實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試題滿分:150分一、選擇題(共計(jì)12道小題，每題5分，滿分60分，多選題漏選得2分，選錯(cuò)、多選不得分）1。函數(shù)的遞增區(qū)間為(）A。 B。 C. D。【答案】C【解析】∵定義域是，∵當(dāng)時(shí)，或（舍)，故選C.2.袋中有大小相同的四個(gè)白球和三個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，兩球同色的概率為（)A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)題意可知,所選的兩個(gè)球均為白球或黑球，利用組合計(jì)數(shù)原理與古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，所選的兩個(gè)球均為白球或黑球，由古典概型的概率公式可知,所求事件的概率為。故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算,涉及組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力,屬于中等題.3.擲一枚均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲2020次，那么拋擲第2019次時(shí)出現(xiàn)正面向上的概率是（)A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)直接得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)概率的性質(zhì)知：每次正面向上的概率為。故選：?！军c(diǎn)睛】本題考查了概率的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題。4.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A。減小 B。增大C。先減小后增大 D。先增大后減小【答案】D【解析】【分析】先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性。【詳解】，,，∴先增后減,因此選D。【點(diǎn)睛】5.設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的取值范圍?！驹斀狻繕?gòu)造函數(shù),則,所以,函數(shù)上單調(diào)遞增，由可得,,解得，因此,不等式的解集為。故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解,解答的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題。6.某校高二年級(jí)4個(gè)文科班要舉行一輪單循環(huán)（每個(gè)班均與另外3個(gè)班比賽一場(chǎng)）籃球賽,則所有場(chǎng)次中甲、乙兩班至少有一個(gè)班參加的概率是（）A。 B. C. D。【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)枚舉法得單循環(huán)所有比賽對(duì)陣場(chǎng)次，再?gòu)闹写_定甲、乙兩班至少有一個(gè)班參加的比賽對(duì)陣場(chǎng)次，最后根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】記4個(gè)班分別為甲、乙、丙、丁,則他們的比賽對(duì)陣場(chǎng)次為甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6種，其中甲、乙兩班至少有一個(gè)班參加的有5種,則所求概率，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.某學(xué)習(xí)小組有三名男生、三名女生共計(jì)六名同學(xué)，選出四人進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試，這四人中所含女生人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A. B. C. D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，列出分布列，進(jìn)而可求得的數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，,，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，一般要列出隨機(jī)變量的分布列，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是(）A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的函數(shù)圖像，結(jié)合,求得的取值范圍以及之間的等量關(guān)系，將表示為的函數(shù),求該函數(shù)在區(qū)間上的值域即可?！驹斀狻恳?yàn)?，故其函?shù)圖像如下所示:令，解得；令,解得。數(shù)形結(jié)合可知，若要滿足,且,則,且，解得.故，。令,則，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，則，故。即可得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，以及構(gòu)造函數(shù)的能力，數(shù)形結(jié)合的能力,屬綜合性中檔題.9.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的圖象把圓的面積兩等分②是周期為的函數(shù)③函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減其中所有不正確結(jié)論的編號(hào)是（）A。①③④ B。②③ C.①④ D。①③【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，判斷函數(shù)的奇偶性可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)周期性的定義可判斷命題②的正誤；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可判斷命題③④的正誤，綜合可得出結(jié)論.【詳解】.對(duì)于①，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且過(guò)圓心，而圓也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以函?shù)的周期不是，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)?，所以函?shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在區(qū)間上至多有個(gè)零點(diǎn),即③錯(cuò)誤;對(duì)于④，由③可知，函數(shù)單調(diào)遞減，即④正確。綜上所述,所有不正確結(jié)論的編號(hào)是②③.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)有關(guān)命題真假的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點(diǎn)等命題的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題。10.若的解集最多有個(gè)正整數(shù)根，則的取值范圍為（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由得出，可得出滿足不等式的正整數(shù)根有個(gè),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性與極值,結(jié)合題意得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的最小值為.由于滿足不等式的正整數(shù)根有個(gè),則。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式的整數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù),考查了分離參數(shù)法的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題。11。對(duì)于二項(xiàng)式，以下判斷正確的有()A.存在，展開式中有常數(shù)項(xiàng);B.對(duì)任意，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；C.對(duì)任意，展開式中沒有的一次項(xiàng)；D。存在,展開式中有的一次項(xiàng)?！敬鸢浮緼D【解析】【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案．【詳解】設(shè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令,則時(shí)，展開式中有的一次項(xiàng),故C答案錯(cuò)誤，D答案正確．故答案選AD【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,關(guān)鍵在于合理利用通項(xiàng)公式進(jìn)行綜合分析，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．12.（多選題）如圖所示的電路中，只箱子表示保險(xiǎn)匣分別為、、、、.箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率,下列結(jié)論正確的是（）A。所在線路暢通的概率為B.所在線路暢通概率為C.所在線路暢通的概率為D。當(dāng)開關(guān)合上時(shí),整個(gè)電路暢通的概率為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算出各選項(xiàng)中線路暢通的概率,由此可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，、、、、保險(xiǎn)閘被切斷的概率分別為，，,，，所以、兩個(gè)盒子暢通的概率為，因此A錯(cuò)誤；、兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為，因此C錯(cuò)誤；、、三個(gè)盤子混聯(lián)后暢通的概率為,B正確；根據(jù)上述分析可知,當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為，D正確.故選：BD?！军c(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題。二、填空題（共計(jì)6道小題，每題5分，滿分30分)13.函數(shù)的最大值是______________.【答案】【解析】【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的最大值.【詳解】,當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減;所以.【點(diǎn)睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo),且,則在上為單調(diào)增（減)函數(shù);反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．14.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,如果，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布和正態(tài)分布的曲線關(guān)于對(duì)稱，得到一對(duì)對(duì)稱區(qū)間的概率之間的關(guān)系,即可求得結(jié)果【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是正態(tài)分布,解題的關(guān)鍵是正態(tài)分布和正態(tài)分布的曲線關(guān)于對(duì)稱,屬于基礎(chǔ)題．15。已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切,則a=．【答案】8【解析】試題分析：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為,所以切線方程為；曲線的導(dǎo)函數(shù)的為,因與該曲線相切，可令，當(dāng)時(shí)，曲線為直線，與直線平行，不符合題意；當(dāng)時(shí)，代入曲線方程可求得切點(diǎn)，代入切線方程即可求得。考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用?！痉椒c(diǎn)睛】求曲線在某一點(diǎn)的切線，可先求得曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，也即該點(diǎn)切線的斜率值，再由點(diǎn)斜式得到切線的方程，當(dāng)已知切線方程而求函數(shù)中的參數(shù)時(shí)，可先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)的值等于切線的斜率，這樣便能確定切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入曲線（切線）得到縱坐標(biāo)得到切點(diǎn)坐標(biāo)，并代入切線（曲線)方程便可求得參數(shù)．16。甲、乙兩人玩一個(gè)游戲，在一個(gè)袋子中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，兩人有放回的依次在袋子中摸出一個(gè)球，摸到白球甲獲勝，否則乙勝.兩人玩了次游戲，乙獲勝的次數(shù)為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的方差__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，利用二項(xiàng)分布的方差公式可求得。【詳解】根據(jù)題意可知，所以,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量方差的計(jì)算，解答的關(guān)鍵在于弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。17。已知集合,且集合,則集合、、所有可能的情況有__________種?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑?，可知集合、、均含有元素、、，作出韋恩圖，可知元素、、可以放在除之外的個(gè)區(qū)域中，每個(gè)元素有個(gè)選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果?！驹斀狻咳缦聢D所示,集合、、被分為了個(gè)區(qū)域，由，可知集合、、均含有元素、、，則元素、、可以放在除之外的個(gè)區(qū)域中，每個(gè)元素有個(gè)選擇,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所有可能的情況種數(shù)為。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查排列組合問題,考查分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。18。設(shè)函數(shù)，其中，若僅存在兩個(gè)整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)，,則存在兩個(gè)整數(shù)、,使得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，可得出關(guān)于的不等式組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，,由題意可知，存在兩個(gè)整數(shù)、使得，,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為，，，而直線恒過(guò)定點(diǎn)，如下圖所示：則滿足不等式的兩個(gè)整數(shù)解應(yīng)分別為，，所以，即,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式的整數(shù)解問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題（共計(jì)5道小題，每題12分，滿分60分）19.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0。5，3a,a，0。1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0。2.（1）求ξ，η的分布列；(2）求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．【答案】(1）見解析.（2)甲比乙的射擊技術(shù)好?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由題意利用題中的條件已知甲、乙兩名射手每次射擊中的環(huán)數(shù)大于環(huán),且甲射中環(huán)的概率分別為,可以得到,解出的值，再有隨機(jī)變量的意義得到相應(yīng)的分布列；（2）由于（1）中求得了隨機(jī)變量的分布列,利用期望與方差公式求出期望與方差可得甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好?！驹斀狻?1)由題意得:0.5＋3a＋a＋0。1＝1，解得a＝0。1。因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為0。3，0.3,0。2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－（0.3＋0。3＋0.2)＝0.2。所以ξ，η的分布列分別為:ξ10987P0。50。30。10。1η10987P0。30。30。20.2（2）由（1)得:E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0。1＋7×0。1＝9。2;E(η）＝10×0.3＋9×0。3＋8×0。2＋7×0。2＝8.7；D(ξ）＝(10－9。2)2×0。5＋(9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0。1＋（7－9.2)2×0。1＝0。96；D（η）＝（10－8。7）2×0.3＋(9－8。7)2×0。3＋（8－8.7）2×0.2＋(7－8。7）2×0。2＝1。21。由于E(ξ）＞E（η）,D(ξ）＜D(η),說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好.【點(diǎn)睛】平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意，隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平;方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于取舍的重要的理論依據(jù)，?般先比較均值,若均值相同再用方差來(lái)決定.20。對(duì)名男女大學(xué)生在購(gòu)買食品時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明進(jìn)行了調(diào)查,得到數(shù)據(jù)如下表所示：看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明合計(jì)男大學(xué)生女大學(xué)生合計(jì)研究大學(xué)生性別和是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有沒有關(guān)系需要的檢驗(yàn)指標(biāo)。（1)求出、、、、；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)我們是否有的把握說(shuō)大學(xué)生性別和是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)？.【答案】（1)、、、、;（2）有的把握說(shuō)大學(xué)生性別和是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)。【解析】【分析】（1）根據(jù)男女大學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可求得、、、、的值;（2）計(jì)算的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，，，，；（2）由表格中數(shù)據(jù)可得,因此，我們有的把握說(shuō)大學(xué)生性別和是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表的完善，同時(shí)也考查了利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題。21。已知函數(shù)，函數(shù)圖象上有兩動(dòng)點(diǎn)、.（1）用表示在點(diǎn)處的切線方程；(2)若動(dòng)直線在軸上的截距恒等于，函數(shù)在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求證:點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.【答案】（1）;（2)證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）設(shè)直線的方程為,將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理,將兩切線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論.【詳解】(1）,,所以,函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，因此,函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，.由于拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，則該拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,聯(lián)立，解得，因此,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（定值）?！军c(diǎn)睛】本題考查拋物線切線方程的求解，同時(shí)也考查了拋物線中定值問題的證明，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.22。某同學(xué)的父親決定今年夏天賣西瓜賺錢，根據(jù)去年6月份的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)連續(xù)五天內(nèi)每天所賣西瓜的個(gè)數(shù)與溫度之間的關(guān)系如下表:溫度3233353738西瓜個(gè)數(shù)2022243034（1）求這五天內(nèi)所賣西瓜個(gè)數(shù)的平均值和方差；(2)求變量之間的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)所賣西瓜的個(gè)數(shù)。附：，（精確到)。【答案】（1）26，27。2（2）,15【解析】試題分析：（1）由總數(shù)除以天數(shù)得平均數(shù)，根據(jù)方差公式，代入可得方差，（2）求線性回歸方程實(shí)質(zhì)求，根據(jù)公式求，再根據(jù)求。最后根據(jù)求值,即為溫度為時(shí)所賣西瓜的個(gè)數(shù).試題解析:（1），方差為。（2），，，所以，，所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí),，所以預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)所賣西瓜的個(gè)數(shù)為。點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.