培優(yōu)訓(xùn)練題(5篇)

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培優(yōu)訓(xùn)練題篇四

做最適合你的數(shù)學(xué)培訓(xùn)

八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)專題訓(xùn)練

（二）摸索三角形全等的條件

1、一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張紙片擺成如下圖形式，使點b、f、c、d

mn⑴求證：ab⊥ed；

⑵若pb＝bc，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明

2、如圖，在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，ad平分∠bac，be⊥ad交ac的延長線于f，e為垂足，則結(jié)論：①ad＝bf；②cf＝cd；③ac＋cd＝ab；④be＝cf；⑤bf＝2be.其中正確的是（）

3、如圖，點c在線段ab上，da⊥ab，eb⊥ab，fc⊥ab，且da＝bc，eb＝ac，fc＝ab，∠afb＝51°，求∠fcdbedcae

acbf________________________________________________________________________________________________________________

周老師·數(shù)學(xué)培優(yōu)

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4、如圖，四邊形abcd中，ab∥cd，ad∥bc，o為對角線ac的中點，過點o作一條直線分別與ab、cd交于點m、n，點e、f在直線m、n上，且oe＝of.⑴圖中共有幾對全等三角形，請把它們都寫下來；⑵求證：∠mae＝∠ncf

aebmoncdf5、在△abc中，高所在直線ad和be交于h點，且bh＝ac，則∠abc＝_____________.6、以下三個判斷：

⑴有兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；⑵有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；⑶一邊及其它兩邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等.上述判斷是否正確？若正確，說明理由；若不正確，請舉出反例.________________________________________________________________________________________________________________

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（三）全等三角形的應(yīng)用

全等三角形常用來轉(zhuǎn)移線段和角，用它來證明：

①線段和角的等量關(guān)系②線段和角的和差倍分關(guān)系

③直線與直線的平行或垂直等位置關(guān)系

1、如圖，已知bd、ce分別是△abc的邊ac和ab上的高，點p在bd的延長線上，bp＝ac，點q在ce上，cq＝ab.試判斷ap與aq的關(guān)系，并證明.2、如圖，ad是△abc的高，e為ac上一點，be交ad于點f，且bf＝ac，fd＝cd，求證：be⊥ac

faadqpebce3、（2023〃阜新中考）如圖,在△abc中,ab＝ac,ad＝ae,∠bac＝∠dac＝90°.⑴當點d在ac上時,如圖①,線段bd,ce有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?證明你猜想的結(jié)論.⑵將圖①中的△ade繞點a順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜90°)，如圖②，線段bd、ce有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？dc①aedbc②________________________________________________________________________________________________________________

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4、在△abc中，ab＝ac，點d是直線bc上一點（不與b、c重合），以ad為一邊在ad的右側(cè)作△ade，使ad＝ae，∠dae＝∠bac，連接ce.⑴如圖①，當點d在線段bc上時，若∠bac＝90°，則∠bce＝_______度.⑵設(shè)∠bac＝α，∠bce＝β

a、如圖②，當點d在線段bc上移動時，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.b、當點d在直線bc上移動時，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？c①aec②________________________________________________________________________________________________________________

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（四）輔助線作法之連接法

在幾何證明中，常通過添加輔助線來構(gòu)造全等三角形.常見的添加輔助線方法有：連接法、截長補短法、倍長中線法、翻折法、旋轉(zhuǎn)法以及利用特別條件構(gòu)造全等三角形等等.1、如圖，△abc的兩條高bd，ce相交于點p，且pd＝pe.證明∶ac＝ab

2、已知ab＝de，bc＝ef，∠b＝∠e，af＝cd求證：ac∥df

3、如圖，ab交cd于點o，ad、cb的延長線相交于點e，且oa＝oc，ea＝ec.∠a＝∠c嗎？點o在∠aec的平分線上嗎？

ebcdoabcdafeaebdpc________________________________________________________________________________________________________________

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（五）輔助線作法之倍長中線法

在題目條件中含有中線的問題，我們常用的輔助線就是將中線延長一倍，其目的是為了得一對全等三角形，將分散的條件集中到一個三角形中去.1、△abc中，ab＝5，ac＝3，求中線ad的取值范圍.2、如圖，在△abc中，ad是∠bac的平分線，又是bc上的中線

求證：ab＝ac

3、（2023〃襄陽初三模擬）在△abc中，d是邊bc上的一點，且cd＝ab，∠bad＝∠bda，ae是△abd的中線.求證∶ac＝2ae

bedcabdcaabdc________________________________________________________________________________________________________________

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afe4、（競賽014）△abc中，d為bc的中點，de⊥df交ab，ac于點e，f.求證：be＋cf＞ef

6、（競賽015）例：已知ad是△abc的中線，be交ac于點e，交ad于點f，且ae＝ef.求證:ac＝bf

bdcaefdbc________________________________________________________________________________________________________________

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（六）輔助線作法之截長補短法

截長法：在第三條線段上截下一段使其等于兩條線段中的一條，再證明剩余部分與另一條相等.補短法：把兩條線段中的一條補到另一條線段上去，證明所得新線段與第三條線段相等.1、已知ac∥bd，ea，eb分別平分∠cab和∠dba，點e在cd上.求證：ab＝ac＋bd

2、在四邊形abcd中，ac平分∠bad，ce⊥ab于點e，且ae＝?（ab＋ad）.求證∶∠b＋∠d＝180°

3、如圖，已知△abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為ac的中點，ae⊥bd于e，延長ae交bc于f.求證：∠adb＝∠cdf

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bfcaecdabadebced周老師·數(shù)學(xué)培優(yōu)

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4、如圖，∠c＝90°，ac＝bc，ad是∠bac的角平分線.求證∶ac＋cd＝ab

12、如圖，已知ab＝cd＝ae＝bc＋de＝2，∠abc＝∠aed＝90°，dae________________________________________________________________________________________________________________

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（七）輔助線作法之利用特別條件構(gòu)造全等三角形

2、（2023〃“華羅庚杯〞）如圖，在△abc中，ac＝?ab，ad平分∠bac，且ad＝bd求證：cd⊥ac

acbd________________________________________________________________________________________________________________

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（八）全等三角形在動態(tài)幾何中的運用

1、(競賽〃014〃3)如圖，△abc的邊bc在直線l上，ac⊥bc，且ac＝bc.△efp的邊f(xié)p也在直線l上，邊ef與邊ac重合，且ef＝fp.⑴在圖①中,請你通過觀測、測量、猜想并寫出ab與ap所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;⑵將△efp沿直線l向左平移到圖②的位置時,ep交ac于點q,連接ap,bq.猜想并寫出bq與ap所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的猜想;⑶將△efp沿直線l向左平移到圖③的位置時,ep的延長線交ac的延長線于點q,連接ap,bq.你認為⑵中所猜想的bq與ap的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.a(e)eaeaqllbc(f)pfpbclbfcpq________________________________________________________________________________________________________________

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（九）探究角平分線

一、知識清單

角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結(jié)這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線（也叫三角形的內(nèi)角平分線）.由定義可知，三角形的角平分線是一條線段.角平分線性質(zhì):

1、角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等.2、角平分線分得的兩個角相等，都等于該角的一半.3、三角形的三條角平分線交于一點，且到各邊的距離相等，這個點稱為內(nèi)心.二、方法點撥

證明角平分線有兩種方法:一是運用定義證明兩個角相等;二是運用角平分線的判定方法.三、規(guī)律清單

①遇到角平分線,可從角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線段(圖1).②遇到角平分線,常可利用翻折法或截長補短法解題(圖2).③有兩條角平分線(內(nèi)角或外角)交于一點,則連接該點與三角形第三個頂點的線段會平分一個內(nèi)角或外角(圖3).④有垂直于角平分線的線段,則延長這條線段以利用三線合一解題(圖4).⑤遇到角內(nèi)的一點到角的兩邊有垂線段時,就連接這點與角的頂點,看能否平分已知角(圖5).⑥遇到有多條角平分線時,可嘗試用整體的思想解題(圖6).⑦有翻折條件時,除注意全等的結(jié)論,還應(yīng)關(guān)注折線就是角平分線、是對稱軸（如圖7）.⑧角平分線、平行線、等腰三角形三個條件中出現(xiàn)任意兩個,?？芍苯拥玫搅硪粋€(如圖8）.aaacbdafaegdbdbc圖2b圖1cd圖3dcbc________________________________________________________________________________________________________________

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cfebdc圖4bfe

decf圖5

adba1d2b3a1apfc'd'dad2cb圖6ef1＋2＋3＝90°1＋2＝90°－?bcbec圖7b圖8cd

四、真題訓(xùn)練

1、(2023〃鄂州〃競賽〃018〃重慶中考）如圖，△abc的外角∠acd的平分線cp與內(nèi)角∠abc的平分線bp相交于點p，若∠bpc＝40°，則∠cap＝2、(競賽〃019)如圖，∠b＝∠c＝90°，m是bc的中點，dm平分∠adc.求證:am平分∠dab

dcmab________________________________________________________________________________________________________________

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3、(競賽〃019)如圖,在△abc中,∠bac＝90°,ab＝ac,be平分∠abc,ce⊥1求證:ce＝bd2

bca

4、如圖，在△abc中，ad平分∠bac，bd＝cd求證：∠b＝∠c

5、如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝bc，ad是∠bac的平分線，交bc于d，de⊥ab于e，若ab＝10cm，則△dbe的周長是多少？

abdcaecdb6、（2023，恩施中考）ad是△abc的角平分線，df⊥ab，垂足為f，de＝dg，△adg和△aed的面積分別為50和39，則△edf的面積為多少？

befgdc________________________________________________________________________________________________________________

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7、如圖，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab于e，df⊥ac于f.求證：be＝cf

8、在△abc中，ad是∠bac的平分線，e、f分別為ab、ac上的點，且∠edf＋∠baf＝180°

⑴求證：de＝df⑵假使把最終一個條件改為ae＞af，且∠aed＋∠afd＝180°，那么結(jié)論還成立嗎？

9、如圖，已知ab＝ac，be⊥ac于e，cf⊥ab于f，be與cf交于點d求證：點d在∠bac的平分線上.10、如圖，在四邊形abcd中，對角線ac平分∠bad，ab＞ad，以下結(jié)論正確的是()－ad＞cb－cd－ad＝cb－cd－ad＜cb－cd－cd與cb－cd的大小關(guān)系不確定

bcaaebgcfdafebdcbfdaecd________________________________________________________________________________________________________________

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11、（競賽014）如圖，已知△abc中，∠b＝60°，∠bac，∠bca的平分線ad，ce相交于點o.求證：dc＋ae＝ac

12、(競賽〃019)如圖，已知△abc，p為內(nèi)角平分線ad、be、cf的交點，過點p作pg⊥bc于g點。試說明∠bpd與∠cpg的大小關(guān)系，并說明理由。

bdgcaaeobdcfpe________________________________________________________________________________________________________________

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（十）應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解題

一、知識清單

定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。線段垂直平分的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

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