奧數(shù)新講義-三角函數(shù)-第6講解直形學(xué)

第六講解直角三角形解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定、和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計算直角三角形未知的邊長、角的大小和面積等.銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)上揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它是解直角三角形的基礎(chǔ)，每個邊角關(guān)系式都可以看作方程，因此解直角三角形可以根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角關(guān)系式，通過方程進行求解?；A(chǔ)知識[0°,180°]角三角函數(shù)的定義在角所在平面上作直角坐標(biāo)系，使原點在的頂點，x軸正半軸Ox在的始邊上（從而y軸確定），再在的終邊上任意取一點P，設(shè)P點坐標(biāo)為（x,y），那么它到原點的距離，定義：由此可見，當(dāng)0°＜＜90°時，該定義與三角形內(nèi)的銳角三角函數(shù)定義是一致的；注意，當(dāng)90°≤≤180°時：0°30°45°60°90°120°135°150°180°sincostancot勾股定理在⊿ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，如果∠C＝90°，那么就有；反之，如果，那么⊿ABC為直角三角形，且∠C＝90°.正弦定理在⊿ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，那么余弦定理在⊿ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，那么；；；注意勾股定理可以看作余弦定理的特例.例題部分－解直角三角形例1（★）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD是∠A的平分線，且CD＝，DB＝，求⊿ABC的三邊長.例2（★）如圖，在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，AD是BC邊上的中線；（1）若BD＝，∠B＝30°，求AD的長；（2）若∠ABC＝，∠ADC＝，求證：tan=2tan.例3（★）在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線；（1）若，求∠B；（2）在（1）的條件下，若BD＝4，求⊿ABC的面積.例4（★）在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，BD＝1，求AB；例5（★★）如圖，三角形ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，且∠A＝，AE＝1，求AB的長；例6（★★★，1999年全國聯(lián)賽）在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且∠NMB＝∠MBC，求tan∠ABM.練習(xí)題1．（★）如圖，在⊿ABC中，BC＝10，∠B＝60°，∠C＝45°，則點A到BC邊的距離是（）A．B．C．D．2．（★）如圖，D是⊿ABC的邊AB上的點，且BD＝2AD，已知CD＝10，sin∠BCD＝，那么BC邊上的高AE等于（）A．9B．8C．12D．63．（★）在⊿ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，則⊿ABC的面積是（）A．B．12C．D．4．（★★）如圖在⊿ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝；（1）求DC的長；（2）求sinB的值.5．（★★）已知在四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝7，tanA＝2，∠D＝∠B＝90°，求BC的長。例題部分－正弦定理，余弦定理例7（★）⊿ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求證：例8（★★）在⊿ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且；求sinA:sinB:sinC.例9（★★，85年全國聯(lián)賽）如圖，O為凸五邊形ABCDE內(nèi)一點，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，求證：∠9與∠10相等或者互補；例10（★★）⊿ABC中，sinA:sinB＝，且，求∠ABC的度數(shù)；例11（★★★，82年上海）已知⊿ABC中，AD、BE、CF為高，H為垂心，求證：（1）；（2）例12（★★）在⊿ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，求證：例13（★★）已知凸四邊形邊長分別為a、b、c、d，對角線相交所成的銳角為45°，若S為四邊形的面積，求證：例14（★★★，2000年全國聯(lián)賽）如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對角線EG和FH所夾的銳角為，且∠BEG與∠CFH都是銳角，已知EG＝m，F(xiàn)H＝n，四邊形EFGH的面積為S；（1）求證：；（2）試用m、n、S來表示正方形ABCD的面積.練習(xí)題6．四邊形ABCD為正方形，M和N分別是BC，CD的中點，則sin∠MAN的值為（）A．B．C．D．7．（★）在⊿ABC中，∠A＝30°，∠C－∠B＝60°，若BC＝a，則AB的長是（）A．B．C．D．8．（★）已知⊿ABC中，∠B為60°，∠C為75°，⊿ABC的面積為，若BC＝a，則a等于（）A．1B．C．2D．9．（★★）在⊿ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠C＝90°，CD和BE是⊿ABC的兩條中線，且CD⊥BE，那么a：b：c＝（）A．1：2：3B．3：2：1C．D．10．（★★）如果三角形的三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，并滿足acosA＋bcosB＝ccosC，那么這三角形一定是（）A．等邊三角形B．以a為斜邊的直角三角形C．以b為斜邊的直角三角形D．上述都不對11．（★）在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，CD＝2，BC＝11，則AC＝_______；12．（★★）一個鈍角三角形的三邊長