泰勒公式及其應用

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泰勒公式及其應用

許文鋒

華南師范大學數學科學學院信息與計算科學專業(yè)2023級6班指導老師：謝驪玲

中文摘要

文章簡要介紹了泰勒公式的證明及其推導過程，詳細探討了泰勒公式在高等

數學、數值分析、數值最優(yōu)化理論、其他非數學領域等應用,其中包括利用泰勒公式求近似值、證明積分、不等式、求行列式等高等數學問題；在數值分析問題上面主要探討了泰勒公式在數值微積分及微分方程數值解上的應用；在最優(yōu)化問題上面，分別探討了泰勒公式在理論證明和算法設計上面的應用.關鍵詞：泰勒公式，高等數學，數值分析，數值最優(yōu)化，應用

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泰勒公式及其應用

TaylorFormulaanditsApplication

XuWenFeng

（Grade07,Class6,MajorinInformationandComputingScience,Schoolof

Mathematics,

SouthChinaNormalUniversity)

Tutor:XieLiLing

Abstract

ThispaperbrieflyintroducestheproofofTayloranditsderivation.AndwediscusstheapplicationofTaylorformulaindetailinsomefieldssuchasadvancedmathematics,numericalanalysis,numericaloptimizationtheoryandotherapplicationsinsomenon—mathematicalfields,includingusingTaylorformulatosolvesomeadvancedmathematicalproblemssuchasapproximation,proofofintegral,inequality,solutionofdeterminantetc.InnumericalanalysiswemainlydiscusstheapplicationsofTaylorformulainnumericaldifferentiationandnumericalintegration.Asfornumericaloptimization，wediscusstheapplicationsofTaylorformulaintheoreticalproofandalgorithmdesign.

Keyword：Taylorformula,advancedmathematics,numericalanalysis,numericaloptimization,applications

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泰勒公式及其應用

一、前言

對于某些函數，假使我們要求其在某一點上的值，有時是無法通過直接計算得到的.在學習了導數和微分概念時我們已經知道，假使函數

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??(x?x0)f(x0)?f?(x0)(x?x0)f在x0點可導，則

，即在點

x0附近，用一次多項式的高階無窮小.然而在

迫近函數

f(x)時，其誤差為(x?x0)尋常的場合中，取一次的多項式迫近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去迫近，因此我們提出了用一個多項式去迫近一個函數，泰勒公式就是滿足上述迫近性質的多項式.泰勒公式特別在一些近似計算和數值方法上發(fā)揮著舉足輕重的作用.本文分為三部分，第一部分是給出了本文所需要用的定理和推論；其次部分是一元泰勒公式的推導和證明以及多元泰勒公式的介紹；第三部分是通過多個實例介紹泰勒公式的應用，包括在高等數學和數值計算方面的應用。

二、預備知識及定理

1.柯西中值定理設1函數

(x?(a,b))f(x),g(x)滿足是在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內可導，

?(a,b)，使

f?(?)g?(?)?f(b)?f(a)g(b)?g(a)g?(x)?0

則至少存在一點?

2.拉格朗日中值定理取g(x)?x時候，就有

f?(?)?f(b)?f(a)b?a

于是就得到了拉格朗日中值定理.3.連續(xù)函數介值定理

函數

fmax,fminf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在該閉區(qū)間必有最大值和最小值

fmax?fmin，且.那么，對于??(a???b)?[fmin,fmax]在開區(qū)間(a,b)內至少存

在一點?，使得特別地，當4.比較原則設?有

unf(?)??

f(?)?0fmin?0,fmax?0時，在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點?，使得

和?vn是兩個正項級數，假使存在某整數N，對于一切n?N都

un?vn

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則

(i)若級數?(ii)若級數?

若函數

f(x)vnun收斂，則級數?發(fā)散，則級數?unvn也收斂；也發(fā)散.

三、一元泰勒公式

在含有x的開區(qū)間(a,b)內有直到n?x0)?1階的導數，則當函數在此

區(qū)間內時，可展開為一個關于(xf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?的多項式和一個余項的和：

2f??(x0)2!(x?x0)???f(n)(x0)n!(x?x0)n?f(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1其中Rn(x)?f(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1?在x和x0之間的一個數，該余項Rn(x)為拉格

朗日余項。

1.泰勒公式的推導過程

我們知道

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??，根據拉格朗日中值定理導出的有

，其中誤差?是在?x?0限增量定理有l(wèi)im?x?0f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x即

x?x0的前提下才趨于

0，所以在近似計算中往往不夠確切，于是我們需要一個

能夠確切計算的而且能估計出誤差的多項式：

p(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n

來近似表達函數

f(x)并且誤差為Rn(x)?f(x)?p(x)；

(n)設多項式p(x)滿足p(x0)因此可以得出a0,a1?a1?f?(x0)an?f(x0),p?(x0)?f?(x0)?p(x0)?f(n)(x0)

.顯然，p(x0)，所以

?a0，所以a0f??(x0)2!??f(x0)；p?(x0)?a1，所以

；

p??(x0)?2!a2a2?p(n)(x0)?n!an，所以有

an?f(n)(x0)n!

因此，多項式p(x)的各項系數已經全部求出了，多項式p(x)為：

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p(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)2???f(n)(x0)n!(x?x0)n

其實要推出泰勒公式的表達式并不難，關鍵就是要推出其誤差表達式，即余項。2.泰勒公式余項的證明

我們利用柯西中值定理來推出泰勒公式的余項（拉格朗日余項）：設Rn(x)?f(x)?p(x)

(n)于是有Rn(x0)所以有Rn(x0)?f(x0)?p(x0)?0?(x0)?Rn??(x0)???Rn?Rn(x0)?0

根據柯西中值定理可得：

Rn(x)(x?x0)(n?1)?Rn(x)?Rn(x0)(x?x0)(n?1)?0??(?1)Rn(n?1)(?1?x0)n?1是在x和x0之間的一個數；

對上式再次使用柯西中值定理，可得：

?(?1)Rn(n?1)(?1?x0)n??(?1)?Rn?(x0)Rn((n?1)(?1?x0)n?0)???(?2)Rnn(n?1)(?2?x0)(n?1)?2是在?1和x0之

間的一個數；

連續(xù)使用柯西中值定理nRn(x)(x?x0)(n?1)?1次后得到：

?Rn(n?1)(?)(n?1)!這里?是介于x和x0之間的一個數。

?0由于p(n)(x)Rn(n?1)?n!an(n?1)，n!an是一個常數，故p(n?1)(x)，于是得到：

(x)?f(x)，綜上可得，余項：Rn(x)?f(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1?介于x和x0之間

此余項又稱為拉格朗日余項。

到此為止，我們知道了泰勒公式的一般形式可以表示為：

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)2???f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)

其中Rn(x)為泰勒公式的余項，它可以有一下幾種形式：(1)佩亞諾（Peano）余項Rn(x)??((x?x0))n

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n?1n1n1n12n2ln?ln(1?)???13n3?14n4???1n,

所以

1n?11nln?所以

un?1n?lnn?1n?0

故該級數是正向級數.又由于

n?1n1n12n2ln???13n3?o(1n3)?1n?1n2?14n3?(1n?13)?1n?13

2n22n2所以

1nn?1n1n1n13un??ln??(?)?13

2n22n2?由于?n?113收斂,所以由正向級數比較原則知級數

2n2??(n?11n?lnn?1n)收斂

(6)利用泰勒公式求定積分的近似值例1.6求定積分?1sinxxdx的近似值

0分析：由于被積函數的原函數不是初等函數，用牛頓-萊布尼茲公式無法求出其確切的解.若用泰勒展開，就能便利的求得其近似解.解：由泰勒公式得

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sinx?x?故有

sinxx?1?x2x33!?x5sin(?x??7!72?)x

75!3!?x4sin(?x??7!72?)x65!

所以由牛頓-萊布尼茲公式

1?sinxxdx?(x?x303?3!?x511sin(?x?7!72?)xdx65?5!)0??

0由于,故?1sin(?x?72?)?1

1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?0.09461sinxxdx?1?03!35!57!73!35!5

(7)利用泰勒公式求行列式的值例1.7求n階行列式D的值

xzyxz?zyyx?z?????yyy?xD=

z?z

分析：用行列式的性質直接求解該行列式是比較困難的，但是假使把行列式看作是某個變量的泰勒展開，然后再求解就十分簡單了.

xzyxz?zyyx?z?????yyy?x解：設Dn(x)?z?z

則Dn(x)在z上的泰勒展開為

Dn(x)?Dn(z)??(z)Dn1!(x?z)???(z)Dn2!(x?z)2???Dn(n)(z)n!(x?z)n

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zyy?yzzy?y其中Dn(z)?zzz?y

?????zzz?z將k列乘(-1)+第k?1列，k?n,n?1?2

z-y00?y0z?y0?y故Dn(z)?00z?y?y?z(z?y)n?1

?????000?z又對Dn(x)求一階導數

100?0xyy?yxzxy?y010?0zD?n(x)?zzx?y?zzx?y???z???????????zzz?xzzz?x0xy?y?nzx?y?nD????n?1(x)

zz?x因此有Dn?(x)?nDn?1(x)

根據遞推關系有Dn?-1(x)?(n?1)Dn?2(x)

?

D?2(x)?2D1(x)

D1?(x)?1

(D1(x)?x)

再有遞推關系有Dn??(x)?nD?n?1(x)?

D(n)n(x)?nD(n?1)n?1(x)

有上面兩個遞推關系可以得到：

D?n(z)?nDn?1(z)?nz(z?y)n?2

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yy?xy?zx????00?yyy?1

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??(z)?nDn??1(z)?n(n?1)Dn?2(z)?n(n?1)z(z?y)Dnn?3

???(z)?nDn???1(z)?n(n?1)Dn??1(z)?n(n?1)(n?2)Dn?3(z)?n(n?1)(n?2)z(z?y)Dnn?4?

Dn(n?1)(z)?n(n?1)?2D1(z)

Dn(n)(z)?n!

所以Dn(x)?z(z?y)n?1?nz(z?y)n?2(x?z)?n(n?1)2!nz(z?y)n?3(x?z)2

假使z

?y???n(n?1)?2(n?1)!z(x?z)n?1?(x?z)

，則

n?1Dn(x)?nz(x?z)?(x?z)n?(x?z)n?1[x?(n?1)z]

若

z?y，則

z[(z?y)nDn(x)?z?y?n(z?y)n?1(x?z)?n(n?1)2!(z?y)n?2(x?z)2

???n(n?1)?2(n?1)!(z?y)(x?z)n?1?(x?z)]?nyz?y(x?z)n

?zz?y[(z?y)?(x?z)]n?yz?y(x?z)n

?z(x?y)n?y(x?z)nz?yn?1

z?yz?y

?(x?z)[x?(n?1)z]?因此行列式D??z(x?y)n?y(x?z)n?z?y?

2.泰勒公式在數值分析上面的應用(1)泰勒公式在插值問題中的應用

泰勒公式的思想就是用一個多項式去迫近某個連續(xù)函數，從而可以簡化計算.在數值分析之中，多項式插值是一種常見的迫近法，利用泰勒公式，也能實現插值近似計算.

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例2.1對y?ex進行插值計算，求其近似值

利用泰勒公式將下式展開成泰勒級數形式ex?t?ex?et?e(1?t?x12t2??)(2.1)

假設因子ex為已知的.將該級數在t2項后截斷，這