中國(guó)人民大學(xué)出版社(第四版)高等數(shù)學(xué)一第5章課后習(xí)題詳解

高等數(shù)學(xué)一第5章課后習(xí)題詳解

課后習(xí)題全解

習(xí)題5-1

★★1.利用定積分的定義計(jì)算由拋物線y=f+l,直線x=a,x=6(6>a)及橫軸所圍成的圖形的

面積

知識(shí)點(diǎn)：定積分的定義及幾何意義

思路：根據(jù)求定積分的三步驟做

解:將[a,b]分成〃等分,取白(i=1,2…，〃)為第，個(gè)小區(qū)間[a+口S—a),a+2S—a)]的右端

nn

一Ab—a匕,b-a

點(diǎn),則A=Ax’=----,4=a+z----,

nn

顯然，4-00〃一?8,于是根據(jù)定積分的幾何意義,該圖形面積

..v^r/-b-a..,b-a

A=[ydx=lim之y?)〃limy[(?+i——)2-+l]——

"T8篁

i=0nn

..b-ae「2ib—ac-3—。)一.21

=hm----\[a+l+-----2ai+-~

is〃普nn~

b-a/2八b-a.R,(b-a)2-A

=lim----+r1)+---------2a\i+-~~

ennz=ln~/=,

..,、r，,2a(6-a)〃(〃+l)(b-d)21.....

hm{(3/-a)[a~+1H-----------------1---------n(n+1)(2〃+1)]}

…n-2n6

=3—a)limlY+\+a(b_a)(1+1)+也-")-(1+i)(l+2)]

〃f0°n6nn

、r2112(b—a)2[b，—a'

=(/7b-a)[a+l+a-ba+—-——]=——-——+(。-a).

★★2.利用定積分的定義計(jì)算下列積分：

知識(shí)點(diǎn)：定積分的定義

思路：根據(jù)求定積分的三步驟做

a

(1)xdx(a<b).

Ja

解:易見函數(shù)/(x)=xwC[a,b],從而可積，將分成〃等分，則4=八勺=^-

于是；I-00〃一?oo,；取￡?=1,2???，〃)為第，個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)，則

b—a

&=a+i------J=0,1,2,-

n

所以「xdx=limV/(§)A%j=limV(tz+z---)---

J"3Mnn

=(b-a)\im{—[na+-——(0+1+2+???+〃-1)]}

,T8nn

,、[.b-ab-a

=(zb-a)hm[ra+—；----------]=(zb/-a)hm[ar+-------(Z11——)]

"->82〃-82n

=(b-a)(a+=^-(b2-a2).

22

(2)fInxdx

解:用分點(diǎn)％=e"(i=0,l，…，a)劃分區(qū)間[l,e]：

=x.-x._j=en-en,i=1,2,???,/!,取§是區(qū)間右端點(diǎn),

ii?

則芻=x=en,/(《)=ln(^)=lne"=-,

tn

作和，并取極限得：[lnxdx=lim￡/eL=lim￡—(e〃-e〃)

n：i_n:_1U1上

-1(l—e)、「1/1、

=e-hrm/—e〃=e-lrim-------=e-(Zl1—e)hm—(----)

〃T8仁〃〃T8〃八-、28n]-

11(l-e”)1一?！?/p>

x0

記g(x)=^----,則當(dāng)x->0時(shí)，g(x)是°型的，由洛必達(dá)法則，

Y1

有l(wèi)im-----=lim——-=-1

x->o1—，x->o—/

從而，當(dāng)n—>+8時(shí)，有l(wèi)im------=-1,故

n,-

l-en

jInxdx=e+(1-^)=1.

★3.利用定積分的幾何意義，說明下列等式：

(1)[2xdx=1.

Jo

知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義

思路：定積分的幾何意義為被積函數(shù)與邊界所形成曲邊梯形的面積

解:等式左邊為直線y=2x與x軸和1=1三條直線所圍成的面積，該面積等于;12=1=等式右邊.

(2)sinxdx=0

J-”

解：等式左邊為正弦曲線y=sinx與x軸在x=%&x=一萬之間所圍成的面積，其左右兩邊面積互

為相反數(shù).

則sinxdx=(-A)+A=0=等式右邊

j-產(chǎn)

★★4.用定積分的幾何意義求，J(x-a)S-x)dx(b>0)的值.

知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義

思路：定積分的幾何意義為被積函數(shù)與邊界所形成曲邊梯形的面積

解:因?yàn)镴(xa)(bx)-J(2)-(x2廠是以？)b-a

-為圓心，-----為半徑的上半圓,

2

一―12幾，b-a、27t(b-a)2

其面積為：S=一萬廠=—(-----廠=----------

2228

由定積分的幾何意義知：『-a)(b-x)dx=兀"8"，一.

1。+2P+…+

試將和式的極限lim-------------(p>0)表示成定積分.

***5.l，+,

W-MOn

知識(shí)點(diǎn)：定積分的定義

思路：根據(jù)定積分的定義推導(dǎo)過程可知,求和的極限公式可表示為定積分

解:lim"+2,：???+〃°.=Hm匕(與+(知+…+(與］=lim1力昌。

”T8nl“fannnn…00n~{n

ri

設(shè)/(x)=xP,則用定義求解Jo/(x)dx為：

①、等分［0,1］為〃個(gè)小區(qū)間：—i=l,2,…〃，AXy=—

nnn

②、求和：取區(qū)間［---,一］上的右端點(diǎn)為芻，即芻=一，作和：/(f)Ax,.=—x—

nnni=li=lnn

'1〃i］1ni

③、求極限：呵E/?)M=limZ㈠°x-=lim-^(-)P

4To片f0片〃孔〃f°°〃片n

3

p+

nz8n,=|nJo

★★★6.有一河，寬為200米，從一岸到正對(duì)岸每隔20米測(cè)量一次水深，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:

Xm寬020406080100120140160180200

ym深25911191721151163

試用梯形公式求此河橫截面面積的近似值.

知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義

思路：由定積分定義知：求定積分(曲邊梯形面積)的第二步：

用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，即=「’f(x)dx,

若用小梯形面積近似代替小曲邊梯形面積則為：-［/(X.)+/(x)］Ax,.X「'f(x)d。

2Jvi

解:積分區(qū)間［a,b］=［0,200］，并對(duì)該區(qū)間作io等分,則區(qū)間分點(diǎn)看(i=1,2,…，〃)及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

y恰如表中所示，第i段的梯形橫截面面積：-(x,+x)x^^-

2n

:.此河橫截面面積A?-~~—［―(y+%())+必+>2+…+%】=2330m

n20

習(xí)題5-2

★1.證明定積分性質(zhì):

⑴kf\x)dx=k［/(x)dx.(火是常數(shù))

JaJa

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：利用定義推導(dǎo)定積分的性質(zhì)

證明：設(shè)/(x)在［a,0上可積，對(duì)任意的分法與取法，記

2=max{AxJ(i=1,2,…，幾)

=>k

b廣)

⑵1?dx=\dx=h-a

ada

知識(shí)點(diǎn)：定積分的定義

證明：因?yàn)?(x)=l,于是對(duì)任意的分法，有

g刊*1

Ax,=lim(Z?-a)=b-a.

1IO

★2.估計(jì)下列各積分的值:

(1)J；。?+l)dx

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大、最小值，從而確定積分值的取值范圍

解：因?yàn)?及丁+1在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞增，故2?/+1W17,XE［1,4］,

而區(qū)間長(zhǎng)度〃一。=4—1=3,所以2x3=6＜］(x~+l)dx＜17x3=51.

即6K1，+1)公＜51

⑵101cx

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路；確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大、最小值，從而確定積分值的取值范圍

解：記/(x)=e,，先求出/(x)在［0』］上的最值，

由于/''(x)=e/2x=2xe'2>0,xe[0,l],所以/(x)在[0,1]上單調(diào)增加,

因此min/(x)=/(O)=e°=1,max/(x)=/(I)=el=e,B|J1<f(x)<e,

.ve[Oj]A€(O,1]

再由定積分的性質(zhì)，得：1=「14x4「edx=e

JoJoJo

(3)|,xarctanxdx

忑

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大、最小值，從而確定積分值的取值范圍

解：記/（工）=xarctan我,

因?yàn)閒\x)=arctanx+----->0,XG（為瓜所以/（X）在單調(diào)增加

1+x

/(；)二arctan@=不

=>m=min/(x)=

V3V33673

M-min/(x)=/(V3)=V3arctanV3

「2X,

（4）----,dx

1+x2

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大、最小值，從而確定積分值的取值范圍

rI—X2

解：令/（x）=1—7,因?yàn)楫?dāng)1<X<2時(shí)，/Xx）=-~十?<（）,

1+X（1+%-）

221_1

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)減少，因此=R^T=M，/（X）max=

T+F-2

區(qū)間長(zhǎng)度》一。=2-1=1,

所以dx<—.

fa2

⑸xexdx

Jo

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

解：令/(%)=xe\因?yàn)楫?dāng)一2<xv0時(shí)，(九)=(1+x)e\駐點(diǎn)為x=-1,

2

f(—2)=—2e-2j(_i)=_eTJ(0)=0,所以/(x)min=--J(x)max=0,

e

r-24

所以0?xexdx<^r.

Joe2

★★3.設(shè)f(x)及g(x)在［a,b］上,連續(xù),證明：

⑴若在［。,目上，/(x)20,且J/(x)dx=0,則在［凡Z?］上，/(%)=0；

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：用反證法，通過定積分的估值不等式得到矛盾結(jié)論來證明

證明：設(shè)玉)￡(。,力)，但/(玉))。。，不妨設(shè)/(九0)〉0,

；/(%)在x0處連續(xù)，，lim/(x)=/(%())〉0,

由極限的保號(hào)性：*%-b,Xo+b)u(a,b),使當(dāng)xe(X。-b,%+3)時(shí)，有/(x)〉0,

Cb+b-rbfb

從而I,f(x)dx>0［/(x)dx>0,與條件1/(x)dx=0矛盾！

J.v0-6JaJa

/(x)=0，xG(a.b),

同理可證：當(dāng)x=Q或x=b時(shí)，/(a)=0,/(/?)=0

所以f(x)三0,xe［a,b］

⑵若在［q,b］上，/(x)20,且/(x)w0,則Jf(x)dx>0；

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：反證法和(1)的結(jié)論來求證

證明：因?yàn)?(光)N0(XE［。,/?］),所以『/(x)dx20,

而/(x)dx是數(shù)值，它僅有零或非零兩種可能

Ja

rb

若設(shè)/(x)dx=0,則由上面己證，在上必有/(x)=0,這與題設(shè)/(x)力0矛盾，

Ja

rh

從而f(x)dx>0.

Ja

⑶若在[a,可上，/(x)2g(x),且J/(x)dx=Jg(x)dx,則在[a,b]上，f(x)=g(x).

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：由定積分性質(zhì)和(1)結(jié)論求證

證明：設(shè)F(x)=/(x)-g(x),xe[a,〃],則由題設(shè)可知：F(x)>O,x&[a,b]

fbfbfb

又因?yàn)椤窮(x)dx=[f(x)dx-[g(x)dx=O,

JaJaJa

由⑴得，尸(%)=/(%)—g(x)=O,從而

f(x)=g(x1xE[a,h]

★★4.根據(jù)定積分性質(zhì)比較下列每組積分的大小：

(1)[x~dx,[x3dx

JoJo

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：通過比較被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的大小，判定積分值的大小

解：當(dāng)(0,1)時(shí)，X3<X2,即X?-工3>0.=>/(x?->0=>//dx〉/光力不

(2)fexdx,[exdx

JoJo

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：通過比較被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的大小，判定積分值的大小

解：因?yàn)楫?dāng)xe(0,l)時(shí)，x>x1,故因此：>^e'dx

(3)fe'dx,[(x+l)dx

JoJo

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：通過比較被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的大小，判定積分值的大小

解：令f(x)=e*—(1+無),則/'(x)=e*-INO,xe[0,l],

且僅當(dāng)x=0時(shí)，/'(0)=0,所以在[0,1]上，/(x)單調(diào)增加

r

=>/(x)=e-(l+x)>0=/(0)，即/>(l+x)

又因?yàn)樵赱0,1]上，e，#(l+x),即/(x)不會(huì)恒為0.

所以1/(x)dx=￡[ev-(1+x')]dx>0,

即￡exdx>J。(x+V)dx

nit

(4)[2xdx，12sinxdx

JoJo

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：通過比較被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的大小，判定積分值的大小

解：令/(x)=x-sinx,則/'(x)=l-cosxZ0,x￡

冗

且僅當(dāng)x=0時(shí)，7'(0)=0,故在0,-上，/(%)單調(diào)增加

=>fM=x-sinx>0=/(0),即x2sinx,又在歸xwsinx,即/(x)w0,

=>\2xdx>fsinxdx

JoJo

「()

(5)Isinxdx,fsinxdx

~2Jo

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：通過比較被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的大小，判定積分值的大小

71r0

解：當(dāng)天￡---,0,sinx<0,從而]nsinxdx<0；

-2」~2

JIf—

又當(dāng)xw0,一,sinx>0,從而2sinxdx20

2J。

所以J乃sinxdx<j2sinxdx

~2°

r0r0x

(6)]ln(l+x)dx,----dx

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：通過比較被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的大小，判定積分值的大小

Y11Y

解：令尸(x)=ln(l+x)——:—,貝|］尸'(%)=-----------------——:~~7>°，xe(°』)?

1+xl+x(1+x)2(1+x)2

所以尸(x)在(0,1)單調(diào)增加，且尸(0)=0,故/(x)〉0,xe(0,l),

所以(pQOdxAOnJiF(x)(/x<0=>In1(+x)dx<-^—dx

★★★5.利用積分中值定理證明：

..fXXn_

limI—■—dx—0

〃->ooJ。1_|_v

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：利用定積分的中值定理求極限

-11r夕尤"(51

證：由積分中值定理知，存在一點(diǎn),e0,-,使|——dx=3——，

L2」Jo1+x1+42

因?yàn)樗詌imj”=0nlim=0,

2n->co〃->8］+J

,坂//1

所以lim|/2^-^/x=lim^^-=0.

00JO1+x〃T8］+2

★★★6.設(shè)函數(shù)/(x)在［0』］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3］：//(xMx=/(0)

J/3

證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)g,使/G)=o.

知識(shí)點(diǎn)：定積分性質(zhì)

思路：先利用積分中值定理，得到滿足羅爾定理?xiàng)l件，再求證

證：由積分中值定理知，在%,1上存在一點(diǎn)c,使

3j；J(x)d羌3/(c)(l—1)=/(c)=/(0；

故/(x)在區(qū)間［0,c］上滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)自€(0,。)<=(0,1),使

re)=o

習(xí)題5-3

★I.設(shè)y=J。sintdt,求y'(0),

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

思路：先利用積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)數(shù),再把特殊點(diǎn)代入計(jì)算

解：因?yàn)閥'(x)=sinx,所以y'(0)=0,

*2.計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù)：

(1)—「J1+11；

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

解:—J'yli+t^dt=71+(^2)3^^=2xVl+x6.

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

解色。力__￡rP3dt_廠dt_]d(%3)_]d(x?

'71+7dxJoJi+「J。Jl+〃Jl+(/)4dxJl+,)4dx

3/2x

i+x'

cos(乃產(chǎn))力；

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

dpcosxcdpcosxrfsinXc

解：一\COS(乃廣)力=一[\COS(7Tt2)dt-ICOS(4廣)力]

dxJsinxdxJ°」°

=cos(4cos2x)(cosx\-cos(萬sin2x)(sinx\

=-sinxcos(乃一Trsin2x)-cosxcos(^sin2x)=cos(^sin2x)(sinx-cosx).

/、dx”八、

★★3.設(shè)g(x)=j-~求g⑴。

Jll1I3’

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

思路：先利用積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和商的求導(dǎo)公式求出各階導(dǎo)數(shù),再把特殊點(diǎn)代入計(jì)算

2x“/、2(1+X6)-6X52X2-10x6

解：g'a)=kg.=(i+x)—二^77F

“/,、2-10.

所以g"(l)=--------=-2.

(l+l)2

求立

★★4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程￡e'dt+￡costdt=0確定,

dx

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

思路：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)求得

解：方程兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，得

八dycosx

+cosx=0=>—=.......—

dxey

,yx

由題設(shè)，有/°+sinz°=0,即ey=1-sin^,

dy_cosx

所以

dxsinx-1

★★5.設(shè)x=fsinudu，y=[cosudu，求生

J?！疛odx

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

思路：利用積分上限函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)公式求得

~dyy,cost

解:因?yàn)槠?=sinf,y；=cost，所以—二—二——=cotz.

dxx；sint

★★★6.求下列極限：

「COSJ力

(1)lim-----------；

XTOx

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式：羅必達(dá)法則

解:因?yàn)閘imfcosrdt=[cosrdt=0,

10JoJo

2

ICOStdtcosx2

利用洛必達(dá)法則：lim—----------=lim--------=cos0=1.

x->0xx->0|

farctantdt

⑵lim^-----7------

iox-

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式；羅必達(dá)法則

1

farctantdt(J。arctanfdf)'2

arctanxri_i_r

解：lim---------=limlim--------二limJ十4

x->0xx->02xio22

fy/l+rdt

⑶lim^——-——

*f°x2

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式；羅必達(dá)法則

「'J1+一力(「抗77力丫

limVi772￡=1

解：lim蟲——；----=lim

2C2

x->0uys02x

★★★7.設(shè)/(x)在OWfW+oo上連續(xù)

ff(.t)ro

⑴若「產(chǎn)力=/(1+%),求/⑵

JO

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

思路：利用牛頓―萊布尼茨公式求出函數(shù)表達(dá)式,再把特殊點(diǎn)代入求值

解:因?yàn)镴""產(chǎn)力=家((X)=)3(x),

J。303

所以;r(x)=(1+x)n/>)=#3犬(I+x),

故/(2)=$322(1+2)=廊.

★★★8.當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)/(x)=「b孑山有極值？

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性求極值

思路；求出函數(shù)的駐點(diǎn),并判斷函數(shù)在該點(diǎn)左右區(qū)間的單調(diào)性,利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)

解：因?yàn)?'(%)=沅7,令/'(x)=0,,得駐點(diǎn)x=0.

而當(dāng)x<0時(shí)，/'。)<0；當(dāng)犬>0時(shí)，/'(x)>0.

所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)/(x)=「te-'2dt取得極小值也是最小值.

Jo

八：2xdt

★★★9.設(shè)X>0,問X取何值時(shí)I--------------坡大

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性.，積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

思路：求出函數(shù)的駐點(diǎn)，并判斷函數(shù)在該點(diǎn)左右區(qū)間的單調(diào)性

33

3/、c2xdt，/、212A/1+X-Vl+8x

解：設(shè)g(x)=J,——而g(x)=一/1一一==

J，Jl+rVl+8x3VTl+x37(1+8/)(1+X3).

3

由g'(x)=0.解得駐點(diǎn)為小=力

?.?當(dāng)x〉0時(shí)，-^(1+8X3)(1+X3)>0,要使2jl+》3-Vl+8x3>0,

1+x311+x313

只要2+9>，1+89n-------r>—n-------r>—=X<A

l+8x32l+8x34\

1時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x>j|3

.?.當(dāng)0<x<時(shí)，g'(x)<0

4

心時(shí),函數(shù)?2xdt

因此，當(dāng)x,取到最大值.

V4xJl+r

**10.計(jì)算下列各定積分:

f2.1

⑴f,(x-+—)dx-.

X

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

思路：利用牛頓―萊布尼茨公式先求出原函數(shù),再代入積分上下限

1、//

+*)dx=(5-

⑵￡y/x(l+\[x)dx

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

12』f9,211

解：J：4(l+4)dx=J；(x2+x)dx=(-x2+y)=-(27-8)+-(81-16)=45-.

4326

華adx

⑶J。a2+x2,

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

y/3a

儼adX1X

解:—arctan——arctanV3--arctan0=—

22

J。a+xaaoaa3a

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

dx.|l/271,71、71

{2—=arcsinx…=---(---)=—.

解:5663

471-X

n

⑸

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

2

解:J。5%。=jj(sec8-l)d8=(tan3-g)："=]_?

3________

(6)「Vl+cos2xdx；

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

思路：利用牛頓―萊布尼茨公式求出原函數(shù),再代入積分上下限求得

333

解:J；Vl+cos2xdx=J2cos?xdx=|cosx\dx

n34

R2|3萬/4

=J，亞cosxdx-y/2cosxdx=5/2sinx|-V2sinx|2V2-1.

hk/2

■2io

“、—sinxQ<x<7i，/、/-A

★★11.設(shè)/(%)=12?，求。(冗)=/?)力在(-8,+00)內(nèi)的表達(dá)式.

0x<0或x>71Jo

知識(shí)點(diǎn)：牛頓―萊布尼茨公式

思路：0(x)=「/Q)dr隨x而變，并注意到被積函數(shù)/(x)在不同區(qū)間的表達(dá)式不同,所以必要時(shí)對(duì)

J0

［：/?)力進(jìn)行分段積分。

解:當(dāng)xvO時(shí)，0(x)=fOdt=0,

JO

r.r1ix1-cosx.2%

當(dāng)0?xW乃時(shí)，°(x)=J?！猻intdt=--cost=-------=sin"—,

022

11.”八

當(dāng)時(shí)，0(x)=J。^siindf+JOdt=1.

°xx<0

所以="sin2Q<x<7i

JX>7t

★★★12.設(shè)/(x)連續(xù)，若/(x)滿足=/(x)+xe”,求f(x)

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式

思路：換元法求得積分上限函數(shù),再對(duì)積分上限函數(shù)求導(dǎo)

解:令“=xf,則

￡f(xt)dt=￡'/(?)--

JOJ()xX)。

因此/(x)滿足J。=xf(x)+x2e\

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，可得：/(x)=/(%)+礦(x)+2xex+x2ex.

因此fr(x)=-(2+x)ex,說明/(x)是一(24-x)ex的原函數(shù).

?，./(x)=—J(2+=—(x+l)e'+CC為任意常數(shù).

★★★13.設(shè)/(x)=「、(1+f)dt(x>0),求/(x)+/d)

J。tX

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)

思路：用換元法改變積分限，使/(X)和/(工)積分限相同

X

解:由于/(-)=『.1+f)力’曾_J：1"1小/而

XtW

rAln(l+w)r<Inw,

=-------dfu+---du,

uu

x

cInu.1八、21八、2

而|----du=—(Inw)——(Inx)

u2j2

?￡,、1尸1《1+￡)」r<ln(l+w),1△Li、2

因m此：f(x)+f(—x)—I------dt—I-------duH—(ZI1n——(Inx).

xtu22

★★★14.設(shè)/(x)在上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且尸(x)W0

IfX/\

F(x)=——J(f(t)dt,證明:在(。力)內(nèi)有尸'(x)<0

知識(shí)點(diǎn)：積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，積分中值定理,拉格朗日中值定理

證明：F'M

(x—a)2

(a<^<x)

(x—a)2

/(x)-/(&),(〃)(x-q)

C"<x)

(x-a)(x-a)

?：a<^<x,r(x)<0=>/(7)<0,.*.F(x)<0

習(xí)題5-4

**1.用定積分換元法計(jì)算下列各積分

(兀71

(1)乃sin(x+—)dx

33

JI

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：dx=d(x+-))

解:

f?dx

⑵J-2-(l-l-+-5-x-)r

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：dx=[d(ll+5x))

解［'dx=-('a1_

(11+J(ll+5x)=-—(11+5x)9

.L(11+5x)35J.2

=-—(16-2-1)=—.

10512

⑶|sincos3(pd(p

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：s\n(pd(p=-dco^(p)

乃I而2

解:Jsin^cos3(pd(p=-￡2cos3(pdcos(p=--cos4(p

04

n

(4)jjcos2udu

~6

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：先用三角公式降低被積函數(shù)的累次，再逐項(xiàng)積分。

解：fjcos2udu=[J——Udu=—[(w+—sin2w)]

J“J-990

6乙乙乙R6

」(生+0」馬=2—回

232268

1,

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法（湊微分：xdx=-dx'}

2

思路：先將被積函數(shù)（假分式）化成真分式，再逐項(xiàng)積分。

解：「二八八

Jox2+lJ。x2+lJ。2Jox2+l

255

-^ln(x2+1)

---In26.

2o2o22

?52x~+3x—5」

(6)i-----------dx

0x+3

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：先將被積函數(shù)（假分式）化成真分式，再逐項(xiàng)積分

廣52r+3x—5dx=J：[2x(x4-3)3尤+94,f5/0r4、，

解」---------------1------------]dx=(2X-3H----)dx

x+3x+3x+3x+3%x+3

[x2-3x+41n(x+3)]|^=10+41n|=10+121n2-41n3.

?】xdx

⑺

(x2+l)2

1、

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法（湊微分：xdx=-d（/+l））

2

pixdx_1r1d(x2+1)_1

J->(x2+l)2-2J-1(x2+l)2——2(X2+1)

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：-yJx=-</(-))

XX

⑼力

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：tdt=)

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

解:方法一：令x=#>asint,則dx=下>acostdt,不妨設(shè)a>0,

就

xdx?arcsin^l3a?sjnfCOS

3asintdt

出力—/V3(7>/l-sin21

I-jarcsinJ2/3i—

一J34cost\=(<3

10

方法二:湊微分：xdx——d(3a~~x~)

2

1j(3a2-%2)

xdx--x2yl3a2-x2(V3-l)?

220

43a-x27^720

dx

(ID[.

xVl+LInx

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：-Jx=J(l+lnx))

x

2

dx

解:；=2(V3-1).

jxVl+LInx1Jl+lnx

21Tsinxcos2xdx

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(湊微分：sinxdx=-t/(cosx))

思路：用三角公式化被積函數(shù)為可求積分的函數(shù)

Rsinxcos2xdx=sinx(2cos12x-\)dx=一1(2cos2x-l)dcosx

2m

-(cosx——cos3x)=0.

3一%/2

產(chǎn)I-----------

(13)Vcosx-cos3xdx

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：用三角公式化被積函數(shù)為可求積分的函數(shù)

RVeoSA：-cos3xdx=2f^Vcosxsin2xdx=2Vcosxsinxdx

2-4

=-2—(cosx)2=—,

3()3

(14)(yllx-x2dx

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(變量代換去根號(hào))

x-l=sinz

解：jyj2x-x2dx=￡d(x-1)J°/cost\dsin/=J：costdt

1o11

=-Jf“(1+coOf)力=—(r+—sin2z)

2222

(15)/S-x^dx

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法(變量代換去根號(hào))

解產(chǎn)亞-x2dx=V2f，Vl-sin2td(V2sinz)=2f2cos2tdt=[2(1+cos2t)dt

//21.

+—sin2t

lo2

dx

(16)

Jx2Vl+x2

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

方法一：用三角代換去根號(hào)

?Gdxx=1n"檸sec2udiisinu

1x2Vl+x2^7tan2sect/sin2?J艮巫.

Mn〃./43

方法二：倒代換

產(chǎn)dxfyudu

]X271+X2=rVl+M2

[-I2-%

(17)(1+x-)dx

JO

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：用三角代換去根號(hào)

-I-%x=tan/2工2一%2產(chǎn)卬4V2

解：￡(l+x2)dx=￡4(1+tan2z)sec2tdt=￡4cosrrfz=sinr|^=——.

?xdx

(18)Lj5-4x

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：用變量代換去根號(hào)

11

g(?!xdx(.15—

MU.1r3_2.,1z_---

解：-1-=-———du=—J1(5-M-WM=—(5M36

JTy/5-4xJ34M288

,idx

4yjl—X—1

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：用變量代換去根號(hào)

ridxo-2uduc(4w-l+ld”

Mf2

解：3I----------=1-----=2---------

7Jl-x-l2M-1M-l

IJ

=2jj(1+-——-)du=2(〃=l-21n2.

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

思路：用變量代換去根號(hào)

rOr+14x+4=t-2—4+1「2r1.24

解：L耳h*=11—；—2f力=2((廠-39=2(丁-3，)]=-§

知識(shí)點(diǎn)：定積分換元法

方法一：湊微分：e-xdx^-d(e-')

=ln(l+V2)-ln(l+Vl+e2)+1.

方法二:作代換：e'1,則x=—In=-1力

t

知識(shí)點(diǎn)：分部積分法

思路：利用分部積分去多項(xiàng)式函數(shù)

解：￡xe~xdx=-￡xde~x=-(xe~x)[+￡e~xdx

=-el~^~x\=1——.

Io

⑵]x\nxdx

知識(shí)點(diǎn)：分部積分法

思路：利用分部積分去對(duì)數(shù)函數(shù)(Inx)

解：jxlnxdx=gjlnxd(x2)=；[x2-jxdx]

=：[/一9]]=：(/+1).

22114

(3)f'xarctanxtZx

Jo

知識(shí)點(diǎn)：分部積分法

思路：利用分部積分去反三角函數(shù)

2

解：arctanxdx=gJ；arctanxd(/)=；[(xarctanx)[-J；]二?dx]

17Tr>l+x2-1.,711]171

—rI————dx]=----[rx-arctanx]

24J。1+VJ82o-72

rlarclanxnJf^/4)

(或者先變量代換再分部積分：arctanxdx=J()rtanrrftanr=-，d(tanf)~)

12卬4「力4711ixi711卬4兀1

=—[rftarrf-tan*"2tdt]=-----(sec^2t-l)dt=-----tanrl=-----)

2I。Jo82Jo42l()42

(4)￡sin(lnx)dx

知識(shí)點(diǎn)：分部積分法

思路：通過反復(fù)使用分部積分，建立等式求解

解：/sin(lnx)dx=[xsin(ln%)][-(cos