導(dǎo)數(shù)解答題之極值點偏移問題教師版

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題之極值點偏移問題1.（2013湖南文21)已知函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:當(dāng)時,.2.(2010天津理21）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時，(Ⅲ)如果且證明【解析】（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f’(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.3.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的兩個零點為，證明：．試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而得出所求的結(jié)果；（2）首先由函數(shù)的兩個零點為并結(jié)合（1）可得0＜x1＜a＜x2，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－f(2a－x)，并利用其導(dǎo)函數(shù)求出其函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出所證的結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）f?(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)，（x＞0），所以當(dāng)a≤0時，f?(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增． （Ⅱ）若函數(shù)y＝f(x)的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）可得0＜x1＜a＜x2．令g(x)＝f(x)－f(2a－x)，（0＜x＜a）則g?(x)＝f?(x)＋f?(2a－x)＝(x－a)[eq\f(1,x2)－eq\f(1,(2a－x)2)]＜0，所以g(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，g(x)＞g(a)＝0，即f(x)＞f(2a－x)．令x＝x1＜a，則f(x1)＞f(2a－x1)，所以f(x2)＝f(x1)＞f(2a－x1)，由（Ⅰ）可得f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x2＞2a－x1，故x1＋x2＞2a． 4.（2016福州五校下學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)），其圖象與軸交于不同的兩點，，且．求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：5．已知函數(shù)）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)兩個極值點分別為，證明:．解：(Ⅰ)依題，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個不同根.即，方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個不同根……………1分令SKIPIF1<0，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同零點，而SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）………………2分若SKIPIF1<0，可見SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)增，此時SKIPIF1<0不可能有兩個不同零點.………………3分若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)增，在SKIPIF1<0上單調(diào)減，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0………………4分又因為在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，于是只須：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.………………5分綜上所述，SKIPIF1<0………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知SKIPIF1<0分別是方程SKIPIF1<0的兩個根，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)，作差得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.………………7分原不等式等價于………………8分令，則，………………9分設(shè)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，………………10分∴，即不等式成立，………………11分

故所證不等式成立．………………12分6．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；（3）當(dāng)時，若與的圖象有兩個交點，，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）借助函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值是非負(fù)數(shù)建立不等式求解；（2）將參數(shù)用切點的橫坐標(biāo)表示,再借助導(dǎo)數(shù)求最小值；（3）先分析轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù),運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識進(jìn)行推證.試題解析：（1），.在上單調(diào)遞增，，恒成立即，恒成立令，，，時，，.（2）設(shè)切點為，則，又，，，令，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，取得最小值，為，即的最小值為.（3）證明：由題意得①＋②得：③①－②得：，即④④代入③得：，即，不妨令，記，令，則，在上單調(diào)遞增，則，，故，.又，即，令，則時，，在上單調(diào)遞增，又，考點：導(dǎo)數(shù)及在研究函數(shù)的單調(diào)性最值中的應(yīng)用．7.(2017屆武昌區(qū)元月調(diào)考理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)討論的單調(diào)性；設(shè)，證明：當(dāng)時，；設(shè)是的兩個零點，證明：.8．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（1）求的取值范圍；（2）記兩個極值點分別為，且．已知，若不等式恒成立，求的范圍．試題解析：（1）依題，函數(shù)的定義域為，所以方程在有兩個不同根，即，方程在有兩個不同根．轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點．又，即時，時，，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減．從而，又有且只有一個零點是1，且在時，，在時，，所以的草圖如下，可見，要想函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點，只須（2）因為等價于．由（1）可知分別是方程的兩個根，即，所以原式等價于，因為，所以原式等價于又由作差得，，即．所以原式等價于，因為，原式恒成立，即恒成立．令，，則不等式在上恒成立．令，又，當(dāng)時，可見時，，所以在上單調(diào)增，又，在恒成立，符合題意．當(dāng)時，可見時，時，，所以在時單調(diào)增，在時單調(diào)減，又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去．綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以．9．已知函數(shù)，是函數(shù)的兩個零點，且，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證試題分析：（1）討論單調(diào)性，先導(dǎo)數(shù)，然后解得方程在上的解，通過的正負(fù)確定的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知是的極大值點，因此只要，就能保證有兩個零點，注意到，因此可由求得的取值范圍，再求得范圍；（3）首先由，用表示出，再求得并整理得，此時會發(fā)現(xiàn)只要證，此式證明可用換元法，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)證明．試題解析：（1）令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減（2）由于函數(shù)存在兩個零點，由（1）可知，且由于在為增函數(shù)，且，所以的取值范圍是方法二：函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，設(shè)，則，設(shè)，且單調(diào)遞增，時，，，單調(diào)遞減時，，，單調(diào)遞增（3）由于是函數(shù)的兩個零點，且所以，兩式相減得：，要證明，只需證，即只需證設(shè)，構(gòu)造函數(shù)在單調(diào)遞增，，考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．10.（2014襄陽市三月考試）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在的最大值；（2）令，若在區(qū)間（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，，且，又是的導(dǎo)函數(shù)．若正常數(shù)滿足條件，證明：．解：當(dāng)a=2時，

函數(shù)y=f(x)在[，1]是增函數(shù)，在[1，2]是減函數(shù) 3分

所以=－1 4分(2)解：∵，∴ 5分

∵g(x)因為在區(qū)間(0，3)上不是單調(diào)函數(shù)，∴在(0，3)上有實數(shù)解，且無重根

由得：2x2－ax－a=0，有，x∈(0，3) 6分

又當(dāng)a=－8時，有重根x=－2；a=0時，有重根x=0 7分

綜上，a的取值范圍是． 8分(3)解：當(dāng)a=2時，，

∵h(yuǎn)(x)=有兩個實根x1、x2，

∴，兩式相減得：

∴ 9分

于是

10分

∵

要證：，只需證：

只需證：(*)11分

令(0<t<1)，(*)化為

令，則

，即12分

∴13分

∵u(t)在(0，1)上單調(diào)遞增，u(t)<u(1)=0

∴，即

∴14分11．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點，恰為的零點，求的最小值試題分析：（Ⅰ）求解，分三種情況分類討論求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求出和的導(dǎo)數(shù)，運用韋達(dá)定理和函數(shù)的零點的定義，化簡整理，構(gòu)造新函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的的單調(diào)性，即可求解最小值．試題解析：（Ⅰ），．當(dāng)時，由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞增；由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減．當(dāng)時，=，即在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故，即在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．（Ⅱ），則，∴的兩根，即為方程的兩根．∵，∴，，．又∵，為的零點，∴，，兩式相減得，得b=，而，∴y==]==，令（），由得，因為，兩邊同時除以，得，∵，故，解得t≤或t≥2，∴0<t≤．設(shè)G（t）=，∴=，則y=G（t）在上是減函數(shù)，∴G（t）min=G（）=，即的最小值為．考點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用；函數(shù)的零點的應(yīng)用．12.已知函數(shù)．（1）若,恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求在區(qū)間上的最小值；（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.（1）由x>0,恒有成立，即對任意x>0成立，………1分記H（x）=,H/（x）=，………………2分當(dāng)H(x)單增；當(dāng)H(x)單減；H（x）最大值為，所以……………5分（2）函數(shù)有兩個相異的極值點，即有兩個不同的實數(shù)根．①當(dāng)時，單調(diào)遞增，不可能有兩個不同的實根；……………6分②當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；∴，∴，……………8分不妨設(shè)，∵，∴先證，即證，即證，令，即證，設(shè)，…………9分則，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，∴……………12分考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．13.已知函數(shù)（1）記，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程（其中為常數(shù)）在區(qū)間有兩個不相等的實根，記在內(nèi)的零點為，試證明：14.已知函數(shù)，且（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)有兩個零點，且成等差數(shù)列，記是的導(dǎo)函數(shù)，求證：（2017屆武漢二月調(diào)考文科21）已知函數(shù)恰有兩個極值點（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求證：16.已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；（Ⅱ）若有兩個極值點，證明：．解：（Ⅰ）由得，…1分（ⅰ）時，，所以取得極小值，是的一個極小值點．…2分（ⅱ）時，，令，得顯