信號頻域與時域分析

通信系統(tǒng)基本問題服務(wù)質(zhì)量信噪比/誤碼率性能抗干擾能力抵御/補(bǔ)償線性/非線性失真能力糾錯能力傳輸帶寬帶寬資源帶寬利用率色散與非線性效應(yīng)的抑制能力傳輸距離傳輸損耗高發(fā)射功率高接收靈敏度性價比系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度系統(tǒng)單位比特成本通信原理主要研究對象第一頁，共57頁。關(guān)于通信系統(tǒng)的研究通信系統(tǒng)要求足夠的帶寬足夠的功率帶寬與功率資源的充分利用理論研究方法研究信息的表達(dá)與度量研究通信信號的時域和頻域特征研究信號與噪聲的功率（能量）研究隨機(jī)信號的時域和頻域特征研究信道的特征第二頁，共57頁。大

綱基本概念信號頻域特性信號時域特性第三頁，共57頁?；靖拍?/2確知信號與隨機(jī)信號確知信號：定義：能以確定的時間函數(shù)表示的信號，在定義域內(nèi)任意時刻都有確定的函數(shù)值示例：電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號隨機(jī)信號：定義：不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，不能預(yù)測其未來任何時刻的準(zhǔn)確值；具有統(tǒng)計規(guī)律性，可用概率統(tǒng)計方法來描述示例：半導(dǎo)體載流子隨機(jī)運(yùn)動所產(chǎn)生的噪聲，雷達(dá)信號，所有的實(shí)際信號周期信號與非周期信號周期信號：非周期信號第四頁，共57頁?；靖拍?/2信號功率與能量信號功率：電流在單位電阻（1）上消耗的功率，即信號能量：信號平均功率：能量信號定義：能量為有限值的信號推論：能量信號的平均功率為零示例：數(shù)字信號中的單個碼元為能量信號功率信號定義：平均功率為有限值的信號推論：功率信號的能量為無窮大示例：廣播信號近似認(rèn)為持續(xù)無限長時間，為功率信號適用于確知信號/隨機(jī)信號第五頁，共57頁。大

綱基本概念信號頻域特性信號時域特性第六頁，共57頁。能量信號頻譜密度與能量譜密度1/3能量信號頻譜密度能量信號及其頻譜：能量信號頻譜特點(diǎn)S(f)為連續(xù)譜：能量信號能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)分布于頻率軸實(shí)能量信號頻譜對稱性：正負(fù)頻譜振幅偶對稱、相位奇對稱傅里葉變換對第七頁，共57頁。能量信號頻譜密度與能量譜密度2/3能量信號頻譜密度示例單位沖激函數(shù)頻譜密度單位階躍函數(shù)的頻譜密度？第八頁，共57頁。能量信號頻譜密度與能量譜密度3/3能量信號能量譜密度能量譜定義：實(shí)能量信號能量譜密度：第九頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度1/4周期性功率信號頻譜信號頻譜信號頻譜特點(diǎn)頻譜函數(shù)Cn為離散值雙邊譜，雙邊譜中負(fù)頻譜僅有數(shù)學(xué)意義，物理上不存在負(fù)頻率實(shí)信號（物理可實(shí)現(xiàn)）：正負(fù)頻譜振幅偶對稱，相位奇對稱周期性函數(shù)傅里葉級數(shù)展開第十頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度2/4周期性功率信號頻譜示例周期性方波信號非周期性功率信號：作為思考題？-T0T0實(shí)偶信號的頻譜為實(shí)函數(shù)第十一頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度3/4功率信號功率譜密度功率譜密度定義：功率信號能量無窮大，能量譜密度不存在。功率信號功率譜密度存在，需采用功率信號的截短信號計算。第十二頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度4/4功率信號功率譜密度（續(xù)）周期性功率信號功率：周期性功率信號功率譜密度：離散譜表式連續(xù)譜表式第十三頁，共57頁。大

綱基本概念信號頻域特性信號時域特性第十四頁，共57頁。自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)定義：數(shù)學(xué)含義：s(t)及其時延后的相關(guān)程度對稱性：互相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)定義：數(shù)學(xué)含義：s1(t)和s2(t)時延后的相關(guān)程度對稱性：第十五頁，共57頁。能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)1/2能量信號自相關(guān)函數(shù)定義：信號能量：自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度的關(guān)系：第十六頁，共57頁。能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)2/2能量信號互相關(guān)函數(shù)定義：互相關(guān)函數(shù)與互能量譜密度的關(guān)系：互能量譜密度：第十七頁，共57頁。功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)1/2功率信號自相關(guān)函數(shù)定義：信號平均功率：周期性功率信號自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系：第十八頁，共57頁。功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)2/2功率信號互相關(guān)函數(shù)定義：周期性功率信號互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度的關(guān)系：互功率譜密度：第十九頁，共57頁。例題求單位沖激序列

的傅里葉變換解：若s(t)是周期為T的周期函數(shù)，則其可以作傅里葉變換：為周期函數(shù)，因此：單位沖激序列的傅里葉變換為：第二十頁，共57頁。小結(jié)信號類型：確知信號與隨機(jī)信號能量信號與功率信號能量信號：采用傅里葉變換分析方法。能量信號：采用截短函數(shù)傅里葉變換分析方法。信號頻域特性能量信號頻譜密度與能量譜密度功率信號頻譜與功率譜密度能量信號頻譜密度與周期性功率信號頻譜的比較能量信號連續(xù)譜：能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)分布功率信號離散譜：功率有限，能量無限，頻譜離散分布信號時域特性能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)第二十一頁，共57頁。第一章概論與基礎(chǔ)知識

隨機(jī)過程基礎(chǔ)（1）何永琪北京大學(xué)電子學(xué)系Tel：62756700；Mobile：Email：通信原理第二十二頁，共57頁。通信系統(tǒng)基本問題服務(wù)質(zhì)量信噪比/誤碼率性能抗干擾能力抵御/補(bǔ)償線性/非線性失真能力糾錯能力傳輸帶寬帶寬資源帶寬利用率色散與非線性效應(yīng)的抑制能力傳輸距離傳輸損耗高發(fā)射功率高接收靈敏度性價比系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度系統(tǒng)單位比特成本第二十三頁，共57頁。大

綱問題的提出隨機(jī)過程基本概念高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲第二十四頁，共57頁。問題提出：如何處理噪聲1/342.8Gbit/s1200km光纖傳輸系統(tǒng)測試眼圖（NRZ碼型，電吸收調(diào)制）噪聲？信噪比？誤碼率？第二十五頁，共57頁。問題提出：如何處理噪聲2/3帶噪聲的信號波形示例1第二十六頁，共57頁。問題提出：如何處理噪聲3/3帶噪聲的信號波形示例2有無規(guī)律可尋?第二十七頁，共57頁。通信系統(tǒng)中的隨機(jī)信號通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柣臼请S機(jī)信號系統(tǒng)的噪聲（熱噪聲、干擾噪聲、輻射噪聲、等等）均為隨機(jī)的隨機(jī)信號的分析方法對確定信號行之有效的分析方法（如：信號與系統(tǒng)的分析方法）不一定能夠直接應(yīng)用于隨機(jī)信號分析研究隨機(jī)信號統(tǒng)計特性所采用的主要數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)過程第二十八頁，共57頁。大

綱問題的提出隨機(jī)過程基本概念高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲第二十九頁，共57頁。基本概念1/3隨機(jī)變量定義：將觀察結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取值是隨機(jī)的，該變量稱為隨機(jī)變量分類：離散隨機(jī)變量，連續(xù)隨機(jī)變量描述方法：隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述樣本函數(shù)定義：樣本函數(shù)即為觀察結(jié)果的每次記錄（即一個確定的時間函數(shù)xi(t)）含義：樣本函數(shù)具有確定性隨機(jī)變量的每次觀察結(jié)果出現(xiàn)哪個樣本函數(shù)是不可預(yù)知的第三十頁，共57頁。基本概念2/3隨機(jī)過程定義：通俗定義：隨機(jī)過程為全體樣本函數(shù)的集合xi(t),i=1,2,…,n數(shù)學(xué)定義：對給定概率空間(Ω,F,P)和一個參數(shù)集TR，若對每一個tT，均有定義在(Ω,F,P)上的一個隨機(jī)變量X(,t)（Ω）與之對應(yīng)，稱依賴于參數(shù)t的隨機(jī)變量族X(,t)為隨機(jī)過程。Ω：全體可能組成的集合F：全體可觀測事件組成的事件族P：F上定義的一個取值于[0，1]區(qū)間的函數(shù)含義通信理論中的隨機(jī)過程通常是時間t的函數(shù)，記為(t)，

即(t)=xi(t),i=1,2,…,n在任意給定的時刻t1∈T，隨機(jī)過程ξ(t)的取值ξ(t1)是一個一維隨機(jī)變量隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述第三十一頁，共57頁?；靖拍?/3隨機(jī)過程（續(xù)）示例：x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Snx(t)tk第三十二頁，共57頁。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性1/3隨機(jī)過程一維分布函數(shù)定義：局限性：隨機(jī)過程的一維函數(shù)僅能

描述隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)

計特性，而不能描述隨機(jī)過程在不

同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系第三十三頁，共57頁。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性2/3隨機(jī)過程n維分布函數(shù)定義：關(guān)于分布函數(shù)的維數(shù)：維數(shù)n越大，隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述越充分維數(shù)n越大，數(shù)學(xué)描述與分析方法越復(fù)雜實(shí)際應(yīng)用中需在維數(shù)和分析復(fù)雜性之間找平衡第三十四頁，共57頁。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性3/3隨機(jī)過程與隨機(jī)變量的對比隨機(jī)變量隨機(jī)過程概率分布函數(shù)概率密度函數(shù)第三十五頁，共57頁。數(shù)字特征1/3均值（數(shù)學(xué)期望）方差相關(guān)函數(shù)兩時刻所得隨機(jī)變量的統(tǒng)計相關(guān)性

第三十六頁，共57頁。數(shù)字特征2/3協(xié)方差協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差第三十七頁，共57頁。數(shù)字特征3/3隨機(jī)過程（噪聲、信號）相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)期望方差統(tǒng)計、觀測、計算目標(biāo)：獲得某時刻的平均值、某時刻偏離平均值的程度、兩時刻間的相關(guān)程度第三十八頁，共57頁。隨機(jī)過程的平穩(wěn)性1/3平穩(wěn)隨機(jī)過程應(yīng)用廣泛，對通信研究意義重大第三十九頁，共57頁。隨機(jī)過程的平穩(wěn)性2/3狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程定義：即為任何n維概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)含義：平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計特性與時間推移無關(guān)，從而隨機(jī)過程分析大大地簡化特例：一維情況：一維分布函數(shù)與時間無關(guān)二維情況：二維分布函數(shù)只與時間間隔=t2-t1有關(guān)第四十頁，共57頁。隨機(jī)過程的平穩(wěn)性3/3廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（弱平穩(wěn)、寬平穩(wěn)過程）平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值與時間無關(guān)，即為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，即定義：滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程即為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程理解：狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程必是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，反之不一定成立適用性：通信系統(tǒng)中的信號與噪聲通?？梢暈槠椒€(wěn)隨機(jī)過程第四十一頁，共57頁。隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1/4問題的提出隨機(jī)過程的分析是基于其所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但大量樣本的公測實(shí)際上很難實(shí)現(xiàn)能否從一次觀測所得樣本函數(shù)確定隨機(jī)過程數(shù)字特征第四十二頁，共57頁。隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性2/4概念：各態(tài)歷經(jīng)性過程的數(shù)字特征完全可由任一實(shí)現(xiàn)的時間平均值確定條件：假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的任意一個實(shí)現(xiàn)（樣本）,其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別為若平穩(wěn)隨機(jī)過程使下式成立，則其具有各態(tài)歷經(jīng)性第四十三頁，共57頁。隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3/4物理意義：從隨機(jī)過程得到任一實(shí)現(xiàn)，均經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)只須作一次考察就可求時間平均，無需作無限多次考察來求統(tǒng)計平均具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的適用性：確定隨機(jī)過程是否各態(tài)歷經(jīng)通常很困難。實(shí)際上，可以通過直覺來判斷時間平均和集總平均可不可以互換在分析沒有暫態(tài)效應(yīng)的大多數(shù)通信信號時，可以假設(shè)隨機(jī)波形的均值和自相關(guān)函數(shù)為各態(tài)歷經(jīng)通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件第四十四頁，共57頁。隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性示例4/4隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用：隨機(jī)信號的平均功率問題得以解決第四十五頁，共57頁。數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)R（t，t+）隨機(jī)過程ξ(t)（噪聲、信號）數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)與時間起點(diǎn)無關(guān)E[ξ(t)]=aD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各態(tài)歷經(jīng)用時間平均代替集平均通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件*第四十六頁，共57頁。相關(guān)函數(shù)性質(zhì)1/4這里利用了當(dāng)T→∞時，ξ(t)與ξ(t+T)沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨(dú)立，且認(rèn)為ξ(t)中不含周期分量時域性質(zhì)第四十七頁，共57頁。相關(guān)函數(shù)性質(zhì)2/4時域性質(zhì)（續(xù)）思考：相關(guān)是一個廣泛的概念，不僅可以用于隨機(jī)信號，也可以用于確知信號，對于確知信號，可以認(rèn)為是某一樣本以概率為1出現(xiàn)的“特殊”的隨機(jī)過程，此時，樣本統(tǒng)計已經(jīng)沒有意義，同時，該隨機(jī)過程也非平穩(wěn)隨機(jī)過程。因此，對于確知信號，相關(guān)函數(shù)是指時間上的統(tǒng)計平均第四十八頁，共57頁。相關(guān)函數(shù)性質(zhì)3/4時域分析：隨機(jī)信號的平均值、偏離平均值的程度（方差）歸一化的直流交流功率，統(tǒng)計相關(guān)程度，都已經(jīng)清晰的描述頻域分析：對通信系統(tǒng)理論分析至關(guān)重要還差什么？頻率特性！*第四十九頁，共57頁。相關(guān)函數(shù)性質(zhì)4/4頻域性質(zhì)：維納-欣欽（Wiener-khintchine）定理

若隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的，可用自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得到其功率譜密度

對于非平穩(wěn)過程，用時間平均的代替R(),該定理同樣成立

第五十頁，共57頁。數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)R（t，t+）隨機(jī)過程ξ(t)（噪聲、信號）數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)與時間起點(diǎn)無關(guān)E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各態(tài)歷經(jīng)用時