構(gòu)?對非齊次線性方程組Ax?b,若r?A??rA?r,且已知?1，?2，?，?n-r是導(dǎo)出組Ax?0的基礎(chǔ)解系，?0是Ax?b的某個已知解，則Ax?b的通解為?0?c1?1?c2?2???cn?r?n?r，其中c1,c2,?，cn?r為任意常數(shù)。假使?1,?2,?，?t是Ax?0的基礎(chǔ)解系?1??1,?2,?，?t是Ax?0的解；?2??1,?2,?，?t線性無關(guān)?3?Ax?0的任何一個解可由?1,?2,?，?t線性表出；?3'?n?r?A??t點(diǎn)評?1?非其次線性方程組Ax?b可能有解?唯一解或無窮多解?亦可能無解,要用秩r?A??rA作有解判定。?????2?n元齊次方程組Ax?0必有零解，問題是除去零解之外是否還有其它的解?即非零解?？判斷方法是檢查r?A??n?特別狀況可檢查行列式A?0?

?3?要搞明白基礎(chǔ)解系這一概念，其實(shí)它就是解向量的極大線性無關(guān)組，要把握基礎(chǔ)解系的求法?4?要熟悉線性方程組的性質(zhì)，把握解的結(jié)構(gòu)，熟練運(yùn)用初等行變換求通解?特解、導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系?。

二.Ax?0?1?1.設(shè)A?2???1?01237?11432??3，則Ax?0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)為（）.?0???A?1?B?2?C?3?4?4?x1?2x2?3x3?4x4?0??2x1?3x2?4x3?5x4?02.齊次方程組?，3x?4x?5x?6x?0234?1?4x?5x?6x?7x?0234?1的基礎(chǔ)解系是（）.?A???3，0，1，0?，?2，?3，0，1?TTT?B?k1?1，?2，1，0??k2?2，?3，0，1??C??2，?3，0，1?TT31???1，?，0，?22??TT?D???3，4，1，?2?,?3,?5,1,1?T1??3.已知向量?1??1，?1，1，0?，?2??0，1，?，2?，?3???2，0，1，?2?，?4??1，?1，0，0?，2???5??0，?2，1，?2?，則齊次線性方程組?x1?x2?x4?0，??2x3?x4?0的基礎(chǔ)解系是（）.?A??1，?2；?B??2，?5；?C??3，?4；?D??3，?4，?5.4.齊次線性方程組Ax?0僅有零解的充分必要條件是（）.?A?系數(shù)矩陣A的行向量組線性無關(guān)；?B?系數(shù)矩陣A的列向量組線性無關(guān)；?C?系數(shù)矩陣A的行向量組線性相關(guān)；?D?系數(shù)矩陣A的列向量組線性相關(guān).T5.要使?1?（1，0，2），?2??0，1，?1?都是線性方程組Ax?0的解，則系數(shù)矩陣A為（）.T?A???2?211?；?B???001?1???1；C????1??21?2?02???D?4?；??4???01?21?1???2?1??6.齊次線性方程組??x1?x2?x3?0，??x1??x2?x3?0，?x?x?x?023?1只有零解，則?（）.

7.已知?1，?2，?3，是齊次方程組Ax?0的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系還可以是（）.?A?k1?1?k2?2?k3?3；?B??1??2，?2??3，?3??1；?C??1??2，?2??3；?C??1，?1??2??3，?3??2.三.Ax?b?1?1.已知方程組2???123a??x1??1??????a?2x2?3無解，則a?（）.??????2????x3????0???1?D??3或1.1?A?3?B??1?C?3或2.線性方程組Ax?b經(jīng)初等行變